《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限 1-05 第五节 极限运算法则

第五节极限运算法则■集合极限运算法则求极限方法举例■小结思考题

第五节 极限运算法则 ◼ 集合极限运算法则 ◼ 求极限方法举例 ◼ 小结 思考题

极限运算法则limf(x）泛指任一种极限设 lim f(x)= A, lim g(x)= B,则定理1(1)liml f(x)±g(x)l = A± B;(2)liml f(x)· g(x)] = A B;f(x)A(3)lim其中B±0.Bg(x)证 (1) : lim f(x) = A, lim g(x) = B.无穷小与函数极限的关系其中α→0,β→0

一、极限运算法则 定理1 设lim f (x) = A,lim g(x) = B,则 证 lim f (x) = A,  f (x) = A+ , (1) (1) lim[ f (x) g(x)] = A B; (2) lim[ f (x) g(x)] = A B; , 0. ( ) ( ) (3) lim = B  B A g x f x 其 中lim f (x)泛指任一种极限 g(x) = B + . 其中 →0, →0. 无穷小与函数极限的关系 lim g(x) = B

f(x)±g(x)=[A+α]±[B+β]=[A ±B]+[α± β]由无穷小运算法则,得 α±β→0:. lim[ f(x) ±g(x)l = A± B= lim f(x)± limg(x)(2) 的特例是 lim[Cf(x)= C lim f(x)即常数因子可以提到极限符号外面，lim[ f(x)]" = [lim f(x)]"n是正整数

即常数因子可以提到极限符号外面. = n lim[ f (x)] 由无穷小运算法则,得    → 0 f (x)  g(x) = (2) lim[Cf (x)] = C lim f (x) n是正整数. n [lim f (x)] A B= lim f (x)  lim g(x) 的特例是 [A +  ]±[B +  ] = [A ±B] + [±  ]  lim[ f ( x)±g( x)] =

定理2 设有数列(x,和y,,如果lim x, = A, lim yn = Bn8n8那末 (1)lim(x,± yn)=A±B;n>0(2) limxn yn = A. B;n8(3)当y, ±0(n = 1,2,..)且B ±0时AxnlimBn-→>00yn

定理 2 lim x A , n n = →  那末  = → (1) lim( ) n n n x y { } { }, n n 设有数列 x 和 y lim y B , n n = →  如果  = →  n n n ( 2 ) lim x y (3)当y  0(n = 1,2, )且B  0时, n  = → nn n yx lim A B ; A  B ; . BA

定理3如果p(x)≥y(x),而limp(x) = a,lim y(x) = b, 那末a ≥ b.证 令f(x)=p(x)-(x),则 f(x)≥0.由定理1(1):有 lim f(x) = lim[g(x) -y(x))= limg(x) - limy(x) = a-b.有limf(x)≥0,即 a-b≥0,由保号性定理故a≥b.若在U(x,S)内有f(x)≥0,则必有A≥0

定理3 如果(x) (x), 那末a  b. 证 令f (x) = (x) −(x),则 f (x)  0. 由定理1(1), lim f (x) = lim(x) −(x) = lim(x) − lim(x) = a −b. 由保号性定理, lim f (x)  0, a  b. 即 a − b  0, 故 而lim(x) = a, lim (x) = b, 有 ( , ) ( ) 0, 若在U x0  内有f x   则必有A  0. 有

注意应用四则运算法则时，要注意条件，参加运算的是有限个函数，它们的极限都存在,商的极限要求分母的极限不为08不要随便参加运算，因为8不是数,它是表示函数的一种性态

注意 应用四则运算法则时,要注意条件: 参加运算的是有限个函数,它们的极限都 商的极限要求分母的极限不为0.  不要随便参加运算, 因为  不是数,它是 表示函数的一种性态. 存在

二、求极限方法举例2x3 -4例1 求 limx=2 x2 5x + 3解 : lim(x2 -5x +3) = lim x2 -lim 5x+ lim 3x-→2x-2x-→2x2= (lim x)2 - 5lim x + lim 3x→2x-→2x→2=22-5.2+3=-3±0,2 lim x3 - lim 42x3 - 42.23-4?2C2lim/x=2 x _ 5x +3-3lim(x2 - 5x +3)x2

解 lim( 5 3) 2 2 − + → x x x  lim lim 5 lim 3 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 5lim lim 3 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 5 2 3 2 = −  + = −3  0, = −4. 3 2 2 4 3 −  − = 例1 5 3 2 4 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 2lim lim 4 2 3 →2 → − x x x lim( 5 3) 2 2 − + → x x x = − + − → 5 3 2 4 lim 2 3 2 x x x x 二、求极限方法举例

小结(1)设 f(x)=ax" +axn-1 +...+an,则有lim f(x) = ao(lim x)" + a,(lim x)n-1 + ...+ a.x-→xox→xox→xon-1+...+an =f(x)=ax+a,xoP(x)且(则有Q(x)±0(2) 设 f(x)Q(x)lim P(x)P(xo)x-→xolim f(x) :f(xo).lim Q(x)Q(x.)x-→xox→Xo

小 结 (1) ( ) , 1 0 1 n n n f x = a x + a x + + a 设 −  n n x x n x x x x f x = a x + a x + + a − → → → lim ( ) 0 ( lim ) 1 ( lim ) 1  0 0 0 n n n = a x + a x + + a −  1 0 0 1 0 ( ). x0 = f , ( ) 0, ( ) ( ) (2) ( ) = Q x0  Q x P x 设 f x 且 lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 Q x P x f x x x x x x x → → → = ( ) ( ) 0 0 Q x P x = ( ). x0 = f 则有 则有

4x-1例2 求 limxl x2+2x-3： lim(x2+2x-3)=0，商的法则不能用解x-1又: lim(4x -1) = 3 ± 0,x-→1x2 +2x-30:. lim=0.34x -1x-→1由无穷小与无穷大的关系，得4x-1lim=8.x-1 x2 +2x-3

解 lim( 2 3) 2 1 + − → x x x  = 0, 商的法则不能用 lim(4 1) 1 − → x x 又 = 3  0, 4 1 2 3 lim 2 1 − + −  → x x x x 0. 3 0 = = 由无穷小与无穷大的关系, 例2 2 3 4 1 lim 2 1 + − − → x x x x 求 2 3 4 1 lim 2 1 + − − → x x x x = . 得

x2-2x-30型)例3 求 limx-3x-31解 x→3时,分子,分母的极限都是零方法先约去不为零的无穷小因子x一3.再求极限，2-2x-3(x - 3)(x + 1)lim:limx-→3x-3(x-3)x-→3= lim(x +1)= 4x-→3消去零因子法

解 例3 3 2 3 lim 2 3 − − − → x x x x 求 x → 3时, ( 3) ( 3)( 1) lim 3 − − + = → x x x x lim( 1) 3 = + → x x ) 0 0 ( 型 消去零因子法 再求极限. 3 2 3 lim 2 3 − − − → x x x x 方 法 x − 3, = 4 分子,分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子