《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分 5-习题课

第五章定积分习题课主要内容典型例题

第五章 定积分 主要内容 典型例题 习 题 课

一、主要内容问题1：问题2：曲边梯形的面积变速直线运动的路程存在定理反常积分定积分定积分的的定计算法牛顿-莱布尼茨公式性积f(x)dx = F(b)-F(a)质分

问题1: 曲边梯形的面积 问题2: 变速直线运动的路程 存在定理 定积分 反常积分 定 积 分 的 性 质 定 积 分 的 计 算 法 牛顿-莱布尼茨公式 f ( x)dx F(b) F(a) b a = −  一、主要内容

1、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积A）曲边梯形由连续曲线 y=f(x)(f(x)≥O)x轴与两条直线x=a、x=b所围成nEf(5)Ax;A = lim2→0i1

1、问题的提出 实例1 （求曲边梯形的面积A） i n i A =  f i x = → lim ( ) 1 0   曲边梯形由连续曲线 y = f ( x)( f (x)  0)、 x轴与两条直线x = a 、x = b所围成

实例2（求变速直线运动的路程）设某物体作直线运动，已知速度v=v(t)是时间间隔[T,T,1上t 的一个连续函数，且v(t)≥0，求物体在这段时间内所经过的路程SnEv(t,)At;s = lim2>0i=1方法：分割、求和、取极限

实例2 （求变速直线运动的路程） i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0   设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时间 间隔[ , ] T1 T2 上t 的一个连续函数，且v(t)  0， 求 物体在这段时间内所经过的路程 S. 方法:分割、求和、取极限

2、定积分的定义定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意若干若干个分点a=x,<x<x,<..<x-<x.=b把区间[a,b]分成n个小区间，[xo,xi],[xi,x,],...[xn-1,xn],各小区间的长度依次为△x,=x;一Xi-1，(i=1,2,)在各小区间上任取一点，（E△x,）

2、定积分的定义 设函数 f (x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意 若干若干个分点 a x x x x x b = 0  1  2   n−1  n = 把区间[a,b]分成n个小区间， 各小区间的长度依次为xi = xi − xi−1，(i = 1,2, )， 在各小区间上任取 一点 i （ i  xi）， 定义 [ , ],[ , ], [ , ], x0 x1 x1 x2  xn−1 xn

作乘积f(5,)△x;(i=1,2,） 并作和S =f(S,)Ax;,i=1记a=max[△xi,△x2,",△x,},如果不论对[a,b]怎样的分法，也不论在小区间[x;-1,x;]上点,怎样的取法，只要当入一→0时,和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数 f(x)在区间[a,bl上的定积分n记为Ef(5)Ax;.. f(x)dx = I =lim-→0i-1

怎样的分法，  = = b a f ( x)dx I i i n i  f x = → lim ( ) 1 0   . 也不论在小区间[ , ] xi−1 xi 上 的取法，只要当 → 0时，和S总趋于确定的极限I ， 在区间[a,b]上的定积分， 记为 记 max{ , , , } 1 2 n  = x x  x ，如果不论对[a,b] 我们称这个极限I 为函数 f (x) 作乘积 i xi f ( ) (i = 1,2, ) 点 i怎样 并作和 i i n i S =  f x = ( ) 1 

3、存在定理可积的两个充分条件：定理1当函数f(x)在区间[a,bl上连续时，称f(x)在区间[a,b]上可积定理2设函数f(x)在区间[a,b]上有界且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积

可积的两个充分条件： 定理 1 当函数 f (x)在区间[a,b]上连续时， 定理 2 设函数 f (x)在区间[a,b]上有界， 称 f (x)在区间[a,b]上可积. 且只有有限个间断点，则f (x) 在区间 [a,b]上可积. 3、存在定理

4、定积分的性质性质1(" f(x)dx± f' g(x)dx'lf(x)± g(x)]dx=["kf(x)dx = kf" f(x)dx性质2k 为常数)性质3 假设a<<b" f(x)dx= J f(x)dx + f" f(x)dx

4、定积分的性质   b a [ f ( x) g( x)]dx  = b a f ( x)dx   b a 性质1 g( x)dx  =  b a b a 性质2 kf (x)dx k f (x)dx (k 为常数)  b a f (x)dx   = + b c c a f (x)dx f (x)dx 性质3 假设a  c  b

"1.dx=性质4dx=b-ad性质5如果在区间[a,bl上f(x)≥0,则" f(x)dx ≥ 0(a<b)推论：（1）如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x),则f" f(x)dx ≤ 'g(x)dx(a<b)["f(x)dx≤ J"1f(x)dx(2)(a<b)

则 ( )  0  f x dx b a (a  b) 性质5 如果在区间[a,b]上 f (x)  0， 推论： 则 f x dx b a ( ) g x dx b a  ( ) (a  b) （1） 如果在区间[a,b]上 f (x)  g(x)， f x dx b a ( ) f x dx b a  ( ) （2） (a  b) dx b a   1 dx b a 性质4 = = b − a

性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b)上的最大值及最小值则m(b-a)≤ [" f(x)dx≤ M(b -a).性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,bl上连续：则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使[" f(x)dx= f()(b-a)(a≤≤b)积分中值公式

如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续， 则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ， 使 f x dx b a ( ) = f ( )(b − a) (a    b) 性质7 (定积分中值定理) 设M 及m分别是函数 则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a −    − . 性质6 f (x) 在区间[a,b] 上的最大值及最小值， 积分中值公式