《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 多元函数微分法及其应用 9-4 第四节 多元复合函数的求导法则

第四节多元复合函数的求导法则1复合函数的求导法则全微分形式不变性■小结思考题

第四节 多元复合函数的 求导法则 ◼ 复合函数的求导法则 ◼ 全微分形式不变性 ◼ 小结 思考题

中间变量为则)一、复合函数的求导法一元函数1. z = f(u,v),u =@(t),v=y(t)的情形定理如果函数u=β(t)及v=(t)都在点t可导函数z= f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数则复合函数z= [g(t),(t))在对应点t可导, 且其导数可用下列公式计算：Oz dydzOz dudt Ov dtOu dt证设t获得增量△t，则 Au = p(t + At)-p(t), Av = y(t + At) -y(t);

一、复合函数的求导法则(链导法则) 证 则u = (t + t) −(t), v = (t + t) −(t); 设 t 获得增量t， 1. 中间变量为 一元函数 z = f (u,v),u = (t),v =(t) 的情形. 定理 如果函数u = (t)及v =(t)都在点t可 导, 函 数z = f (u,v)在对应点(u,v) 则复合函数z = f[(t),(t)]在对应点t可 导, 且 其导数可用下列公式计算: = t z d d 具有连续偏导数, +   t u u z d d . d d t v v z  

可微△z = Au + B△v+ o(p)由于函数 z=f(u,v)在点(u,v)有连续偏导数OzOz.Az =Au+Av+&,Au+&,Av,QuOv当△u→ 0, → 0时 →0, 62 →0Oz.AuAvAzOzAuAv++182△t△t△tOvQu△t△tdzAzOzduOz dylimdtQudtOv dtAt-→0△tdt△t△tdt

z ==  tz , dd tu tu →  , dd tv tv →  可微 z = A u + Bv + o() 由于函数 z f u v u v = ( , ) ( , ) 在点 有连续偏导数  +   +  v vz u uz , 1 2  u +  v 当u → 0, v → 0时, 1 → 0,  2 → 0 +   +   tv vz tu uz tv tu  + 1 2   当t → 0时, u → 0, v → 0 =   → tz t 0 lim  +  tu uz dd tv vz dd   = tzdd

定理推广复合欧于两个的情况三个中间变量二如z = f@@W, u= u(t), v= v(t), w = w(t)u变量树图7VWdz.Oz.azOzdudvdwdtOv dtOwOu dtdtdz，导数称为全导数又称链导公式）dt

复合函数的中间变量多于两个的情况. 定理推广 = t z d d u v w z t 导数 t z d d 变量树图 三个中间变量 如z = f (u,v,w), u = u(t), v = v(t), w = w(t) u z   v z   + t u d d  w z   + t v d d  t w d d  称为全导数(又称链导公式)

如z = f(u,v,w), u = u(t), v= v(t), w = w(t)dzOz du.Oz dvOzdwdt Ou dtOv dtOwdt问：函数对某自变量的偏导数之结构中间变量的个数，项数每一项函数对中间变量的偏导数×该中间变量对其指定自变量的偏导数（或导数）

项数 问: 每一项 中间变量 函数对中间变量的偏导数 该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数). 的个数.  函数对某自变量的偏导数之结构 如z = f (u,v,w), u = u(t), v = v(t), w = w(t) = t z d d u z   v z   + t u d d  w z   + t v d d  t w d d 

dy例1 设 J= (cos x)i×, 求dx解法一这是幂指函数的导数可用取对数求导法计算但用全导数公式较简便法二令u= cosx, v=sinx, 则y=u"dy Qy du, ay dyYdx Ou dxvdx= vu"-I(-sin x)+ u' Inu(cos x)= (cos x)I+sin*[In cos x - tan2 x]

例1 设 求 . x y d d 这是幂指函数的导数, 但用全导数公式较简便. 法二 = x y d d y u v x (cos ) , sin x y = x 解 法一 令u = cos x, ( sin ) ln (cos ) 1 vu x u u x v v = − + − (cos ) [lncos tan ] 1 sin 2 x x x x = − + v 则y = u 可用取对数求导法计算. v = sin x, +   x u u y d d x v v y d d  

两个中间变量两个自变量2. z = f(u,D),u=Φ(x,y),v=y(x,y)的情形复合函数为z= f[(x,y),y(x,y)l如果u=p(x,y)及v=y(x,j)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数，且函数z=f(u,v)在对应点(u,V)具有连续偏导数,则复合函数z= f[(x,y),y(x,y)]在对应点(x,y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算Oz. OvOzOz u.Oz OvOz OuOz.Qu axOv ax' QyaxOv QyQu Qy

z = f (u,v),u = (x, y),v =(x, y) 复合函数为 z = f[(x, y),(x, y)]. , x v v z x u u z x z     +     =   如 果u = (x, y)及v =(x, y)都在点(x, y) 具有对x和y的偏导数, 且函数z = f (u,v)在对 应点(u,v) 则复合函数 z = f[(x, y),(x, y)]在对应点(x, y)的两个 偏导数存在, 且可用下列公式计算 两个中间变量 两个自变量 具有连续偏导数, 2. 的情形. . y v v z y u u z y z     +     =  

fip(x,y),y(x,y)7=变量树图Ozauzdvdz.avaxaxduaxavazaz.QuOzayayavOyQu

u v x z y =   x z    u z x u      + v z x v   =   y z    u z y u      + v z y v   变量树图 u v z = f [( x, y), (x, y)]

azaz例2 设z=e"sinv,u= xy,v=x+ y，求%和ayaxOOvzOz u解o axax Ou ax=e" sinv. y+e" cosv.1= e*[ysin(x + y)+ cos(x + y)]zzuzv++v' ayQyQuQye" sinv.x+e" cosv.1= e*[xsin(x + y)+ cos(x + y)]

解 = xz  uz xu   + vz xv = e sinv  y + e cos v 1 u u e [ ysin( x y) cos( x y)]. xy = + + + = yz  uz yu   + vz yv = e sinv  x + e cos v 1 u u e [xsin( x y) cos( x y)]. xy = + + + 例 2 sin , , , u 设z e v u xy v x y = = = + . z z x y     求 和

类似地再推广，中间变量多于两个的情形设u = @(x,) v = w(x )w = o(x. v)三个中间变量两个自变量都在点(x,J）处具z = f[@(x,y),y(x,y),(x,y)l在对应点(x,y)u2W的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：OzOz OuOz OvOz OwaxOu OxOv axOw ax7azOz. OuOz OvOz OwayavayOwayQu Qy

中间变量多于两个的情形 =   x z =   y z 类似地再推广, 设u = (x, y),v =(x, y),w = (x, y) 都在点(x, y)处具有对x和y的偏导数, 复合函数 z = f[(x, y),(x, y),(x, y)] 在对应点 (x, y) 的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算: 三个中间变量两个自变量 u v w z w v u y x +     x u u z +     x v v z x w w z     +     y u u z +     y v v z y w w z    