《高等数学》课程授课教案（讲义）第二章 导数与微分

第二章导数与微分S2.1导数的概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线，了解导数的物理意义，理解函数连续性与可导性之间的关系教学重点：导数的概念，导数的几何意义教学难点：导数定义的理解，不同形式的掌握教学内容：一、导数的定义与几何意义为了给出导数的概念，我们先看下面两个问题。（1）直线运动的速度设某点沿直线运动。在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。设动点于时刻1在直线上的位置的坐标为s（简称位置s）。这样，运动完全由某个函数s= f(0)所确定。这函数对运动过程中所出现的t值有定义，称为位置函数。在最简单的情形，该动点所经过的路程与所花的时间成正比。就是说，无论取哪一段时间间隔，比值经过的路程①所花的时间总是相同的。这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值。这样，把比值①笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为t。）的速度应如何理解而又如何求得呢？首先取从时刻t.到t这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置so=f(t。)移动到s,=f()。这时由①式算得的比值s-so =f()- f(o)②t-tot-to43

43 ① ② 第二章 导数与微分 §2.1 导数的概念 教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线，了解导数的 物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系 教学重点：导数的概念，导数的几何意义 教学难点：导数定义的理解,不同形式的掌握 教学内容： 一、导数的定义与几何意义 为了给出导数的概念，我们先看下面两个问题。 （1）直线运动的速度 设某点沿直线运动。在直线上引入原点和单位点（即表示实数 1 的点），使直线成为数 轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。设动点于时刻t 在直线上的位置的坐标为 s （简称位置 s ）。这样，运动完全由某个函数 s = f (t) 所确定。这函数对运动过程中所出现的t 值有定义，称为位置函数。在最简单的情形，该动 点所经过的路程与所花的时间成正比。就是说，无论取哪一段时间间隔，比值 经过的路程 所花的时间 总是相同的。这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。如果运动不是匀速的， 那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值。这样，把比值①笼统地称为该动点的 速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设 为 0t ）的速度应如何理解而又如何求得呢？ 首先取从时刻 0t 到t 这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置 ( ) 0 0 s = f t 移动到 s f ( )t t = 。这时由①式算得的比值 ( ) ( ) 0 0 0 0 t t f t f t t t s s − − = − −

可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值②在实践中也可用来说明动点在时刻t。的速度。但对于动点在时刻t。的速度的精确概念来说，这样做是不够的，而更确切地应当这样：令t→to，取②式的极限，如果这个极限存在，设为vo，1)-1C），这时就把这个极限值%称为动点在时刻1。的（瞬时）速度。即vo=limt-to2.切线问题圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是对于其它曲线，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线y=x2，在原点O处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有x轴是该抛物线在点O处的切线。下面给出切线的定义。设有曲线C及C上的一点M（图2-1），在点M外另取C上一点N，作割线MN。当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长MN趋于零，ZNMT也趋于零。现在就曲线C为函数y=f(x)的图形的情形来讨论切线问题。设M(xo，y）是曲线C上的一个点（图2-2)，则y。=f(x）。根据上述定义要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点M外另取C上的一点N(x，y)，于是割线MN的斜率为tan p = -yo_ L(a)- (ro),x-XoX-Xo其中?为割线MN的倾角。当点N沿曲线C趋于点M时，X→xo如果当x→x时，上式的极限存在，设为k，即k= lim LLa)- /le)X→X0x-xo存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里k=tanα，其中α是切线MT的倾角。于是，通过点M(xo，f(x)且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线。事实上，由ZNMT=-α以及x→x时→α，可见x→x时（这时MN→0），ZNMT→0。因此直线MT确为曲线C在点M处的切线。44

