《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程 7-7 第七节 常系数齐次线性微分方程

第七节常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程定义二阶常系数齐次线性方程解法1n阶常系数齐次线性方程解法■小结思考题

◼ 二阶常系数齐次线性方程定义 ◼ 二阶常系数齐次线性方程解法 ◼ n阶常系数齐次线性方程解法 ◼ 小结 思考题 第七节 常系数齐次线性微分方程 常系数齐次

一、定义y(m)+Ply(n-1)+...+P-ly'+P.y= f(x)形如n阶常系数线性微分方程y" + py' + qy = 0二阶常系数齐次线性方程y" + py' +qy= f(x)二阶常系数非齐次线性方程

n阶 y + py + qy = 0 方程 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y Pn y Pn y f x n n + + + −  + = −  常系数 线性微分方程 二阶常系数 齐次线性 一、定义 形如

二、二阶常系数齐次线性方程解法特征方程法y" + py' + qy = 0二阶常系数齐次线性方程设解 =e其中r为待定常数.将其代入方程,得:ex+0,(r2 + pr + g)erx = 0特征方程故有 r2+pr+=0(characteristic equation)'i,2 ==P±p-4g特征根2(characteristic root)

- 特征方程法 rx y = e 将其代入方程, ( ) 0 2 + + = rx r pr q e  0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 2 4 2 1,2 p p q r −  − 特征根 = y + py + qy = 0 二阶 设解 得 特征方程 常系数齐次线性方程 (characteristic equation) (characteristic root) 二、二阶常系数齐次线性方程解法 其中r为待定常数

设解 =e其中r为待定常数特征根r的不同情况决定了方程y"+py+qy=0的通解的不同形式r? + pr+q= 0特征方程※有两个不相等的实根(△>0)=P-Vp-4gr ==p+Vp-4g22两个线性无关的特解Y1Ji =e'x, J, =e'sx,≠常数Y2J =C,e'i*+C2e'2x得齐次方程的通解为

※ , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 两个 特解 y = (  0) y + py + qy = 0 的通解的不同形式. 有两个不相等的实根 特征根r的不同情况决定了方程 0 2 r + pr + q = 特征方程 r x e 1 C2 r x e 2 C1 + 2 1 y y 常数 线性无关的  得齐次方程的通解为 rx 设解 y = e 其中r为待定常数

设解y=e其中r为待定常数(△ = 0)※有两个相等的实根p+常数一特解为y, =exr=r=2'Jyi设 y2 =u(x)e'ix,其中u(x)为待定函数将 y2，，"代入到y"+ py'+qy=0.化简得u" +(2r + p)u' +(r? + pr +q)u = 0,=0=0知 u"=0, 取u(x)=x, 则 J2 =xe'ix,得齐次方程的通解为 y=C,e'"*+C,xe'ix= (Ci +C2x)e'ix

※有两个相等的实根 , 1 1 r x , y = e 2 1 2 p r = r = − ( = 0) 一特解为 r x C C x e 1 ( ) = 1 + 2 将 y2 ，y 2 ，y 2 代入到 (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = u  = 0, u(x) = x, , 1 2 r x y = xe y2 =  常数 1 2 y y y + py + qy = 0. 化简得 其中u(x)为待定函数. = 0 = 0 设 u(x) , r1 x e 知 取 则 y = r x e 1 r x xe 1 + 得齐次方程的通解为 C1 C2 rx 设解 y = e 其中r为待定常数

设解y=e其中r为待定常数(△< 0)※有一对共轭复根r=α-iβ,r=α+iβ,e(a-ip)xJ2 = e'2xe(a+ip)xJi =eixOA工光的解。Ji,y2为方程y"+ py'+qy用欧拉(Euler)公式：ei为了得到实数形式的解=cosx+isinx1(yi + y2) = eax cos βx重新组合y12y1+常数y2Y2(yi - y2) = eax sin Bx2i得齐次方程的通解为y = e (C, cos Bx + C, sin Bx)

※有一对共轭复根 , r1 = + i , r2 = − i , ( i ) x e +  = r x y e 2 2 = (  0) ( ) 2 1 1 1 2 y = y + y e x x   = cos ( ) 2 1 2 1 2 y y i y = − e x x   = sin ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x    = + y1 , y2为方程y  + py  + qy = 0 为了得到实数形式的解,  常数 2 1 y 重 y 新 组 合 的两个线性无关的解. rx y = e 其中r为待定常数. r x y e 1 1 = i x e (−  ) = 得齐次方程的通解为 用欧拉(Euler)公式: e x i x ix = cos + sin 设解

二阶常系数齐次线性方程 y"+＋ py'＋qy=0求通解的步骤：(1) 写出相应的特征方程 r2＋pr ＋=0(2) 求出特征根(3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解特征根的情况通解的表达式y=Ce'* +Ce'sx实根2y =(Ci +C2)e'zx实根r=r复根ri,2=α±iβ，y=e(C cos βx+C, sin βx

(3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解 (1) 写出相应的特征方程 (2) 求出特征根 二阶常系数齐次线性方程 0 2 r + pr + q = y + py + qy = 0 特征根的情况 通解的表达式 实根 1 2 r  r r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 实根 1 2 r = r r x y C C e 2 ( ) = 1 + 2 复根 ( cos sin ) y e C1 x C2 x x    = + 求通解的步骤: 1,2 r i =   

由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法例求方程y"+4y+4y=0的通解解！特征方程r2 +4r+4= 0特征根r=r =-2故所求通解为y = (C1 +Cx)e-2x

称为 求方程 y + 4 y + 4 y = 0的通解. 解 特征方程 4 4 0 2 r + r + = r1 = r2 = −2 故所求通解为 y = 例 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法 特征方程法. 特征根 x C C x e 2 1 2 ( ) − +

例求方程y"+2y+5y=0的通解解 特征方程 r2+2r＋5=0特征根i,2 =-1±2i故所求通解为y = e-*(C cos2x + C, sin 2x)

求方程 y + 2 y + 5 y = 0的通解. 解 特征方程 2 5 0 2 r + r + = 故所求通解为 y = 例 特征根 ( cos 2 sin 2 ) e C1 x C2 x x + − r 1 2i 1，2 = − ±

16y"-24y'+9y = 0例解初值问题016r2-24r +9= 0解特征方程3特征根(二重根)所以方程的通解为 4= (C +C,ox)e1=Ci =4=J-(De4x3=2=13+C,C20ey+A3特解 y=(4-x)e4=→ C, =-1

例 解初值问题    =  =  −  + = = = 4, 2. 16 24 9 0, x 0 x 0 y y y y y 解 特征方程 16 24 9 0 2 r − r + = 特征根 4 3 r = 所以方程的通解为 y = C1 = 4 x y C x e 4 3 2 = (4 + ) x y C C x e 4 3 2 2 4 3 3        = + + 4 (二重根) 0 0   ( )    C2 = −1 特解 (4 ) . 4 3 x  y = − x e 0 0 2 x C C x e 4 3 1 2 ( + )