《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第三章 微分中值定理与导数的应用 3-06 第六节 函数图形的描绘

第六节函数图形的描绘渐近线(asymptotic line)图形描绘的步骤■作图举例■小结思考题

第六节 函数图形的描绘 ◼ 渐近线(asymptotic line) ◼ 图形描绘的步骤 ◼ 作图举例 ◼ 小结 思考题

渐近线一！定义当曲线y=f(x)上的一动点P沿着曲线移向无穷点时如果点P到某定直线L的距离趋向于零，那么直线L就称为曲线y=f(x)的一条渐近线1.铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线）如果lim f(x) = o0 或 lim_f(x)= 00x→xx-→x那么x=x,就是y=f(α)的一条铅直渐近线11如y=lim8(x + 2)(x - 3)x=-2 (x + 2)(x -3)1=8lim铅直渐近线：x=-2，x=3.x=3 (x + 2)(x - 3)

定义 当曲线y = f (x)上的一动点P沿着曲线 1. 铅直渐近线 如果 移向无穷点时, 如果点P 到某定直线L的距离 趋向于零, 那么直线L就称为曲线y = f (x)的 那么 → + 0 x x 0 x = x 就是y = f (x)的一条 一、渐近线 铅直渐近线. lim f (x) =  或 lim f (x) = → − 0 x x  一条渐近线. 如 , ( 2)( 3) 1 + − = x x y 铅直渐近线: x = −2, ( 2)( 3) 1 lim x→−2 x + x − ( 2)( 3) 1 lim x→3 x + x − x = 3. =  =  (垂直于x轴的渐近线)

(平行于x轴的渐近线)2.水平渐近线如果limf(x)=b 或lim_f(x)=b(b为常数)x→+80r那么y=b就是y=f(x)的一条水平渐近线如 y=arctanx,元元lim arctanx =lim arctanx :22x→+x-→-0元元水平渐近线：y=22

2. 水平渐近线 如 y = arctanx, 水平渐近线: , 2  y = = →+  x x lim arctan = →−  x x lim arctan 那么 . 2  y = − y = b就是 y = f (x)的一条 水平渐近线. x → − b (b为常数) 2  2  − (平行于x轴的渐近线) 如果lim f (x) = x → + b 或 lim f (x) =

3.斜渐近线如果 lim[f(x)-(ax+b))=0 (a,b为常数,且a ≠ 0)(1x士8那么=@x+b就是=f(x)的一条斜渐近线下面求计算a,b的公式：由(1)式和x为无穷大, 有 lim =[f(x)-(ax+b)=0x→±00Xhf(x)(x)即 lim1=lima=0x→±8x→>±8xxxf(x)从而a= lim求出a后,将a代入(1)式可确定bX→±0xb = lim [f(x)-ax]X→±8

3. 斜渐近线 下面求计算a,b的公式: 由(1)式和 [ ( ) ( )] 0 1 lim − + = →  f x ax b x x x为无穷大, − − = →  ] ( ) lim [ x b a x f x x 求出a后, b lim [ f (x) ax] x = − →  x f x a x ( ) lim →  = 那么 − = →  a x f x x ( ) lim 0 将a代入(1)式可确定b, y = ax + b 就是 y = f (x)的一条 斜渐近线. 有 即 从而 lim [ ( ) − ( + )] = 0 →  f x ax b x 如果 (a,b 为常数 ,且a  0) (1)

f(x)=lim[(x)-(xllima=注如果→士8→士8f(x)不存在lim(1)x-→±8xf(x)(2) lima存在,但 lim [f(x)一ax]不存在x-→±8x>to可以断定=f(x)不存在斜渐近线2(x - 2)(x + 3)的渐近线。例1 求f(x)=x-1解 定义域(-80,1)U(1,+8)。: lim f(x)= 00,x-→1x=1是曲线的铅直渐近线

; ( ) (1) lim 不存在 x f x x→  , ( ) (2) lim a 存在 x f x x = →  可以断定 y = f (x)不存在斜渐近线. 例1 . 1 2( 2)( 3) 求 ( ) 的渐近线 − − + = x x x f x 解 (− ,1)(1,+ ). 注 = → lim ( ) 1 f x x  ,  x = 1是曲线的铅直渐近线. 如果 但 lim [ f (x) ax]不存在, x − →  b lim [ f (x) ax] x = − →  , ( ) lim x f x a x→  = 定义域

