《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第一章 函数与极限 1-07 第七节 无穷小的比较

第七节无穷小的比较■无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限小结思考题

第七节 无穷小的比较 ◼ 无穷小的比较 ◼ 利用等价无穷小替换求极限 ◼ 小结 思考题

无穷小的比较如,当x→0时,x,x2,sin x,x2 sin=是无穷小。x2=0,x2→0比3x→0要快得多;lim观察各极限3xx-→0sinx1limsinx→0与x→0快慢相仿;x-→0x1sinxxlimlimsin=不存在.不可比-x-→0x→0x“快慢”极限不同，反映了趋向于零的程度不同

如, x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 2 2 0 1 sin lim x x x x→ 当x → 0时, 0 3 0 ; x 2 → 比 x → 要快得多 sin x →0与x →0快慢相仿; 不可比. = 0, = 1, x x 1 lim sin →0 = 观 察 各 极 限 x, , 是无穷小. 2 x sin x, x x 1 sin 2 一、无穷小的比较 不存在. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同

定义 设α,β是同一过程中的两个无穷小,且α±0B=0,(1) 如果lim就说β是比α高阶的无穷小；α记作β= 0(α);β(2) 如果lim=8,就说β是比α低阶的无穷小;αβ(3) 如果lim=C(C±0),就说β与α是同阶无穷小;α特别当C=1时，则称β与α是等价无穷小，记作α～β

定义 (2) lim = ,   如果 (3) lim = C(C  0),   如果 (1) lim = 0,   如果特别,当C = 1时, 就说是比 记作  = o(); 就说与是 则称与是 记作  ~  . 是同一过程中的两个无穷小, 高阶的无穷小; 低阶的无穷小; 同阶无穷小; 等价无穷小, 设, 且  0. 就说是比

β(4) 如果limC(C ± 0,k > 0)Q就说β是关于α的k阶无穷小1是的高阶无穷小，如 n→时,一.2=nn1001是x →8时的同阶无穷小xx1-cosx因为 limx→02所以当x→0时,1-cosx是x的二阶无穷小

k = C   (4) 如果lim 就说是关于的 (C  0, k  0), 如 n→时, ; 1 1 2       = n o n 是 的 n n 1 1 2 高阶无穷小, x →时, 是 的 x x 1 100 同阶无穷小 . 因为 2 0 1 cos lim x x x − → 所以当x →0时, 1− cos x是x的 二阶无穷小. 2 , 2 1 = 2 1 k 阶无穷小

当x→0时常用等价无穷小tanx ~ x,sinx ~ x,arcsin x ~ x,ex-1~x,In(1+ x) ~ x,arctan x ~ x,/1+x-1~-x,2n1-cosx~2

常用等价无穷小 sin x ~ x, tan x ~ x, arctan x ~ x, ln(1+ x) ~ x, e 1 ~ x, x − . 2 1 1 cos ~ 2 − x x , 2 1 1+ x −1 ~ x arcsin x ~ x, 当x → 0时 , 1 1 1 ~ x n + x − n

11-cosxlimx22x->0例1 证明：当x→0时,4xtan2x为x的四阶无穷小4xtan xtanx.3解 lim:4limx4x0x-→0x故当x→0时,4xtan3x为x的四阶无穷小例2 当x→0时,求tanx-sinx关于x的阶数1tanx-sinx1-cosxtan解··limC0)2tsx-→0x-0x:tanx一sinx为x的三阶无穷小

例 1 解 : 0 ,4 tan . 证明 当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 x x x 3 0 4 tan lim→ 3 0 ) tan 4lim ( x x x → = = 4 , 0 ,4 tan . 故当x → 时 x 3 x为x的四阶无穷小 例 2 当x → 0时,求tan x − sin x关于x的阶数. 解 x x x tan sin lim0 − →  =  → x x x tan lim(0 , 21 = tan x − sin x为x的三阶无穷小. x4 ? x3 x ) 1 cos2 x − x = C ( C  0 ) 2 1 cos 1 lim 2 0 = − → x x x

二、天利用等价无穷小替换求极限定理1 β~αβ=α+o(α)证=设α～β,则β-αBinlim=0ααα因此β-α =o(α),即β=α+o(α)二设β=α+o(α),则βα+o(α)limJimαα因此 α~ β

定理1  证   ~  ,   − lim       = lim −1     = lim = 0, 即 = + o().  = + o(),   lim  ~  .   () lim + o =       = +  () lim 1 o = 1, 因此 设 则 − 1 因此  − = o( ),  设 则  ~  二、利用等价无穷小替换求极限  =  + o( )

β~α←β=α+o(α此定理说明：两个等价无穷小的差,比它们中的任何一个都是高阶无穷小;或者说，一个无穷小α与它的高阶无穷小(α)之和仍与原无穷小α等价,α+0(α)~α例如当x→0时，x+2x2-x3 ~ x, /x -x ~ Vxsinx+x?~x

两个等价无穷小的差,比它们中 的任何一个都是高阶无穷小; , ( ) , 等 价 与它的高阶无穷小o  之 和 仍与原无穷小  + o() ~ . x + 例如,当x →0时, x − x 2 sin x + x 此定理说明: 或者说,一个无穷小  ~   = + o() ~ x, ~ x, ~ x. 2 3 2x − x

例 当x→0时sin x～x,所以当x→0时有sinx = x +o(x),tanx～x,所以当x→0时有tan x =x +o(x),arcsinx～x,所以当x→o时有arcsin x = x + o(x),x2,所以当x→0时有1-cosx211-cosx=0(x)+X-.2

例 sin x = 1−cos x = 当x → 0时, sin x ~ x, tan x ~ x, , 2 1 1 cos ~ 2 − x x 所以 当x → 0时有 tan x = 所以 当x → 0时有 所以 当x → 0时有 x + o( x), x + o( x), ( ). 2 1 2 2 x + o x 所以 当x → 0时有 x + o(x), arcsin x ~ x, arcsin x =

定理2（等价无穷小替换定理）β设α~α',β~β且 limA(或8)αβ'β则A(或8)imααββB1证 limαaeββ'αlinlimlimβ'α'αβ'A(或)Iimα

定理2 设 ~ , 证   lim    = lim(    = limlim = ( ).   = A 或   lim = ( ),   且 A 或     则 lim      )        lim   lim  ~  lim = ( ).   = A 或   (等价无穷小替换定理)