《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程 7-4 第四节 一阶线性微分方程

第四节 一阶线性微分方程线性方程1伯努利方程小结思考题

第四节 一阶线性微分方程 ◼ 线性方程 ◼ 伯努利方程 ◼ 小结 思考题

一、线性方程一阶线性微分方程的标准形式dy自由项+ P(x)y =Q(x)dx当Q(x)=0,上面方程称为齐次的;当Q(x)丰0,上面方程称为非齐次的dxdy如xsint+t，线性的;V-dtdx非线性的.yy'-2xy =3, y'-cos y = 1

一、线性方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 一阶线性微分方程的标准形式 当Q(x)  0, 上面方程称为 当Q(x)  0, 上面方程称为 如 , d d 2 y x x y = + sin , d d 2 x t t t x = + yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 线性的; 非线性的. 齐次的; 非齐次的. 一阶线性 自由项

一阶线性微分方程的解法dy + P(x)y = 0.1.线性齐次方程dx(使用分离变量法)dy = -P(x)dx,[%=-J P(x)dx,yIn | y=-{ P(x)dx+lnCj,(C,为任意常数)齐次方程的通解为y=Ce-JP(r)d(C =±e℃)

( ) 0. d d + P x y = x y ( )d , d P x x y y = − ( )d , d   = − P x x y y 齐次方程的通解为  = − P x x y Ce ( )d 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) (C1为任意常数) ( ) C1 C = e 1 ln | | ( )d ln , y P x x C = − + 

例解微分方程y'+siny+xcosy+x=0yy2解原方程变形y'+2sin+2cosx=0COS42221y+x=0an2y22cos2VD+x=0tantan+ tan二u2.22一阶线性方程u'+u+x=0Ly原方程的解:Ce-x +(1-x)tan2

例 解微分方程 y + sin y + xcos y + x = 0 解 原方程变形 y +  y + y 2 2cos 1 2  0 2 tan 2 tan + + =        x y y u y = 2 tan  u + u + x = 0 一阶线性方程 原方程的解 (1 ) 2 tan Ce x y x = + − − + 2 cos 2 2sin y y x y  2 2cos2 = 0 + 2 tan y x = 0

dy2.线性非齐次方程+ P(x)y =Q(x)dx线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况Ce-J P(x)dx线性齐次方程的通解是显然线性非齐次方程的解不会是如此,但它们之间应存在某种共性dy设想非齐次方程+ P(x)y= Q(x)的解是dx-[ P(x)dxC(x)V待定函数

2. 线性非齐次方程 + P x y = x y ( ) d d 线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况. , ( )d  − P x x Ce 显然线性非齐次方程的解不会是如此, 之间应存在某种共性. 设想 ( ) ( ) d d P x y Q x x y 非齐次方程 + = 待定函数 线性齐次方程的通解是 但它们 Q(x)  = − P x x y e ( )d C(x) 的解是

dy+ P(x)y = Q(x)dxy= C(x)e / P(n)adx求导,得对y'= C(x)e J (m)dr- P()dx.(-P(x)+C(x)edy将y和y代入原方程得+ P(x)y = Q(x)dxC(x)e -/ P(x)dr+C()[-P(x)]e f p()dr+ P(x)C(x)e + P()g)=Q(x)从而C(x)满足方程 C(x)e-[ P(r)de× = Q(x)

+   =  − P x x y C x e ( )d ( ) 将y和y代入原方程, Q(x)    + −   − P x x − P x x C x e C x P x e ( )d ( )d ( ) ( ) ( ) =  + − P x x P x C x e ( )d ( ) ( ) 从而C(x)满足方程 ( ) , ( )d 对 =  求导 − P x x y C x e 得 C(x) [−P(x)]  − P x x e ( )d 得 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = ( ) ( ) ( )d C x e Q x P x x =   − ( ) ( ) d d P x y Q x x y + =

P(x)dx即fc'(x)dx=[e(x)edxC(m)=Je(x)e ax)ardx +C-J P(x)dxdy设y=是+P(x)y =Q(x)的解dx一阶线性非齐次微分方程的通解为 = (waf (xel ()d x+ 常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法

即   = P x x C x Q x e ( )d ( ) ( ) C x Q x e x P x x ( ) ( ) d ( )d  =  +C 一阶线性非齐次微分方程的通解为 [ ( ) d ] ( )d ( )d y e Q x e x C P x x P x x +   =  −  = − P x x y C x e ( )d 设 ( ) 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为 待定函数的方法.  dx  dx ( ) ( ) . d d 是 P x y Q x 的解 x y + =

dy+ P(x)y = Q(x)dx一阶线性方程解的结构P(x)dxJ=e p(x)dr,tfe(x)e)dx+CJCe- / p(n)ax-J P(x)dxP(x)dx.Je(x)eJdx+对应齐次非齐次方程的一个特解方程通解注一阶线性方程解的结构及解非齐次方程的常数变易法对高阶线性方程也适用

+  = − P x x Ce ( )d 对应齐次 非齐次方程的一个特解 方程通解 [ ( ) d ] ( )d ( )d y e Q x e x C P x x P x x +   =  − 一阶线性方程解的结构 e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d     − 注 一阶线性方程解的结构及解非齐次方程 的常数变易法对高阶线性方程也适用. ( ) ( ) d d P x y Q x x y + =

P(x)dxy=eJP(x)dr1[Q(x)edx + Clsin x的通解例 求方程+V=xxsinx1阶线性非一解 P(x)=00齐次方程xx2dxdxsinxxxedx +CeV=x1sin xdx + C)= =(- cos x + C)X

. 1 sin 求方程 的通解 x x y x y + = , 1 ( ) x P x = , sin ( ) x x Q x =  = − x x y e d 1 ( )  = x x + C x sin d 1 ( x C ) x = − cos + 1 解例 一阶线性非 齐次方程     x sin x  x x e d 1 dx +C [ ( ) d ] ( )d ( )d y e Q x e x C P x x P x x +   =  −

例 如图所示,平行于y轴的动直线被曲线y=f(x)与y=x(x≥O)截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积求曲线y=f(x)解 /(x3 - j) = f(x)dx(J" ydx)-(x3 - y)VxV=积分方程y= 3x2 - y'y=f(x)即 J'+y=3xo1x一阶非齐次线性方程x

− = 3 2 (x y)  = − x y x x y 0 3 d 2 y + y = 3x 解  x f x x 0 ( )d 积分方程 例 如图所示,平行于y 轴的动直线被曲线 y = f (x) 阴影部分的面积, 一阶非齐次线性方程 ( )  ( )  y = x − y 2 3 即 x y O 3 y = x y = f (x) x P Q 截下的线段PQ之长数值上等于 求曲线 y = f (x). 3 与y x x =  ( 0)