44 可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值②在实 践中也可用来说明动点在时刻 0t 的速度。但对于动点在时刻 0t 的速度的精确概念来说，这 样做是不够的，而更确切地应当这样：令 0 t → t ,取②式的极限，如果这个极限存在，设为 0 v ， 即 ( ) ( ) 0 0 0 0 lim t t f t f t v t t − − = → ，这时就把这个极限值 0 v 称为动点在时刻 0t 的（瞬时）速度。 2.切线问题 圆的切线可定义为“与曲线只有一个交点的直线”。但是对于其它曲线，用“与曲线只 有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适。例如，对于抛物线 2 y = x ，在原点O 处 两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有 x 轴是该抛物线在点O 处的切线。下面给出切 线的定义。 设有曲线C 及C 上的一点 M （图 2-1），在点 M 外另取C 上一点 N ，作割线 MN 。当 点 N 沿曲线C 趋于点 M 时，如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极限位置 MT ,直线 MT 就 称为曲线C 在点 M 处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长 MN 趋于零，∠NMT 也 趋于零。 现在就曲线C 为函数 y = f ( ) x 的图形的情形来讨论切线问题。设 ( ) 0 0 M x ，y 是曲线C 上的一个点（图 2-2），则 ( ) 0 0 y = f x 。根据上述定义要定出曲线C 在点 M 处的切线，只 要定出切线的斜率就行了。为此，在点 M 外另取C 上的一点 N(x，y) ，于是割线 MN 的 斜率为 ( ) ( ) 0 0 0 0 tan x x f x f x x x y y − − = − − ϕ = ， 其中ϕ 为割线 MN 的倾角。当点 N 沿曲线C 趋于点 M 时， 0 x → x 。如果当 0 x → x 时， 上式的极限存在，设为 k ,即 ( ) ( ) 0 0 0 lim x x f x f x k x x − − = → 存在，则此极限 k 是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里 k = tanα ，其中α 是切线 MT 的倾角。于是，通过点 ( ) ( ) 0 0 M x ，f x 且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线C 在点 M 处 的切线。事实上，由 ∠NMT = ϕ −α 以及 0 x → x 时 ϕ →α ，可见 0 x → x 时（这时 MN → 0 ），∠NMT → 0。因此直线 MT 确为曲线C 在点 M 处的切线

我们撇开这些图2-1意义，抓住它们在数量关系上的共性线图2-2概念。定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义，当自变量x在x。处取得增量△x（点xo+Ax仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量Ay=f(x+△x)-f(xo)：如果Ay与Ax之比当Axr→0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x。处可导，并称这个极限为函，即数y=f(x)在点xo处的导数，记为yJ(xo +Ax)- f(o)Ayylimim?r-0AxAr或df(x)dy也可记作f(x。），dx函数f(x)在点x。处可导有时也说成f(x)在点x。具有导数或导数存在。导数的定义式③也可取不同的形式，常见的有f(x + h)-J(x。)F(x0)= lim.?h和[(x0)= lim ()- 1(x0)?X-Xo注：函数在一点的导数的几何与物理意义：f(x)是曲线y=f(x)在(xo，f(x)点的切线斜率；路程S=S()对时间t的导数S(t)是t。时刻的速度；在抽象情况下，(x）表示y=f(x)在x=x。点变化的快慢。二、可导与连续的关系兴=(s)存在。由具有极限的函数与无穷小设函数y=f(x)在点x处可导，即lim>0 △x45

45 ③ ④ ⑤ 我们撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性给出导数的概念。 定义 设函数 y = f ( ) x 在点 0 x 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 0 x 处取得增量 Δx （点 x + Δx 0 仍在该邻域内）时，相应地函数 y 取得增量 ( ) () 0 0 Δy = f x + Δx − f x ；如果 Δy 与 Δx 之比当 Δx → 0 时的极限存在，则称函数 y = f (x)在点 0 x 处可导，并称这个极限为函 数 y = f ( ) x 在点 0 x 处的导数，记为 0 x x y = ′ ，即 ( ) ( ) x f x x f x x y y x x x x Δ + Δ − = Δ Δ ′ = = Δ → Δ → 0 0 0 0 lim lim 0 ， 也可记作 ( ) 0 f ′ x ， 0 dx x x dy = 或 ( ) 0 dx x x df x = 。 函数 f ( ) x 在点 0 x 处可导有时也说成 f (x)在点 0 x 具有导数或导数存在。 导数的定义式③也可取不同的形式，常见的有 ( ) ( ) ( ) h f x h f x f x h 0 0 0 0 lim + − ′ = → 和 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim x x f x f x f x x x − − ′ = → 注：函数在一点的导数的几何与物理意义： ( ) 0 f ′ x 是曲线 y = f (x)在( ( )) 0 0 x ，f x 点的切线 斜率； 路程 S = S( )t 对时间t 的导数 ( ) 0 S′ t 是 0t 时刻的速度； 在抽象情况下， ( ) 0 f ′ x 表示 y = f (x)在 0 x = x 点变化的快慢。 二、可导与连续的关系 设函数 y = f ( ) x 在点 x 处可导，即 f ( ) x x y x = ′ Δ Δ Δ →0 lim 存在。由具有极限的函数与无穷小 图 2-1 图 2-2

