《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第七章 微分方程 7-6 第六节 高阶线性微分方程

第六节高阶线性微分方程1二阶线性微分方程线性微分方程的解的结构■小结思考题
◼ 二阶线性微分方程 ◼ 线性微分方程的解的结构 ◼ 小结 思考题 第六节 高阶线性微分方程

一、二阶线性微分方程d?dy1形如+ P(x)+Q(x)y = f(x)2dxdx二阶线性微分方程当 f(x)=0时,二阶线性齐次微分方程当f(x)≠0时,二阶线性非齐次微分方程D(n+ P(x)(a-1)+ ...+ P-(x)y+ P,(x)y = f(x)n阶线性微分方程
二阶 ( ) ( ) d d ( ) d d 2 2 Q x y f x x y P x x y + + = 当 f (x) = 0时, 二阶线性齐次微分方程 当 f (x) 0时, 二阶线性非齐次微分方程 微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P x y P n x y P n x y f x n n + + + − + = − 形如 一、二阶线性微分方程 线性微分方程 f (x) n阶线性

线性微分方程的解的结构二、纟一阶齐次方程解的结构v"+ P(x)y'+Q(x)y =(1)定理1如果函数y (x)与y2(x)是方程(1)的两个解那末y=Ciyi(x)+C2J2(x)也是(1)的解,(Ci,C,是常数)叠加原理证 [Ciy"+C2y’]+P(x)[Ciyi +C2J2]+ Q(x)[Ci +C2y2]=C[y"+ P(x)y +Q(x)yl+C,[y2 + P(x)y2 +Q(x)y2)=0y=Ciyi(x)+Cy2(x)一定是通解
( ) ( ) y = C1 y1 x + C2 y2 x y + P(x) y + Q(x) y = 定理1 ( ) ( ) (1) , 如果函数y1 x 与y2 x 是方程 的两个解 那 末y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x)也 是(1)的 ( , ). C1 C2是常数 证 [C1 y1 +C2 y 2 ]+ ( )[ ] 1 1 2 2 P x C y +C y ( )[ ] 1 1 2 2 + Q x C y +C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 = C y+ P x y +Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 +C y+ P x y +Q x y = 0 ( ) ( ) (1) , 如果函数y1 x 与y2 x 是方程 的两个解 叠 加 原 理 0 一定是通解 (1) 二、线性微分方程的解的结构 解, 1.二阶齐次方程解的结构

定义设yi,J2,,n为定义在区间I内的n个函数如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内恒等式成立kiyi + k2y2 +...+ k,y, = 0那未称这n个函数在区间I内线性相关否则称线性无关如1, cos2 x, sin’ x (x E (-o0,+oo)线性相关取k, =1,kz=k, =-1,有恒等式无关e1-cosx-sinx=0
线性无关 定义 n y , y , , y 设 1 2 0 k1 y1 + k2 y2 ++ kn yn 线性相关. 否则称线性无关. 如 1 cos ,sin ( ( , )) 2 2 , x x x − + , ( ( , )) 2 − + − e e e x x , x x 线性相关 取k1 = 1,k2 = k3 = −1,有恒等式 1 cos sin 0 2 2 − x − x 恒等式成立 如果存在n个不全为零的常数,使得当x在该区间内 那末称这n个函数在区间I内 为定义在区间I内的n个函数

y" + P(x)y + Q(x)y = 0 (1)Ji(x)≠常数,特别地若在I上有J2(x)则函数y(x)与y(x)在I上线性无关.如果函数y(x)与y(x)是方程(1)的两个定理2线性无关的特解,那末 y=Ciyi(x)+C2y2(x)也是(1)的通解为了求齐次线性方程的通解只要求它的两个线性无关的特解如 y"+ y= O, yi = cosx, y2 =sinx,且=tan x +常数, 通解y=C, cosx+C, sinx.J1
特别地 如 y + y = 0, cos , y1 = x x y y tan 1 2 且 = cos sin . y = C1 x +C2 x 则函数y1 (x)与y2 (x)在I上 线性无关. 定理2 如果函数y1 (x)与y2 (x)是方程(1)的两个 ( ) ( ) y = C1 y1 x + C2 y2 x y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1) 常数, 通解 为了求 只要求它的两个线性无关的特解. sin , y2 = x ( ) ( ) 2 1 y x y x 线性无关的特解, 常数, 那末 也是(1)的 齐次线性方程的通解, 若在I上有 通解

