《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第二章 导数与微分 2-习题课

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第二章 导数与微分 ➢教学要求 ➢典型例题 习 题 课

一、教学要求1.理解导数和微分的概念,理解导数的儿何意义及函数的可导与连续性之间的关系2.会用导数描述一些物理量3.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性4.了解高阶导数的概念5.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法6.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数.会求反函数的导数

1. 理解导数和微分的概念,理解导数的几何 意义及函数的可导与连续性之间的关系. 2. 会用导数描述一些物理量. 3. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求 导法,掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式. 了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性. 4. 了解高阶导数的概念. 5. 掌握初等函数一阶、二阶导数的求法. 6. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、 二阶导数. 会求反函数的导数. 一、教学要求

二、典型例题1+x2 +1+nx2 +例1 设=s光I-arctan1中.22求y.u+1解 设u=/l+x，则yarctanu-2u-1111-2x2-x4'2(1 + u2)u+l4xu =(V1+x)/1+ x1(2x+x3)/1+x2

例1 2 2 2 1 1 1 1 arctan 1 ln , 2 4 1 1 . + + = + + + −  x y x x y 设 求 解 u y u u 1 1 1 arctan ln , 2 4 1 + = + − 则 ) 1 1 1 1 ( 4 1 2(1 ) 1 2 − − + + +  = u u u yu 4 1 1 − u = , 2 1 2 4 − x − x = ( 1 ) 2 u = + x  x , 1 2 x x + = . (2 ) 1 1 3 2 x x x y x + +   = − 二、典型例题 u x2 设 = +1

x = 2t+ |t dy例2 设求dx/t=0y = 5t + 4t It]分析解当t=0时,lt|不可导dx dy不存在，:当t =0时不能用公式求导dt'dt5(△t)2 + 4△t △t[3△t,At > 0,Ay法一△xlt=02△t +[△tAt,At 0从而(△t -→ 0).Ardy故=0dxt=0

例2 解 分析 0 , , , dx dy t dt dt  = 当 时 不存在 不能用公式求导. t t t t t x y t  +   +    =   = 2 5( ) 4 2 0          = , 0, 3 , 0, t t t t → 0 ( → 0).   t x y 法一 = d =0 d x t y 故 0 从而 . d d , 5 4 | | 2 | | 0 2  =   = + = + x t y y t t t x t t 设 求 当t = 0时, | t |不可导

x = 2t+[tdy设求dxlt=0y = 5t? + 4t |t2x±0t法二消参数t y=y(x)0x=0由导数的定义dy-0(△r)dylim=0Axdxlt=0Ar-→0dxx=0dy=0dxIt=0

法二 y = y(x) = 由导数的定义 = d =0 d x t y x x x   − =  → ( ) 0 lim 2 0 = 0 0 d d 0  = x t= y x y d d x = 0 消参数t 0    x  0 2 x x = 0 . d d , 5 4 | | 2 | | 0 2  =   = + = + x t y y t t t x t t 设 求

例3 设f(x)= xx(x-2),求 f'(x)解先去掉绝对值x(x - 2),x≤0f(x) =^ -x(x- 2),02或x< 0时,f'(x)= 3x2 -4x;当0 <x<2时, f(x)=-3x2 + 4x;

例3 解 先去掉绝对值      f (x) = ( 2), x  0 2 x x − ( 2), 0  x  2 2 − x x − ( 2), x  2 2 x x − 设f (x) = x x(x − 2),求 f (x). 当x = 0时, (0) = (0) = 0, − + f f f (0) = 0; 当0  x  2时, ( ) 3 4 ; 2 当x  2或x  0时, f  x = x − x ( ) 3 4 ; 2 f  x = − x + x

x(x-2),x≤0f(x) =3 - x(x -2),0 2,或x<0f'(x)=30, x=0,-3x2 +4x,, 0<x<2

当x = 2时, 2 ( ) (2) (2) lim 2 − −  = − → − x f x f f x 2 ( 2) lim 2 2 − − − = → − x x x x = −4. 2 ( ) (2) (2) lim 2 − −  = + → + x f x f f x 2 ( 2) lim 2 2 − − = → + x x x x = 4. (2) (2), − + f   f   = f x x ( ) 2 . 在 处不可导 x x x x f x x x x x 2 2 3 4 , 2, 0 ( ) 0, 0, 3 4 , 0 2,  −     = =   − +   或 , ( 2), 2 ( 2),0 2 ( 2), 0 ( ) 2 2 2      −  − −   −  = x x x x x x x x x f x

f(x)且 lim求f'(2) .3.例4 设|f(x)在 x=2处连续x-2 x - 2f(x)解f(2) = lim f(x)= lim[(x -2)x-2x2=0f(x)- f(2)f'(2) = limx-2x-2f(x)= limx-2 x - 2=3

设 f (x)在 x=2处连续, 且 求 f (2) . f (2) = = 0 2 ( ) lim 2 − = → x f x x = 3 例4 解 lim ( ) 2 f x x→ = [ (x − 2) ] 2 lim x → ( 2) ( ) x − f x x f x 2 x ( ) lim 3, → 2 = − x f x f f 2 x ( ) (2) (2) lim → 2 −  = −

(n)24x2=(-1)例5 设y=求y("),n+1x2-4x4x2-4 +331解y2x?-1大2x+1一xn(n)(-1)" n!(-1)" n!(x -1)n+1,(x + 1)n+1 x1n!1)n+1(x +1)"2

例 5 解 = −− = 1 4 1 22 xx y   + − − = + 1 1 1 1 23 4 x x  =   − ( ) 1 1 n x  =   + ( ) 1 1 n x ]. ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) ![ 23 1 1 ( ) + + + − −  = − n n n n x x y n 1 ( ) ! ( 1) 1 +  = −   n n n xn x , ( 1) ( 1) !+1 −− n n x n , ( 1) ( 1) !+1 +− n n x n + 3 1 2 x − 2 4x − 4 , . 1 4 1 ( ) 22 n y xx 设y 求 −− =

n(x-+ax +b例6 设 f(x) =limn(x-1)+1n-→0e试确定常数a,b使f(x)处处可导，并求f'(x)x1xx1时

试确定常数a , b使 f (x)处处可导，并求      f (x) = x  1 ( 1), x = 1 2 1 a+ b + x  1 f (x) = 2x , 2 x 例6 解 1 ( ) lim ( 1) 2 ( 1) + + + = − − → n x n x n e x e ax b 设 f x ax +b , f x ( ). x  1时, f (x) = 2x x  1时