=()+α，其中α当Ax→0时为无穷小。上式两边同乘以Ax，得的关系知道，AxAy = f'(x)Ar + αAx 。由此可见，当△r→0时，Ay→0。这就是说，函数y=f(x)在点x处是连续的。所以，如果函数y=f(x)在点x处可导，则函数在该点必连续。另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。三、左导数与右导数根据函数f(x)在点x。处的导数f'(xo）的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此f(x。）存在即f(x)在点x。处可导的充分必要条件是左、右极限( +h)- (0) 及 im (co +h)- (z)limhh都存在且相等。这两个极限分别称为函数F(x)在点x。处的左导数和右导数，记作f(x)及F(x)，即(0)- im ( +h)-(), (0) m +h)-).hh现在可以说，函数在点x处可导的充分必要条件是左导数f"(x。）和右导数f(x）都存在且相等。如果函数f(x)在开区间(a，b)内可导，且f"(a)及f(b)都存在，就说f(x)在闭区间[a，b]上可导。四、求导举例下面根据导数定义求一些简单函数的导数。例1求函数f(x)=C（C为常数）的导数。f(x+h)-f(x)nC-=0，即(C)=0。这就是说，常数的导解：(x)=lim-limhh数等于零。例2求函数f(x)=x"（n为正整数）在x=a处的导数。46

46 的关系知道， = ′( ) +α Δ Δ f x x y ，其中α 当 Δx → 0 时为无穷小。上式两边同乘以 Δx ，得 Δy = f ′(x)Δx +αΔx 。 由此可见，当 Δx → 0 时，Δy → 0。这就是说，函数 y = f (x)在点 x 处是连续的。所以， 如果函数 y = f ( ) x 在点 x 处可导，则函数在该点必连续。 另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。 三、左导数与右导数 根据函数 f ( ) x 在点 0 x 处的导数 ( ) 0 f ′ x 的定义，是一个极限，而极限存在的充分必要条 件是左、右极限都存在且相等，因此 ( ) 0 f ′ x 存在即 f (x) 在点 0 x 处可导的充分必要条件是左、 右极限 ( ) ( ) h f x h f x h 0 0 0 lim + − →− 及 ( ) ( ) h f x h f x h 0 0 0 lim + − →+ 都存在且相等。这两个极限分别称为函数 f (x) 在点 0 x 处的左导数和右导数，记作 ( ) 0 f x − ′ 及 ( ) 0 f x + ′ ，即 ( ) ( ) ( ) h f x h f x f x h 0 0 0 0 lim + − ′ = →− − ， ( ) ( ) () h f x h f x f x h 0 0 0 0 lim + − ′ = →+ + 。 现在可以说，函数在点 0 x 处可导的充分必要条件是左导数 ( ) 0 f x − ′ 和右导数 ( ) 0 f x + ′ 都存在且 相等。 如果函数 f ( ) x 在开区间( ) a，b 内可导，且 f (a) + ′ 及 f (b) − ′ 都存在，就说 f ( ) x 在闭区间 [ ] a，b 上可导。 四、求导举例 下面根据导数定义求一些简单函数的导数。 例 1 求函数 f (x) = C （C 为常数）的导数。 解： ( ) ( ) () lim lim 0 0 0 = − = + − ′ = → → h C C h f x h f x f x h h ，即( ) = 0 ′ C 。这就是说，常数的导 数等于零。 例 2 求函数 ( ) n f x = x （n 为正整数）在 x = a 处的导数

