《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程 7-5 第五节 可降阶的高阶微分方程

第五节可降阶的高阶微分方程y(n) = f(x)型的方程J"=f(x,y")型的方程y"=f(y,J")型的方程小结 思考题

◼ 型的方程 ◼ 小结 思考题 第五节 可降阶的高阶微分方程 ( ) ( ) y f x n = y = f (x, y) 型的方程 y = f ( y, y) 型的方程

(n型的方程f(x)特点 左端是未知函数y的n阶导数,右端是自变量x的一个已知函数,且不含未知函数y及其导数 y'.y(n-1) = [ f(x)dx +C,两边积分y(r-2) = J1J f(x)dx + C Jdx + C,再积分接连积分n次,得到含有n个任意常数的通解

( ) ( ) y f x n 一、 = 型的方程 特点 是未知函数 y 的n 阶导数, 且不含未知函数 y 及其 y . 两边积分  = + − 1 ( 1) y f (x)dx C n   = + + − 1 2 ( 2) y [ f (x)dx C ]dx C n . 接连积分n次, 右端是 自变量x的一个已知函数, 导数 左端 ( ) ( ) y f x n = 再积分 得到含有n个任意常数的通解.  = + − 1 ( 1) y f (x)dx C n

=e3x-cosx例求解方程解 将方程积分三次，得3xsinx+C3X+cosx+Cx+C*+ sinx+ C x'+C,x+ C最后得到的就是方程的通解

例 求解方程 y e x x cos 3  = − 解 将方程积分三次, 得 x y e 3 3 1  = x y e 3 9 1  = x y e 3 27 1 = 最后得到的就是方程的通解. −sin x + C1 + cos x +C1 x+ C2 +sin x 2 C1 x  + +C2 x + C3

"=f(xyi型的方程特点方程缺y解法设y=p,"==P. 将p作为新的dx未知函数,则方程变为 p'=f(x,P)这是一个关于变量x,p的一阶微分方程如果其通解为 p= p(x,CD,则由y= p(x,C)再积分一次,可求出原方程的通解y=J p(x,C)dx +C

二、 y = f (x, y) 型的方程 特点 方程缺y. 解法 y = p, 将p作为新的 则方程变为 p = 这是一个关于变量 x, p 的一阶微分方程. 如果其通解为 ( , ), p = p x C1 则由 ( , ) p x C1 y = 再积分一次, 1 d 2 y = p(x,C ) x + C  y = 可求出原方程的通解 设 = x p d d p . 未知函数， f (x ,p)

1+1X例 解方程解 因方程中不含未知函数y,属y"=f(x,j)型令 '= p,y"= p,代入原方程,得3x"pp的可分离变量的一阶方程1+ x3x2dpdx = In p= In(1+ x3)+ InC31+xp由初始条件y"r=o=4=p=C(1+x3)知C,=4,所以y'= 4(1+x3)y的分离变量方程

1, 4 0 0 =  = x= x= y y 例 解方程 因方程中不含未知函数y, y = p, 解 令 属y = f (x, y)型 y = p , 代入原方程, 得 3 2 1 3 x x p p +  =  p的可分离变量的一阶方程 x x x p p d 1 d 3 3 2 + =  1 3 ln p = ln(1+ x ) + lnC  (1 ) 3 p = C1 + x 由初始条件 4 0  = x= y 知C1=4, 所以 4(1 ) 3 y = + x y的分离变量方程 3 2 1 3 x x y y +   =   

3x2y1+xyl=o = 1, J'lx=0 = 4dy = 4(1 + x3)dx = y = x4 + 4x +C,lx=0 =1, 知C,=1再由初始条件y故所求解为y=x*+4x+1

dy 4 ( 1 x ) dx 3 = +  2 4 y = x + 4 x + C 再由初始条件 1 , 0 = x = y 知 C2 = 1 故所求解为 4 1 4 y = x + x + 1, 4 0 0 =  = x = x = y y 3 2 13 x x y y +   = 

对于不含有y、y'、、J(k-I)的n阶方程F(x, y(k),... y(n)) = 0只须作变换,令 p= J(k)方程就可化为n一k阶方程F(x, , .", p(n-k) = 0求出通解后,再积分k次,即可求得原方程的通解

对于不含有y、y 、、y (k−1) 的n阶方程 ( , , ) 0 ( ) ( ) = k n F x y y 令 . (k ) p = y ( , , , ) 0 ( ) = n−k F x p  p 求出通解后, 只须作变换, 再积分k次,即可求得原方程的通解. 方程就可化为 n − k 阶方程

例 解方程x解 令 p= (4),则方程变为p=0,可分离变量方程x p=Cx.于是由分离变量法解得v(4)积分4次 =Cx,所以原方程的通解为y=Cx +C,x3 +Cx+Cx+C!

例 解方程 0. (5) 1 (4) − y = x y 解 令 , (4) p = y 则方程变为 0, 1  − p = x p 由分离变量法解得 . p = C1 x 于是 , 1 (4) y = C x 所以原方程的通解为 4 5 2 3 3 2 5 y = C1 x + C x + C x + C x + C 积分4次 可分离变量方程

型的方程三、y"= f(y,y')特点方程缺自变量xdy解法设y'p =p(y) =p(y(x))EPdxdpdpdpdy2则方程变成V-2dx2dxdydxdydp:f(y,p).这是关于变量y,p的一阶方程pdy设它的通解为y=p=(y,C).分离变量并积分,dy得通解为=x+C2p(y,C)

 = = x y y d d 2 2 d d x y y = 特点 解法 方程缺自变量x 三、 y = f ( y, y) 型的方程 则 x p d d = x y d d  , d d y p = p 方程变成 = y p p d d 这是关于变量y , p 的一阶方程. 设它的通解为 ( , ). C1 p = y 分离变量并积分, 得通解为 2 1 ( , ) d x C y C y = +  设 p y p d d = f ( y, p). y = p = p( y) =p( y(x ))

属y"=f(y,y)型121+ y例求方程J"=的通解2ydp解设y'= p,则y"=代入原方程dy1+ pdp可分离变量方程dy2y2 pdpdyIn(1+ p)= In y+ InC-21 + py=→1+p2 =C→p=±/Ciy-1dy即=±/Cy-1可分离变量方程dx

. 2 1 2 求方程 的通解 y y y +   = 解 , d d y p 设 y = p, 则 y = p 代入原方程 例 属y = f ( y, y)型 y p p d d y p 2 1 2 + =  y y p p p d 1 2 d 2 = + 可分离变量方程  1 2 ln(1+ p ) = ln y + lnC  p C y1 2 1+ =  p =  C1 y − 1 即 1 d d =  C1 y − x y 可分离变量方程