《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第五章 定积分 5-1 第一节 定积分的概念与性质

第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的儿何意义和物理意义四、关于函数的可积性五、定积分的性质六、小结思考题

1 第一节 定积分的概念与性质 一、定积分问题举例 二、定积分的定义 四、关于函数的可积性 三、定积分的几何意义和物理意义 六、小结 思考题 五、定积分的性质

一、定积分问题举例定积分概念也是由大量的实际问题抽象出来的,现举两例。1.曲边梯形的面积求由连续曲线y=f(x)>0及y= f(x)直线x=a,x=b和y=0所围成A=的曲边梯形的面积OTabx2A

2 1.曲边梯形的面积 定积分概念也是由大量的实际问题抽象出 求由连续曲线 y = f (x)  0及 直线x = a, x = b和y = 0所围成 的曲边梯形的面积A. 一、定积分问题举例 来的, 现举两例. a b y = f (x) O x y

采取下列四个步骤来求面积A(1)分割（大化小）-----整体与局部的对立统一任意用分点 a= X<xi <x <.….<xn-1 <x=b,把区间[a,b]分成n个小区间[xi-1,x;l,长度为 △x; =X;-Xi-1Jy= f(x)ofa xiXi-X,X-b3A

3 把区间[a,b]分成n个 采取下列四个步骤来求面积 A. (1) 分割（大化小） , 任意用分点 a = x0  x1  x2  xn−1  xn = b ; xi = xi − xi−1 小区间[xi−1 , xi ]， 长度为 a b y = f (x) O x y x1 xi−1 xi xn−1 -整体与局部的对立统一

(2)取近似（以直代曲）----运动与静止的对立统一在每个小区间[x;-1,x;]上任取一点5,以[xi-1,x;I为底,f(;)为高的小矩形,面积近似代替 AA，有A,～f()Ax;,i=1,2,nM表x1x心维山边梯形的棋Vy= f(x)ofa xX-15, x; x-b xA

4 a b y = f (x) [ , ] 在每个小区间 xi−1 xi (2) 取近似（以直代曲） 以[xi−1 , xi ]为底， ( )i f  为高的小矩形, 面积近似代替 O x y i x 1 x i−1 x n−1 x 上任取一点 i， Ai , 有Ai  f (i )xi ,i =1,2,n -运动与静止的对立统一

（积零为整）(3) 求和----局部与整体的对立统一这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值1Zf(5)Ax;A~i-1yVotxOx(工个小矩形)（十个小矩形）最大的△x;a = max(Axj,Ax2, ...Axn]A

5 A  (3) 求和（积零为整） 这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积 A的近似值. i n i  f i x = ( ) 1  （五个小矩形） （十个小矩形） O x y O x y 最大的xi max{ , , }  = x1 x2 xn -局部与整体的对立统一

(4)求极限（量变到质变）为了得到A的精确值，分割无限鼬，即小区间的最大长度=max{△xi,△x2△x,}趋近于零(α一→0）时，取极限，极限就是曲边梯形的面积：nE f(5.)Ax,A = lim→0i16

6 (4) 求极限 面积： （ ）时，取极限，极限值就是曲边梯形的 的最大长度 趋近于零 为了得到 的精确值，分割无限加细，即小区间 0 max{ , , } 1 2 → =      x x xn A  （量变到质变）

思想以不变代变2.求变速直线运动的路程设某物体作直线运动,已知速度V=v(t)是时间间隔[T,Tl上t的一个连续函数,且v(t)≥0求物体在这段时间内所经过的路程思路把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值

7 2.求变速直线运动的路程 思想 以不变代变 设某物体作直线运动,已知速度 v = v(t) 是时间间隔 [T ,T ]上t 1 2 的一个连续函数, 且v(t)  0, 求物体在这段时间内所经过的路程. 思路 把整段时间分割成若干小段, 每小段上 速度看作不变,求出各小段的路程再相加, 便 得到路程的近似值, 最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值．

(1) 分割 T =t,<ti<t,<...<tn-1<tn=T,At; = t; - ti-14s,表示在时间区间[t;-1,t,]内走过的路程As, ~(2) 取近似(,t; (i =1,2,...n)某时刻的速度nEv(t,)At;(3)求和s~i=1(4)取极限a =max[Ati,△t2,",Atn} 令a → 0Ev(t,)At;s=lim路程的精确值-0i-18

8 (1) 分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t =    n−  n =  i = i − i−1 t t t i i i s  v( )t i i n i s  v t = ( ) 1  (4) 取极限 max{ , , , } 1 2 n  = t t  t 路程的精确值 (2) 取近似 i s (i = 1,2, n) 令 → 0 表示在时间区间 [ , ] 内走过的路程. i 1 i t t − 某时刻的速度 (3)求和

上两例共同点：ZA;1)量具有可加性,I=二、定积分的定2)方法一样；3)结果形式一样定义设函数f(x)在[a,b]正若干个分点a=X<<x<.….<x-1<,=b把区间[a,b分成n个小区间,各小区间长度依次为2△x; = x; -X;-1,(i=1,2,,n),在各小区间上任取一点 5,(5, E △x;), 作乘积f(5,)Ax, (i = 1,2,,n)(3)异作和 S-f(5)Ar,i-1记 =max[△xj,△x2,",△x,},如果不论对[a,b]9A7

9 二、定积分的定义 定义 设函数f (x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入 若干个分点 把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间长度依次为 ,( 1,2, , ), xi = xi − xi−1 i =  n 在各小区间上任取 一点 ( ),  i  i xi 作乘积 并作和 记 max{ , , , },  = x1 x2  xn 如果不论对 (1) (2) (3) 上两例共同点: I = I; 2) 方法一样; 1) 量具有可加性, 3) 结果形式一样. [a,b]

怎样的分法，也不论在小区间[xi-1,x,]上点5怎样的取法,，只要当 α→0时,和S总趋于确定的极限I,称这个极限I 为函数f(x)在区间[a,bl上的定积分.记为sum积分和积分上限Zf(5.)4x,f(x)d- 1 =lim2-→0i-1积分下限积分变量被积表达式被积函数[a,b]积分区间10A

10 被 积 函 数 被 积 表 达 式 记为 积分和 怎样的分法, 也不论在小区间 [ , ] xi−1 xi 上点  i 怎样的取法, 只要当 和S总趋于确定的 极限I, 称这个极限I 为函数 f(x)在区间[a,b]上的 定积分. i n i i b a f x x I f  x  ( )d lim ( ) 1  0= → = = 积分下限 积分上限 积 分 变 量 [a,b]积分区间 sum