f(x)-f(a)x"-a"= lim(x"-l + ax"-2 +.+ a"-l解：f'(a)=lim)= na"-1imx-ax-ax-0→把以上结果中的α换成x得(a)=nx"-1，即(x"）=nx"l。更一般地，对于幂函数y=x（μ为常数)，有(x）=xu-l。这就是幂函数的导数公式。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如：11时，=x=V（x>0）的导数为当u=2-- (a) =E2/当=-1时，=x_！（x±0）的导数为x(x--) -(-1)x- = -x*2 ,例3求函数f(α)=sinx的导数解: ['(s)= lim (r+h)- (d)sin(x+h)-sinx h）1limlim.2cosx+sinhh-hh→00h22)hsin-h2=limcosl= COSX,x+2hh-→02(sin x)即cosx这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。用类似的方法，可求得(cosx）=-sinx，这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。例4求函数f(x)=α（a>0，α1）的导数。ar+h-a*解: '(c)= lim(x+h)- (d)ah-1- limalimgInahhhh-0h→0h→0(a) =a' Ina。即这就是指数函数的导数公式。特殊地，当a=e时，因lne=1，故有=ere上式表明，以e为底的指数函数的导数就是它自已，这是以e为底的指数函数的一个重47

47 解： ( ) () () ( ) 1 2 1 1 lim lim lim − − − − → → → = + + + = − − = − − ′ = n n n n x a n n x a x a x ax a na x a x a x a f x f a f a " 。 把以上结果中的 a 换成 x 得 ( ) −1 ′ = n f x nx ，即( ) −1 = ′ n n x nx 。 更一般地，对于幂函数 μ y = x （ μ 为常数），有( ) −1 = ′ μ μ x μx 。这就是幂函数的导数公 式。利用这公式，可以很方便地求出幂函数的导数，例如： 当 2 1 μ = 时， y = x = x 2 1 （ x > 0）的导数为 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 − − = = ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x x x ，即( ) x x 2 1 = ′ ； 当 μ = −1时， x y x 1 1 = = − （ x ≠ 0 ）的导数为 ( ) ( ) 1 1 1 2 1 − − − − = − = − ′ x x x ，即 2 1 1 x x = − ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 。 例 3 求函数 f (x) = sin x 的导数 解： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 2cos 1 lim sin sin lim lim 0 0 0 h h x h h x h x h f x h f x f x h h h ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ + + − = + − ′ = → → → x h h h x h cos 2 2 sin 2 limcos 0 ⎟⋅ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + → ， 即 ( ) sin x = cos x ′ 。 这就是说，正弦函数的导数是余弦函数。 用类似的方法，可求得( ) cos x = −sin x ′ ，这就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数。 例 4 求函数 ( ) x f x = a （ a > 0，a ≠ 1）的导数。 解： ( ) ( ) ( ) a a h a a h a a h f x h f x f x x h h x x h x h h ln 1 lim lim lim 0 0 0 = − = − = + − ′ = → + → → 即 (a ) a a x x = ln ′ 。 这就是指数函数的导数公式。特殊地，当 a = e 时，因ln e = 1，故有 ( ) x x e = e ′ 。 上式表明，以e 为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e 为底的指数函数的一个重

