《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程 7-8 第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程

第八节二阶常系数非齐次线性微分方程f(x)=exPm(x)型f(x) = ex[P(x)cosax+ P,(x)sinax)型■小结思考题

第八节 二阶常系数非齐次 线性微分方程 非齐次 ◼ ◼ ◼ 小结 思考题 f (x) = e xPm (x)型 f x e Pl x x x   ( ) = [ ( )cos + Pn (x)sinx]型

一、f(x)=ePm(x)型y" + py' + qy = f(x)二阶常系数非齐次线性方程Pm(x)er,f(x)的类型Pm(x),Pm(x)e** cos Bx,Pm(x)e** sin βx,Pm(x)是m次多项式y=Y+y*通解结构y" + py' + qy = 0对应齐次方程难点如何求非齐次方程特解？方法待定系数法

方程 对应齐次方程 y  + py  + qy = 0 通解结构 P (x), m ( ) , x mP x e  P (x)e cos x, x m   P (x)e sin x, x m   y = Y + f (x) 难点 方法 二阶常系数非齐次线性 f (x)的类型 Y y Pm (x)是m次多项式 y + py + qy = 一、f (x) = e x Pm (x)型 如何求非齐次方程特解？ 待定系数法

2y" + py' +qv = Pm(x)e设非齐方程特解为 y*=Q(x)ex求导代入原方程Q"(x)+(2a + p)Q'(x)+(2 + pa +q)Q(x) = Pm(x) 0(1)若a不是特征方程的根y* = Qm(x)exx可设Q()=Q. (x)Q"(x)+(2a + p)Q(x)+ (( + pa +q)Q(x) = Pm(x)= 00(2)若a是特征方程的单根y* = xQm(x)ear可设Q(x)=xQm(x)

设非齐方程特解为 y = Q(x) 求导代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x (1) 若不是特征方程的根 可设 (2) 若是特征方程的单根 可设Q(x) = x m y xQ x e   = ( ) x m y Q x e   = ( ) x e  Q(x) m = Q ( x) Q (x) x m Q(x) x m y py qy P x e   +  + = ( ) m  0 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x  0 = 0

y" + py'+ qy = e Pm(x)Q"(x)+(2a+ p)Q(x) + (a? + pa +q)Q(x) = Pm(x)=0-0(3)若是特征方程的重根y* = x"Om(x)ear可设Q(x)=xQm(x)综上讨论不是根0设 y*=xe*Qm(x), k=}是单根1是重根2注上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程(k是重根次数)

(3) 若是特征方程的重根 可设Q(x) = 综上讨论 y x e Q (x) , m k x 设  =      k = x m y x Q x e  ( ) 2  = 注 Q (x) m 2 x y py qy e P (x) m x  +  + = ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x    1 0 2 = 0 = 0 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数). 不是根 是单根 是重根

2X的通解例 求方程y"-3y'+2y=x解 此题f(x)=xe2×属于Pm(x)e型其中m=1,α=2(1) 求对应齐次方程的通解特征方程r2-3r+2=0特征根r =l, r2对应齐次方程通解Y =Ce* +Cze：=2是单根(2) 求非齐次方程的特解设 y* =x(Ax+ B)e2x

3 2 . 求方程 y − y + y = x e 2 x 的通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 3 2 0 2 r − r + = 特征根 r1 = 1，r2 = 2 x x Y C e C e 2 = 1 + 2  = 2是单根， 设 y = 例 (1) 求对应齐次方程的通解 (2) 求非齐次方程的特解 此题 ( ) ( ) . f x = xe 2 x 属 于Pm x e x 型 其中 m = 1,  = 2 (Ax + B) 1 x x e ? 2

对应齐次方程通解求方程 y"-3y'+2y= xe2×的通解Y = Ce*+C,e2x2y* = x(Ax+ B)e将y*,J*',*"代入方程,得A=2Ax+B+2A=x2B=-121于是 y*=x(x-原方程通解为y=Y+y*=Ce* +C,e2x +x(x-

代入方程, 得 2Ax + B + 2A = x , 1 2 1      = − =  B A x y x x e 2 1) 2 1 于是  = ( − 原方程通解为 = + + x x C e C e 2 1 2 3 2 . 求方程 y − y + y = xe 2 x 的通解 x y x Ax B e 2  = ( + ) 将y, y , y y = Y + y  x x x e 2 1) 2 1 ( − 对应齐次方程通解 x x Y C e C e 2 = 1 + 2