定理2可推广到n阶齐次线性方程推论如果函数yi(x),y2(x),,y,(x) 是n 阶齐次线性方程y(n) + P(x)y(n-I) +...+ P-(x)y'+ P,(x)y = 0的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为y = Cii(x) +C2y2(x)+... +Cnyn(x)其中Ci,C2,Cn为任意常数
定理2 推论 是n 阶齐次 线性方程 ( ) ( ) ( ) 0 1 ( 1) 1 ( ) + + + − + = − y P x y P x y P x y n n n n 的n 个线性无关的解, 那么, 此方程的通解为 ( ) ( ) ( ), 1 1 2 2 y C y x C y x C y x = + ++ n n 其中 C C Cn , , 1 2 为任意常数. 可推广到n 阶齐次线性方程. 1 2 ( ), ( ), , ( ) n 如果函数 y x y x y x

y" + P(x)y + Q(x)y = 0 (1)2.二阶非齐次线性方程的解的结构定理3设*是二阶非齐次线性微分方程(2)y" + P(x)y' +Q(x)y =f(x)的一个特解,Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解那么y=Y+J是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解为了求非齐次线性方程的通解,只要求得:非齐次线性方程的一个特解和对应齐次线性方程的通解
2.二阶非齐次线性方程的解的结构 定理3 y + P(x) y + Q(x) y = 设y 的一个特解, 那么y = Y + y 为了求 非齐次线性方程的一个特解和对应齐次线性方程 只要求得: 的通解. y + P(x) y + Q(x) y = 0 (1) 非齐次 f (x) (2) 非齐次线性方程的通解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 是二阶非齐次线性微分方程(2)的 通解. 是二阶非齐次线性微分方程

如方程y"+y=x2是二阶非齐次线性方程已知Y=C,cosx+C,sinx 是对应齐次方程y"+y=0的通解.又容易验证*=x2-2 是所给方程的一个特解:y=Y+y*=Ci cosx+C, sinx + x2- 2是非齐次方程的通解
2 方程 y + y = x 已知 Y = C1 cos x +C2 sin x y + y = 0 的通解.又容易验证 2 2 = − y x 是所给方程的一个特解. 是非齐次方程的通解. y = Y + y 如 是二阶非齐次线性方程 = C1 cos x +C2 sin x 2 2 + x − 是对应齐次方程

y"+P(x)y'+Q(x)y=f(x)2定理4 设非齐次方程(2)的右端f(x)是几个函数之和, 如y" + P(x)y'+Q(x)y =fi(x)+ f,(x)而y*与y分别是y" + P(x)y' +Q(x)y = fi(x)y" + P(x)y'+Q(x)y= f2(x)的特解,那么y+y就是原方程的特解解的叠加原理定理3和定理4也可推广到n阶非齐次线性方程
解的叠加原理 定理4 设非齐次方程(2)的右端f (x)是几个函数 如y + P(x)y +Q(x)y = 而y1 与y2 分别是( ) ( ) ( ) y + P x y +Q x y = f 1 x ( ) ( ) ( ) y + P x y +Q x y = f 2 x 1 + 2 y y y + P(x) y + Q(x) y = f ( x)) (2) f 1 (x)+ ( ) 之和, f 2 x 的特解,那么 就是原方程的特解. 定理3和定理4也可推广到n 阶非齐次线性方程

例求解y"+y=x+e解y"+y=0 的通解是Y=C,cosx+C,sinx再考虑两个方程y"+y=x,"+y=ex1yt = x, y分别是上述两个方程的特解2=+ 是原方程的特解所以原方程的通解为y= Y+y*=Ci cos x +C, sin x+ x +2
求解 x y + y = x + e 解 y + y = 的通解是 Y = C1 cos x +C2 sin x 再考虑两个方程 y + y = x, x y e 2 1 2 = , y1 = x 分别是上述两个方程的特解. 所以原方程的通解为 y = 例 x y + y = e = C1 cos x + C2 sin x 0 + x x e 2 1 + Y + y 是原方程的特解 * * * 1 2 y y y = +
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