要特性。例5求函数y=log。x(a>0,a1)的导数。log.(x+h)-log.x解：J'=limh1hlogx=limhh-→>0xxh)limloga1+-log.ex)x h→0x(log, x) -|log.e(Inx) =即x[x, x<1例 6 讨论()=在点x=1连续性与可导性2x,x≥1解: lim f(x)=1, lim f(x)= 2：f(x)在x=1不连续，即f(x)在x=1不可导。x? +1, x<1例 7 讨论f(x):在点x=1连续性与可导性2x,x≥1f(x)- f@)x2 +1-2解：：f()=lim-= limx-1r-1→1x-1f(x)-f(l) 2x-2= lim '(0)= lim=x-1x-1 x-1：f()=2，f(x)在x=1可导，当然在x=1点连续。1x±0xsin-例8讨论函数f(x)=在点x三0处的连续性与可导性x0,x=0-1解：sin一是有界函数，.limxsin-=0xx→0x：f(o)=lim(x)=0：.f(x)在x=0处连续48

48 要特性。 例5 求函数 y xa a = log 0, 1 a ( ) > ≠ 的导数。 解： ( ) ' 0 log log lim a a h x h x y → h + − = 0 log 1 1 = lim a h h x h x x → ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠⋅ 0 1 1 lim log 1 log x h a a h h e x xx → ⎛ ⎞ = += ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 即 ( ) ( ) ' ' 1 1 log log lnx a a x e x x = = 例 6 讨论 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 2 1 1 2 x x x x f x ， ， 在点 x = 1连续性与可导性 解： lim () () 1 lim 2 1 1 = = → − → + f x f x x x ∵ ， ∴ f ( ) x 在 x = 1不连续，即 f (x)在 x = 1不可导。 例 7 讨论 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ≥ + < = 2 1 1 1 2 x x x x f x ， ， 在点 x = 1连续性与可导性 解： ( ) ( ) () 2 1 1 2 lim 1 1 1 lim 2 1 1 = − + − = − − ′ = − → − → − x x x f x f f x x ∵ ( ) ( ) () 2 1 2 2 lim 1 1 1 lim 1 1 = − − = − − ′ = + → + → + x x x f x f f x x ∴ f ′() ( ) 1 = 2，f x 在 x = 1可导，当然在 x = 1点连续。 例 8 讨论函数 ( ) 1 sin 0 0 0 x x f x x x ⎧ ⎪ ≠ = ⎨ ⎪ ⎩ = ， ， 在点 x = 0 处的连续性与可导性 解： 1 sin x ∵ 是有界函数， 0 1 lim sin 0 x x → x ∴ = () () ( ) 0 0 lim 0 x f fx fx → ∵ = =∴ 在 x = 0 处连续

0(0 +Ax)sin在x=0处4y-0+AxsinAxAxAxAy在-1和1之间振荡而极限不存在。当Ar→0时，Arx≤1,例 9 讨论f(x):2-x, x>1解: : lim f(x)= lim x =1, lim f(x)= lim(2-x)=1：F(x)在x=1连续: F()= lim ()-10)x-1=limx-1-rx-17f(x)- f(0)2-x-1f()= limJimx-1x-1.f(x）在x=1不可导。(xo +h)- f(x。- h)例10已知f(x）=A，求limhf(x +h)-f(xo -h)解：limhT[f(x +h)- f(x)]-[f(xo-h)- f(x))= limhh0[f(xo +h)- f(xo) J(xo -h)- f(xo)= limhh-0-h=2f(x)=2Af(2x)-1例11已知f(0)=1，lim4，求f(0)3x4f(2x)-1f(2x)- f()2 f(2x)-f()2解：limlimlimf'(0)= 43x3xx→0 32x3x->0x→0.. F(0)= 6小结：本节讲述了导数的定义导数的几何意义可导与连续之间的关系作业：49

49 在 x = 0 处 ( ) 1 0 sin 0 0 1 sin , x y x x x x +Δ − Δ + Δ = = Δ Δ Δ 当 Δ →x 0时， y x Δ Δ 在-1 和 1 之间振荡而极限不存在。 例 9 讨论 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − > ≤ = 2 1 1 x x x x f x ， ， 解： lim ( ) lim 1 lim ( ) lim(2 ) 1 1 1 1 1 = = = − = → − → − → + → + f x x f x x x x x x ∵ ， ∴ f ( ) x 在 x = 1连续 ( ) ( ) () 1 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 = − − = − − ′ = − → − → − x x x f x f f x x ∵ ( ) ( ) () 1 1 2 1 lim 1 1 1 lim 1 1 = − − − − = − − ′ = + → + → + x x x f x f f x x ∴ f ( ) x 在 x = 1不可导。 例 10 已知 f ′(x0 ) = A ，求 ( ) ( ) h f x h f x h h + − − → 0 0 0 lim 解： ( )( ) h f x h f x h h + − − → 0 0 0 lim [ ] ( ) () [ ( ) ( )] h f x h f x f x h f x h 0 0 0 0 0 lim + − − − − = → ( ) () ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + + − = → h f x h f x h f x h f x h 0 0 0 0 0 lim = 2 f ′( ) x0 = 2A 例 11 已知 f ( ) 0 = 1， ( ) 4 3 2 1 lim 0 = − → x f x x ，求 f ′(0) 解： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 3 2 2 2 1 3 2 lim 3 2 1 lim 3 2 1 lim 0 0 0 = ′ = − = ⋅ − = − → → → f x f x f x f x f x f x x x x ∵ ∴ f ′( ) 0 = 6 小结：本节讲述了导数的定义,导数的几何意义,可导与连续之间的关系, 作业：

$2.2函数的求导法则教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函数的导数教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法教学难点：反函数求导教学内容：一、函数和、差、积、商的求导法则根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的）。(1) [u(x)±v(x)/ = u'(x)±v(x)(2) [u(x).v(x)/ =u(x)(x)+u(x) (x)[cu(x)] = cu'(x)(uw)=u'w+w'w+w[u(a]u(x)(x)-u(x)(x)(3)(x)v2 (g)这里仅证（2)()=lim (x+h)-()h4u(x+h)(x+h)-u(x)(x)= limhh-→0I[u(x + h)(x+h)-u(x) (x + h) + u(x)(x + h)-u(x)(x)=lim-h-→0 h[+)(+h)+2()+) limlhhh-→0u(x+ h)-u(x)2. m(++h)+ ()m+h))= limh-0hh=u(x)(x)+ u(x) (x)例1求y=x-2x2+sinx的导数。解：y=3x2-4x+cosx.例2求y=sin2x·lnx的导数。解：50

50 §2.2 函数的求导法则 教学目的：掌握导数的四则运算法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求反函 数的导数 教学重点：导数的四则运算法则，反函数求导方法 教学难点：反函数求导 教学内容： 一、函数和、差、积、商的求导法则 根据导数定义，很容易得到和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的）。 （1）[ ] u() () x v x = u′() () x ± v′ x ′ ± （2）[ ] u() () x v x = u′( )( ) ( ) ( ) x v x + u x v′ x ′ ⋅ [ ] cu( ) x = cu′( ) x ′ ( ) uvw = u′vw+ uv′w + uvw′ ′ （3） ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) v ( ) x u x v x u x v x v x u x 2 ′ − ′ = ′ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 这里仅证（2） ( ) ( ) () h f x h f x f x h + − ′ = →0 lim ( )( ) ( ) ( ) h u x h v x h u x v x h + + − = →0 lim [ ] u( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x h v x h u x v x h u x v x h u x v x h h = + + − + + + − → 1 lim 0 ( ) () ( ) () ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⋅ + + ⋅ + − = → h v x h v x v x h u x h u x h u x h 0 lim ( ) () ( ) () ( ) ( ) h v x h v x v x h u x h u x h u x h h h + − ⋅ + + ⋅ + − = →0 →0 →0 lim lim lim = u′( )( ) ( ) ( ) x v x + u x v′ x 例 1 求 3 2 y =− + xx x 2 sin 的导数。 解： 2 y′ = −+ 3 4 cos . xx x 例2 求 y xx = ⋅ sin 2 ln 的导数。 解：

:y=2sinx-cosx-lnxy=2cosx-cosx-lnx+2sinx-(-sinx)-lnx+2sinx.cosx31=2cos2xlnx+=sin2xx例3y=tanx，求y。) cosx-sin x(cosx)(sinx)sinx解：y'=(tanx)cos"xcos.x- cosx+sin* x1=sec?x,cosxcosx即(tan x) = sec’ x 。这就是正切函数的导数公式。例4y=secx，求y。(0) cosx -1 (cosx)sinx解：y=(secx)=secxtanx,cosxcosxcos.x即(secx)= secxtanx。这就是正割函数的导数公式。用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式：(cot x) = -csc? x,(cscx)=-cscxcotx。二、反函数的导数：孝山dx1则一存在且不为零，。由该公式我们可以由直接函数的导数，求出其反ddxdx函数的导数。例5设x=siny为直接函数，则y=arcsinx是它的反函数。函数x=siny在开区间)内单调、可导，且(sin）=cosy>0。因此，由公式会=六元元，在对应dd23dx11。但cosy=i-siny=/i-x2（因区间/，=(-1,1)内有(arcsinxcosy(sin y)51

51 ( ) ' 2sin cos ln 1 2cos cos ln 2sin sin ln 2sin cos 1 2cos 2 ln sin 2 y x xx y x xx x x x x x x xx x x = ⋅⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅− ⋅ + ⋅ ⋅ = + ∵ 例 3 y = tan x，求 y′ 。 解： ( ) () ( ) x x x x x x x y x 2 cos sin cos sin cos cos sin tan ′ − ′ = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =′ ′ = x x x x x 2 2 2 2 2 sec cos 1 cos cos sin = = + = ， 即 ( ) x x 2 tan = sec ′ 。 这就是正切函数的导数公式。 例 4 y = sec x ，求 y′ 。 解： ( ) () ( ) x x x x x x x x y x sec tan cos sin cos 1 cos 1 cos cos 1 sec 2 2 = = ′ − ⋅ ′ = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =′ ′ = ， 即 ( ) sec x = sec x tan x ′ 。 这就是正割函数的导数公式。 用类似方法，还可求得余切函数及余割函数的导数公式： ( ) x x 2 cot = −csc ′ ， ( ) csc x = −csc x cot x ′ 。 二、反函数的导数： 若 dx dy 存在且不为零，则 dx dy dy dx 1 = 。由该公式我们可以由直接函数的导数，求出其反 函数的导数。 例 5 设 x = sin y 为直接函数，则 y = arcsin x 是它的反函数。函数 x = sin y 在开区间 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 2 π π IY ， 内单调、可导，且( ) sin = cos > 0 ′ y y 。因此，由公式 dx dy dy dx 1 = ，在对应 区间 I x = ( ) −1，1 内有( ) ( ) y y x cos 1 sin 1 arcsin = ′ =′ 。但 2 2 cos y = 1− sin y = 1− x （因

T元为当一元时，COSy>O，所以根号前只取正号），从而得反正弦函数的导数公式：<y<-221(arcsinx)Vi-x?用类似的方法可得反余弦函数的导数公式：1(arcsin x)Vi-x2同样我们可得到I(arctanx)1+ x21(arccotx) =1+ x2I(log. x)-xlna三、求导基本训练(1)y=sinxlnx(2) y=x sine(3)y=2*+ln元(4)y=2*e元Cr?(5) y=a+bInx(6)y=sinx小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法作业：52

52 为当 2 2 π π − 0 ，所以根号前只取正号），从而得反正弦函数的导数公式： ( ) 2 1 1 arcsin x x − =′ 用类似的方法可得反余弦函数的导数公式： ( ) 2 1 1 arcsin x x − = − ′ 同样我们可得到 ( ) 2 1 1 arctan x x + =′ ( ) 2 1 1 cot x arc x + = − ′ ( ) x a x a ln 1 log =′ 三、求导基本训练 （1） y = sin x ln x （2） y x sin e 2 = （3） = 2 + lnπ x y （4） x x x y = 2 e π （5） a b cx y + = 2 （6） x x y sin ln = 小结：本节讲述了导数的四则运算法则，求反函数的导数的方法 作业：