2(x - 2)(x + 3)的渐近线求 f(x)=x-12(xF(x)lim=limf(x-ax)lima-x-→0X→士80X80Xf(x)2(x - 2)(x + 3)-2=a又: limlimx(x -1)X-→00xx->00lim[f(x) - ax] =lim[f(x) - 2x]x8x82(x - 2)(x + 3)-2xl= limx-1x-2(x - 2)(x + 3) - 2x(x -1):4=b= limx-1X→>00：J=2x+4是曲线的一条斜渐近线

 = → x f x x ( ) 又lim ( 1) 2( 2)( 3) lim − − + → x x x x x = 2 2 ] 1 2( 2)( 3) lim[ x x x x x − − − + = → 1 2( 2)( 3) 2 ( 1) lim − − + − − = → x x x x x x = 4  y = 2x + 4是曲线的一条斜渐近线. = − − + → 1 2( 2)( 3) lim x x x x 无水平渐近线 − = → lim[ f (x) ax] x . 1 2( 2)( 3) 求 ( ) 的渐近线 − − + = x x x f x lim[ f (x) 2x] x − → b lim [ f (x) ax] x = − →  , ( ) lim x f x a x→  = = a = b

习选择题：x曲线的渐近线,共有y:(x -1)(x-2)(D) 4条(A) 1条.(C) 3条.(B) 2条

曲线 的渐近线， ( 1)( 2) | | − − = x x x x y 共有 (B) (A) 选择题: 1条. 2条 (D) . (C) 3条. 4条

二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形确定函数的定义域、值域、间断点,判定函数是否有奇偶性、周期性2讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性和拐点,渐近线3适当计算曲线上一些点的坐标,特别注意是否与坐标轴是否有交点

利用函数特性描绘函数图形. 确定函数的定义域、值域、间断点, 函数是否有奇偶性、周期性. 判定 和拐点, 讨论函数的单调性和极值,曲线的凹凸性 渐近线. 适当计算曲线上一些点的坐标, 是否与坐标轴是否有交点. 特别注意 二、图形描绘的步骤

三、 作图举例4(x+1)-2 的图形.例2 作函数 f(x)E解D：x0，非奇非偶函数4(x + 2)8(x + 3)f'(x) = -f"(x)tsx4得驻点 x = -2,令 f(x)= 0,令 f"(x)= 0, 得x =-3.4(x + 1)2-2]=-2,水平渐近线y=-2;lim f(x) = limx>00x>

例2 2 . 4( 1) ( ) 作函数 2 − 的图形 + = x x f x 解 D : x  0, 非奇非偶函数, , 4( 2) ( ) 3 x x f x +  = − . 8( 3) ( ) 4 x x f x +  = 令 f (x) = 0, 得驻点 x = −2, 令 f (x) = 0, 得x = −3. 2] 4( 1) lim ( ) lim[ 2 − + = → → x x f x x x = −2,水平渐近线y = −2; 三、作图举例

4(x +1)4(x + 2)8(x +3)f(x)f'(x)=f"(x) =x3x44(x+1)-2)= 00,铅直渐近线x = 0.lim f(x) = limlt?x-→0x-→0无斜渐近线。列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点：0x(-80,-3)-3(-3,-2)(-2,0)-2(0,+8)+0不存在f'(x)一0+++f"(x)间断点拐点极小值LLf(x)26-3(-3,-分)

2] 4( 1) lim ( ) lim[ 2 0 0 − + = → → x x f x x x = ,铅直渐近线x = 0. x (−,−3) − 3 (−3,−2) (−2,0) (0,+) f (x) f (x) + − + 0 f (x) 0 − 2 0 − − − + + 不存在 拐点 极小值 间 断 9 ) − 3 点 26 (−3,− 无斜渐近线. 3 4( 2) ( ) x x f x +  = − 4 8( 3) ( ) x x f x + 2  = 4( 1) ( ) 2 − + = x x f x 列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点: