《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分 5-4 第四节 反常积分

第四节反常积分无穷限的反常积分一二、无界函数的反常积分三、 小结思考题

第四节 反常积分 一、无穷限的反常积分 二、无界函数的反常积分 三、小结 思考题

积分区间有限常义积分被积函数有界推积分区间无限反常积分常义积分的极限被积函数无界

常义积分 积分区间有限 被积函数有界 积分区间无限 被积函数无界 反常积分 常义积分的极限 推 广

无穷限的反常积分一、1定义 1设函数,f(x)在区间[a,+o)上连续，取b>a，如果极限lim{f(x)dx存在，则称此极b>+限为函数f(x)在无穷区间[a,+o)上的反常积分，记作[f(x)dxf° f(x)dx= lim f" (x)dx6当极限存在时，也称反常积分收敛：当极限不存在时，习惯上称反常积分发散

  a f (x)dx    b b a lim f (x)dx 一、无穷限的反常积分

类似地，设函数f(x)在区间(-,bl上连续，取a<b，如果极限limf(x)dx存在，则称此极a→限为函数f(x)在无穷区间(-,bl上的反常积分，记作f(x)dx." f(x)dx = lim f"f(x)dxa-当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散

 b f (x)dx    b a a lim f (x)dx

设函数f(x)在区间(-0,+)上连续，如果反常积分f(x)dx和[f(x)dx都收敛，则称上述两反常积分之和为函数f(x)在无穷区间(-0,+o0)上的反常积分，记作[f(x)dx.[ f(x)dx = " f(x)dx + ft° f(x)dx= lim f f(x)dx + lim f' (x)dx极限存在称反常积分收敛：否则称反常积分发散

   f (x)dx   0 f (x)dx    0 f (x)dx    0 lim ( ) a a f x dx    b b f x dx 0 lim ( )

若F(x)是 f(x)的原函数,引入记号F(+oo0)= lim F(x); F(-o0)= lim F(x)x→+8x>-8则有类似牛　－莱公式的计算表达式：+8f(x)dx= F(x)= F(+oo)-F(a)abm f(x)dx = F(x)= F(b)- F(-00)18+8[-~ f(x)dx = F(x)= F(+8)- F(-8)8

若 F(x)是 f (x)的原函数 ,引入记号 F( ) lim F(x) ; x   F( ) lim F(x) x   则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( )d   F(x) a    F()  F(a) f x x b ( )d   F(x)   b  F(b)  F() f (x)dx    F(x)      F()  F()

dx+8例1计算反常积分1+x2cOdx+8+8解=[arctan x]1+x280Y元元21=元

例1 计算反常积分 . 1  2    x dx 解     2 1 x dx    [arctan x ] 2     ) 2 (   

-8例2．计算反常积分te-ptdt(p>0)Jo81+8+解b原式=-二0o-ptdtD十010pp1+8-pte20p12p

例2. 计算反常积分 d ( 0). 0    t e t p pt 解 pt e p t  原式   0      0 d 1 e t p pt pt e p    2 1 0   2 1 p 

例3证明反常积分dx当p>1时收敛，当p≤1时发散证（[n x ]°= +o0,(1) p=X+8, p1时反常积分收敛，其值为p-1当p≤1时广义积分发散

证 (1) p  1,  1 1 dx x p    1 1 dx x     1 ln x  , (2) p  1,   1 1 dx x p           1 1 1 p x p            , 1 1 1 , 1 p p p

无界函数的反常积分二、定义 2设函数f(x)在区间(a,bl上连续，而在点α的右邻域内无界取ε>0，如果极限limff(x)dx存在，则称此极限为函数f(x)Etoat8在区间(a,b]上的反常积分，记作["f(x)dx.f(x)dx[~ f(x)dx= lim8-→+0Ja+8当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时，称反常积分发散

 b a f (x)dx     b a f x dx   lim ( ) 0 二、无界函数的反常积分