考研真题数学一,8分例设函数y=(x)满足微分方程y"-3y'+2y=2e其图形在点(0,1)处的切线与曲线y=x2-x+1在该点处的切线重合求函数的解析表达式解二阶常系数线性非齐次方程此题f(x)= 2e*属于Pm(x)e型. (m=0,=1)(1)求对应齐次方程的通解特征方程 r2－3r+2=0,特征根r =1, r, =2,2对应齐次方程通解 Y=C,e+C,e

( ) 3 2 2 , x 设函数y = y x 满足微分方程y − y + y = e 其图形在点(0,1)处的切线与曲线y = x 2 − x +1在 该点处的切线重合,求函数y的解析表达式. 解 对应齐次方程通解 特征方程 3 2 0, 2 r − r + = 特征根 r1 = 1，r2 = 2， x x Y C e C e 2 = 1 + 2 (1) 求对应齐次方程的通解 此题 ( ) 2 属 于 ( ) 型. x m x f x e P x e  = (m = 0, = 1) 例 考研真题数学一, 8分 二阶常系数线性非齐次方程

设函数y=y(x)满足微分方程y"-3y+2y=2e其图形在点0,1)处的切线与曲线=x2-x+1在该点处的切线重合求函数的解析表达式(2)求非齐次方程的特解a=1特征根r=设y*=xAe(a=l是单根)解得 A=-2即 y*=—2xe*所以原方程通解为 y=Ce*+C,e2x-2xe*(3)求原方程的特解(求函数y的解析表达式)且 y(0)=-1,由y=x2-x+1,得 y'=2x-1,将点(0,1)的坐标代入通解得1=C +C2

设 y = ( = 1是单根) (2) 求非齐次方程的特解 A x x e 1 解得 A = −2 所以 x y = −2xe x x y C e C e 2 = 1 + 2 (3) 求原方程的特解 由y = x 2 − x +1,得 y(0) = −1, 将点(0,1)的坐标代入通解,得 1 = C1 +C2 即  = 1 特征根 r1 = 1 原方程通解为 (求函数y的解析表达式) ( ) 3 2 2 , x 设函数y = y x 满足微分方程y − y + y = e 其图形在点(0,1)处的切线与曲线y = x 2 − x +1在 该点处的切线重合,求函数y的解析表达式. 且 x − 2xe y x  = − 2 1

1=C, +C2y(0) = -1求导,得将通解y=Ce*+C,e2x-2xey' = Ce* + 2C,e2x - 2e* - 2xe*由题意,得 y(0)=C, +2C, -2=-1即C +2C, =1C +C, =1[C, =1联立将之代入通解得[C, = 0C, +2C =1y=e*-2xe*所以,函数y的解析表达式为 y=(1-2x)e

将通解 y = C1 e x +C2 e 2x − 2xe x 求导,得 x x x x y C e 2C e 2e 2xe 2  = 1 + 2 − − 由题意,得 y(0) = 即 C1 + 2C2 = 1 联立    + = + = 2 1 1 1 2 1 2 C C C C    = = 0 1 2 1 C C 将之代入通解得 x x y = e − 2xe x y = (1− 2x)e 1 = C1 +C2 y(0) = −1 C1 + 2C2 − 2 = − 1 所以,函数y的解析表达式为 

对应齐次方程通解求方程 y"-3y'+2y= xe2×的通解Y = Ce*+C,e2x2y* = x(Ax+ B)e将y*,J*',*"代入方程,得A=2Ax+B+2A=x2B=-121于是 y*=x(x-原方程通解为y=Y+y*=Ce* +C,e2x +x(x-

代入方程, 得 2Ax + B + 2A = x , 1 2 1      = − =  B A x y x x e 2 1) 2 1 于是  = ( − 原方程通解为 = + + x x C e C e 2 1 2 3 2 . 求方程 y − y + y = xe 2 x 的通解 x y x Ax B e 2  = ( + ) 将y, y , y y = Y + y  x x x e 2 1) 2 1 ( − 对应齐次方程通解 x x Y C e C e 2 = 1 + 2