《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第七章 微分方程 7-1 第一节 微分方程的基本概念

第一节微分方程的基本概念问题的提出基本概念小结思考题

第一节 微分方程的基本概念 n 问题的提出 n 基本概念 n 小结 思考题

一、问题的提出例1一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x,J)处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程解设所求曲线为y= y(x)dy一可直接积分的方程:2xdxy=J2xdx 即y=x2+C,求得C=1,所求曲线方程为y=x2+1

解 x x y 2 d d   y  2xdx , 2 即 y  x  C 求得 可直接积分的方程 1 . 2 y  x  C  1, y  y(x) 例1一曲线通过点(1,2), 且在该曲线上任一点 M(x, y) 处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程. 一 、问题的提出 设所求曲线为 所求曲线方程为

例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶当制动时列车获得加速度0.4米/秒问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解 设制动后 t秒钟行驶 s 米,s = s(t)d's可直接积分的方程-0.4dt?ds-0.4t +C, = s = -0.2t2 +C,t +C,V=dtds: 20= C = 20, C2 = 0t =0时,s=0, vdt

解 0.4 d d 2 2   t s t  0时, t s v d d  1 2 2 s  0.2t  C t  C s  0, 1  0.4t  C 20, C1  0 20 C2  d d   t s v s  s(t).  可直接积分的方程 例2 列车在平直的线路上以20米 秒 的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4 , 2  米 秒 问开始制动 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间 内行驶了多少路程?  设制动后 t 秒钟行驶 s 米

ds=-0.4t+20Vdt故s=-0.2t+ 20t令V= 0,得到开始制动到列车完全停住共需时间20t=50(秒),0.4t=50，得到列车在这段时间内行驶的路程s = -0.2×502 + 20 × 50 = 500(米)

0.2 20 , 2 s   t  t 0.4 20, d d    t  t s v 故   0.4 20 t 0.2 50 20 50 500( ). s    2    米 得到开始制动到列车完全停住共需时间 50(秒), 令v  0, t  50, 得到列车在这段时间内行驶的路程

我们所学习的不定积分，实际上就是求解最简单的一类微分方程：有些微分方程虽不这样简单，但经过化简，可以变成以上的形式这些方程也可看作可直接积分的方程

我们所学习的不定积分,实际上就是求解 有些微分方程虽不 但经过化简, 可以变成以上的形式. 这些方程也可看作可直接积分的方程. 这样简单, 最简单的一类微分方程

基本概念二、凡含有未知函数的导数(或微分)的方程称微分方程如xy一阶PV3y=e* 二阶+V2az+xdx=0一阶一阶dt+x=x+yax未知函数是一元函数的方程为常微分方程；偏微分方程未知函数是多元函数的方程为方程中所出现的导数的最高阶数称微分方程的阶

如 y  xy ( )d d 0 2 t  x t  x x  x y  2 y  3 y  e x y x z     二、基本概念 凡含有未知函数的导数(或微分)的方程称 未知函数是一元函数的方程为 方程中所出现的导数的最高阶数称 微分方程. 常微分方程; 未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程. 微分方程的阶. 一阶 一阶 二阶 一阶

代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解微分方程的解的分类(1)通解微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同dy特解=x2+1.如方程=2x,通解y=x2+Cdxd’s通解 s = -0.2t +C,t + Cz= -0.4,dt?特解 s =-0.2t2+20t.(2) 特解确定了通解中任意常数以后的解

代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为 微分方程的解. 微分方程的解的分类 (1)通解 微分方程的解中含有任意常数,且任意 常数的个数与微分方程的阶数相同. (2) 特解 确定了通解中任意常数以后的解. 如方程 y  x  C 2 1 . 2 2 , y  x  d d x x y  通解 0.4, d d 2 2   t s 1 2 2 通解 s  0.2t  C t  C 特解 特解 0.2 20 . 2 s   t  t

初始条件用来确定任意常数的条件如前例，曲线通过点(1,2)注通解和特解是一般和特殊的关系初值问题（柯西问题）求微分方程满足初始条件的解的问题解的图象微分方程的积分曲线通解的图象积分曲线族

初始条件 用来确定任意常数的条件. 注 通解和特解是一般和特殊的关系. 如前例, 曲线通过点(1, 2). 初值问题(柯西问题) 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解的图象 通解的图象 微分方程的积分曲线. 积分曲线族

一般的n阶微分方程为F(x, y, y',.., y(n)) = 0.已解出最高阶导数的微分方程y(n) = f(x,y, y',..", y(n-l))今后讨论y'= f(x,y)阶几何意义是过定点的积分曲线：J/x=x, = Joy" = f(x,y,y')二阶Jix=xo = Yo, Jix=xo = y°几何意义是过定点且在定点的切线的斜率为定值定值的积分曲线

是过定点的积分曲线;        0 0 ( , ) y y y f x y x x 一阶 二阶            0  0 0 0 , ( , , ) y y y y y f x y y x x x x 是过定点且在定点的切线的斜率为定值 几何意义 几何意义 定值的积分曲线. 一般的n阶微分方程为 ( , , , , ) 0, ( )   n F x y y  y ( , , , , ). ( ) ( 1)   n n y f x y y  y 已解出最高阶导数的微分方程 今后讨论

例3验证：函数x=C,coskt+C,sinkt是微分方程d"x+k2x=0的解．并满足初等条件dt?dx=0的特解xt=0dtIt=0dx解- kC, sin kt + kC, cos ktdtd'x- kC, cos kt - k'C, sin ktdt?dR的表达式代入原方程将和x dt- k°(C, cos kt +C, sin kt)+ k(C, cos kt + C, sin kt) = 0

解  t x d d   2 2 d d t x x t x 将 2 和 2 d d 验证：函数x  C1 coskt  C2 sinkt是微分方程 0 . d d , 0 0   的特解   t t t x x A kC sin kt kC cos kt  1  2 k C cos kt k C sin kt 2 2 1 2   例3 的表达式代入原方程, ( cos sin ) ( 1 cos 2 sin ) 0 2 1 2 2  k C kt  C kt  k C kt  C kt  0 . d d 2 2 2  k x  的解 t x 并满足初等条件