《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 向量代数与空间解析几何 8-4 第四节 空间直线及其方程

第四节空间直线及其方程空间直线的一般方程空间直线的对称式方程与参数方程两直线的夹角直线和平面的夹角小结思考题

第四节 空间直线及其方程 ◼ 空间直线的一般方程 ◼ 空间直线的对称式方程与参数方程 ◼ 两直线的夹角 ◼ 直线和平面的夹角 ◼ 小结 思考题

空间直线的一般方程I定义空间直线可看成两平面的交线II: Ax+By+Cz+D =0z.ⅡII, : A,x+ B,J+C,z+ D, = 0ⅡAx+ By+Ciz + D, = 0L10yAx+B,y+C,z+D, = 0x空间直线的一般方程注(1)A、B、C与A、B,、C,不成比例;(2)直线L的一般方程形式不是唯一的

 1  2 定义 空间直线可看成两平面的交线. 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0    + + + = + + + = 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 空间直线的一般方程 一、空间直线的一般方程 L 注 (1) ; A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 (2) 直线L的一般方程形式不是唯一的. x y z O L

二、空间直线的对称式方程与参数方程1.对称式方程一条直线可以有许多方向向量方向向量的定义如果一非零向量平行于求此直线的方程M一条已知直线，这个向量称M为这条直线的方向向量已知直线上点M.xo，yo,zo）yV M(x,y,z)e L, M,M// s=(m,n,p)， s的三个坐标m、n、p称为直线L的方向数

方向向量的定义 如果一非零向量平行于 s  L 已知直线上点 M0   M  M(x, y,z) L, M M s  0 // s = (m, n, p),  二、空间直线的对称式方程与参数方程 1.对称式方程 一条直线可以有许多方向向量. 求 此 直 线 的 方 程 一条已知直线, 这个向量称 为这条直线的方向向量. ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 直线L的 s的三个坐标m、n、p称 为  s  方向数. x y z O

因为 M,M=(x-Xo,-yo,z- zo)故M,MI/ →x-xoZ-Zoy-yo直线的对称式方程nmp(点向式、标准式）x-xoZ- Zoy-yomnpx=xo +mt直线的参数方程y= yo +nt故z = zo + pt直线方程的几种形式可以互相转换

p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 直线的对称式方程 p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 令      直线的参数方程 ( , , ) 0 0 0 0 因为 M M = x − x y − y z − z 故 M M s  0 // 故 直线方程的几种形式可以互相转换.  (点向式、标准式） = t x = x + mt 0 y = y + nt 0 z = z + pt 0

x-xo_y-yo_z-zo过两点作直线mnD例1 求过两点M,(1,2,3),M2(2,6,5)的直线方程解向量M,M,与直线平行M2取 s =M,M, =(1,4,2)M,所求直线方程为z-3x-1y-2142

例1 解 取 所求直线方程为 = − 1 x 1 p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − ·M1 ·M2 s 求过两点M1 (1,2,3),M2 (2,6,5)的直线方程. 向量 M1M2 与直线平行 s = (1,4,2)  M1M2 = = − 4 y 2 2 z − 3 过两点作直线

x-xo_y-yo_z-mnD一般，如直线过两点M(Xi,J11),M,(X2,y2,Z2)则直线的一个向向量为：M,M, =(-网于是对称式方程可写成：x-Xi - - - z-ziX2 -Xi J2 -yiZ2 - Z1

( , , ), ( , , ) 1 1 1 1 2 2 2 2 M x y z M x y z 则直线的一个方向向量为: 于是对称式方程可写成: 2 1 1 2 1 1 2 1 1 z z z z y y y y x x x x − − = − − = − − p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − 一般, 如直线过两点 ( , , ) 2 1 2 1 2 1 = x − x y − y z − z M1M2

例2 一直线过点A(2,-3,4),且和y轴垂直相交Z求其方程解交点为勺 B(0,-3, 0)取 s= BAB0y= (2, 0, 4),Xx-2J+37. - 4所求直线方程204

解 交点为 B(0,−3, 0), 取 s = BA  = (2, 0, 4), 所求直线方程 = − 2 x 2 . A . B s 例2 = + 0 y 3 . 4 z − 4 x y z O 一直线过点A(2,−3,4),且和y轴垂直相交, 求其方程

x-xo_y-yo_z-zo各类直线方程的互换mnD可将直线的对称式方程化为一般方程吗 注可将对称式方程拆为一般方程z-1x-1y-1如对称式方程为011x-1=0可写成一般方程(y-1=z-1 (即y-z =0)Zy-1z-1x-1又如001x=1可写成一般方程V=1L

可将对称式方程拆为一般方程 如对称式方程为 1 1 1 1 0 1 − = − = x − y z 可写成一般方程 可将直线的对称式方程 又如 1 1 0 1 0 1 − = − = x − y z 注    可写成一般方程 p z z n y y m x x0 0 − 0 = − = − x − 1 = 0 y − 1 = z − 1    x = 1 y = 1 化为一般方程吗 各类直线方程的互换 x y z O 1 1 (即y −z = 0)

2.直线的一般方程化为对称式方程怎样将直线的一般方程化为对称式方程有两种方法(1）用代数的消元法化为比例式：2）在直线上找一定点，再求出方向向量即写出对称式方程

2. 直线的一般方程化为对称式方程 怎样将直线的一般方程 (1) 用代数的消元法化为比例式; 有两种方法 (2) 在直线上找一定点,再求出方向向量, 化为对称式方程 即写出对称式方程

3x-2y+z+1=0例3 将化为对称式方程2x+y-z-2=03x -20++1.= 0(1)解法一(2)2x +z2=0(1)+(2) =→ 5- y-1= 0-z-3=0(1) + 2(2)=7x两个方程中,每一个只有两个变量，解出共同的变量x.写成比例式即得对称式方程z+3y+1=57此直线上一定点为(0,-1,-3),方向向量为S =(1,5,7)

写成比例式 , 7 3 5 1 + = + = y z x 例3 解 法一    + − − = − + + = 2 2 0 3 2 1 0 x y z x y z (1) (2) 5x − y −1 = 0 (1) + 2(2) 7x − z − 3 = 0 (1) + (2) 两个方程中,每一个只有两个变量,   共同的变量 即得对称式方程. 解出 x. 此直线上一定点为(0,−1,−3),方向向量为s = (1,5,7)  将 化为对称式方程.    + − − = − + + = 2 2 0 3 2 1 0 x y z x y z