《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章 重积分 10-习题课

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第十章 重积分 ➢教学要求 ➢典型例题 习 题 课

一、教学要求1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质：2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标，极坐标)；掌握三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。3.会用重积分的概念和重积分的性质求一些儿何量与物理量

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重 积分的性质 . 2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标，极 坐标)；掌握三重积分的计算方法(直角坐标、柱 面坐标、球面坐标). 3.会用重积分的概念和重积分的性质求一些 几何量与物理量. 一、教学要求

二、教学要求（一）、重积分计算的基本方法（二）、重积分计算的基本技巧（三）、重积分的应用

（一）、重积分计算的基本方法 （二）、重积分计算的基本技巧 （三）、重积分的应用 二、教学要求

（一）、重积分计算的基本方法累次积分法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面（线）围成：被积函数用此坐标表示简洁或变量分离2．选择易计算的积分序积分域分块要少，累次积分易算为妙3.掌握确定积分限的方法图示法（从内到外：面、线、点）列不等式法

（一）、重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙. 图示法 列不等式法(从内到外: 面、线、点) 3. 掌握确定积分限的方法 —— 累次积分法

练习P185 3 (3) ; 8; 7 (1), (3)补充题：JJ,(x+ y)do计算积分其中D由=2x所围成x+y=4, x+y=12解答提示：（接下页）

练习 计算积分 其中D 由 所围成. P185 3 (3) ; 8; 7 (1), (3) 补充题： 解答提示: (接下页)

J[,VR?-x?- ydo,P185 3(3).计算二重积分x+y? = Rx所围成的闭区域其中D为圆周福分析利用极坐标yr = Rcos00≤r≤Rcos0D:≤号D0RxZ2RcosedorR?-2dr解原式=12Jo1433

3(3).计算二重积分 其中D为圆周 所围成的闭区域. 分析 利用极坐标 r R = cos 原式 y D R x o D :    0 cos  r R  2 2   −    P185 解

J。(x,y,z)dxd ydz化为三次积分,P1868.把积分=2+，=x及平面=1，=0其中Q由曲面z所围成的闭区域：提示积分域为0≤z≤x+yQ:x2≤y≤1-1≤x≤1[dx dy+原式=f(x,y,z)dz0

8.把积分 化为三次积分, 其中由曲面 提示 积分域为 : 原式 2 2 0 ( , , )d x y f x y z z +  及平面 2 1 d x y  1 1 d x − =  所围成的闭区域 . P186

Jzdxdydz,其中2是两个球P1869（1）.计算积分0x?+ y? +z?≤R?及x?+? +z≤2RzDRR(R>0)的公共部分2分析由于被积函数缺x,y，DV利用“先二后一”计算方便X[2dz]],dzdxdy+dxdy解原式=RDD2zCR· (2Rz-z)d z(R2-z)d z59TRS480

1 z D 2 z D 9(1).计算积分 其中是两个球 (R>0)的公共部分. 分析 由于被积函数缺x, y, 原式= 1 d d D z x y  2 2 2 0 (2 )d R =  − z Rz z z   利用“先二后一” 计算方便. 2 2 0 d R z z  2 d d D z x y  2 2 d R R + z z  2 2 2 2 ( )d R R +  − z R z z   59 5 480 =  R R z y x o 2 R P186 解 及

P186 9(3).计算三重积分J(y°+z")dv,其中Q是由xoy平面上曲线y=2x绕x轴旋转而成的曲面与平面X三5所围成的闭区域7x=x分析利用柱坐标y=rcosaVz=rsin0r2≤x≤52:30≤r≤/100≤0≤2元2502元/10de原式=dx =元32

9(3).计算三重积分 x = 5 其中是由 xoy平面上曲线 所围成的闭区域. 分析 利用柱坐标 cos sin x x y r z r   = = = 原式 2 2 5 r d x  绕x轴旋转而成的曲面与平面 1 2 2 r x   5 0 10  r 0 2     10 3 0 r r d  2 0 d  =   250 3 =   : z x y o 5 P186

,补充题.计算积分(x+ y)do其中D由y2=2x1x+y=4, x+y=12所围成V=2X42分析如图所示D=D,ID,，Cf(x,y)=x+y在D,内有定义且D连续，所以J,(x+ y)doJ, (x+ y)do-JJ, (x+ y)do12-1(x+y)dx-[dy[2(x+y)dx2211= 54315

补充题. D2 计算积分 其中D 由 所围成. 分析 如图所示 2 y x = 2 4 2 − 4 − 6 o y x 2 1 D D D = \ , f x y x y ( , ) = + ( )d D x y + =   2 ( )d D x y +   1 ( )d D − + x y   连续, 所以 2 2 12 y ( )d y x y x − +  4 6 d y − =  2 2 4 y ( )d y x y x − +  2 4 d y − − 11 543 15 = = 在 内有定义且 D 1 D 2 D