《高等数学》课程授课教案（讲义）第十二章 微分方程

在解决实际问题的过程中，人们常常希望能确定反映客观事物内部联系的数量关系，即确定所讨论的变量之间的函数关系用微商来描述事物变化的趋势，用物质不灭、能量守恒以及其它物质运动基本规律来建立以质量和未知量之间的关系，这样可以将来自物理、化学、工程、生物和经济领域的一些实际问题表述为精确的等式形式。这种包含未知函数和其微商的横等式就是我们将要学习的微分方程自Newton1642-1727)，Leibniz（1646-1716）创立微积分以来，人们就开始研究微分方程。已从最初研究初等求解技巧发展到今天日益发达的数值模拟技术，从早期对方向场的理解到今天关于微分方程定性理论、分叉理论的成熟知识体系，三百多年的历史使这门数学分支不仅成为了数学学科中队伍最大、综合性最强的领域之一，而且成为数学以外学科最为关注的领域之一。它的发展极大的推动了自然科学、工程技术乃至社会科学的发展。尤其是对地球椭圆轨道的计算、海王星的发现、弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控制的设计、气象数值预报、按龄人口增长宏观预测等等提供了技术支撑。概括的说，微分方程是研究自然科学，工程技术及社会生活中一些确定性现象的重要工具。通过研究微分方程的解的各种属性，我们就能解释一些现象、对未来的发展趋势作出预测、为人们设计的新的装置提供参考。这一章，我们将学习微分方程的一些基本概念和几种常用微分方程的经典解法第一节微分方程的基本概念教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程的通解、特解及微分方程的初始条件等教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件教学难点：微分方程的通解概念的理解教学内容：一、引例1、1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M（xy）处的切线的斜率为2x求这条曲线的方程。解设曲线方程为=(x).由导数的几何意义可知函数=(x)满足dy=2xdx(1)同时还满足以下条件：x=1时，y=2(2)把（1）式两端积分，得J=[2xdx即=x*+C(3)其中C是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得

在解决实际问题的过程中,人们常常希望能确定反映客观事物内部联系的数量关系, 即 确定所讨论的变量之间的函数关系. 用微商来描述事物变化的趋势，用物质不灭、能量守恒 以及其它物质运动基本规律来建立以质量和未知量之间的关系，这样可以将来自物理、化学、 工程、生物和经济领域的一些实际问题表述为精确的等式形式。这种包含未知函数和其微商 的横等式就是我们将要学习的微分方程。 自 Newton(1642-1727),Leibniz(1646-1716)创立微积分以来，人们就开始研究微分方 程。已从最初研究初等求解技巧发展到今天日益发达的数值模拟技术，从早期对方向场的理 解到今天关于微分方程定性理论、分叉理论的成熟知识体系，三百多年的历史使这门数学分 支不仅成为了数学学科中队伍最大、综合性最强的领域之一，而且成为数学以外学科最为关 注的领域之一。它的发展极大的推动了自然科学、工程技术乃至社会科学的发展。尤其是对 地球椭圆轨道的计算、海王星的发现、弹道轨道的定位、大型机械振动的分析、自动控制的 设计、气象数值预报、按龄人口增长宏观预测等等提供了技术支撑。 概括的说，微分方程是研究自然科学，工程技术及社会生活中一些确定性现象的重要工 具。通过研究微分方程的解的各种属性，我们就能解释一些现象、对未来的发展趋势作出预 测、为人们设计的新的装置提供参考。 这一章，我们将学习微分方程的一些基本概念和几种常用微分方程的经典解法. 第一节 微分方程的基本概念 教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等 教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件 教学难点：微分方程的通解概念的理解 教学内容： 一、引例 1、1、首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。 （1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点 M（x,y）处的切线的斜率为 2x， 求这条曲线的方程。 解 设曲线方程为 y = y(x) .由导数的几何意义可知函数 y = y(x) 满足 x dx dy = 2 （1） 同时还满足以下条件： x = 1时， y = 2 （2） 把（1）式两端积分，得 ∫ y = 2xdx 即 y = x + C 2 （3） 其中 C 是任意常数。 把条件（2）代入（3）式，得

C=1,由此解出C并代入（3）式，得到所求曲线方程：y=x?+1(4)（2）列车在平直线路上以20m/s的速度行驶；当制动时列车获得加速度－0.4m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解设列车开始制动后t秒时行驶了s米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数S=S(I)满足：d's=0.4dt?(5)此外，还满足条件：ds=20S=0,V:dt1=0时,(6)(5)式两端积分一次得：dsV== 0.4t + C,di(7)再积分一次得s = -0.2t2 +C,t+C2(8)其中C,C2都是任意常数。把条件“t=0时V=20"和“1=0时S=0”分别代入（7）式和（8）式，得C, = 20, C, =0把C，C2的值代入（7）及（8）式得v= -0.4t +20,(9)S =-0.2t2 +20t(10)在（9）式中令V=0，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：20 =50(s)t=0.4再把t=5代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程s=-0.2×502+20×50=500(m).上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。二、微分方程的基本概念1、1、定义一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程

C = 1， 由此解出 C 并代入（3）式，得到所求曲线方程： 1 2 y = x + （4） （2）列车在平直线路上以 20 m/s 的速度行驶；当制动时列车获得加速度 2 − 0.4m / s . 问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车开始制动后 t 秒时行驶了 s 米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函 数 s = s(t) 满足： 0.4 2 2 = − dt d s （5） 此外，还满足条件： t = 0 时， = 0, = = 20 dt ds s v （6） (5)式两端积分一次得： 1 0.4t C dt ds v = = − + （7） 再积分一次得 1 2 2 s = −0.2t + C t + C （8） 其中 1 2 C ,C 都是任意常数。 把条件“t = 0 时v = 20”和“t = 0 时 s = 0 ”分别代入（７）式和（８）式，得 20, 0 C1 = C2 = 把 1 2 C ,C 的值代入（7）及（8）式得 v = −0.4t + 20, （9） s 0.2t 20t 2 = − + （10） 在（9）式中令v = 0 ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间： 50( ) 0.4 20 t = = s 。 再把t = 5 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程 0.2 50 20 50 500( ). 2 s = − × + × = m 上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。 二、微分方程的基本概念 1、 1、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程

未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。2．微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程y(4)-4y"+10y"-12y+5y=sin2x是四阶微分方程。一般地，n阶微分方程的形式是F(x,y,y,..,y()=0,(11)其中F是个n+2变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，y"是必须出现的，而x,y,y,,J(n-"等变量则可以不出现。例如n阶微分方程y(m) +1=0中，除“"外，其他变量都没有出现。如果能从方程（11）中解出最高阶导数，得微分方程y(n) = f(x,y, y',",y(n-l).(12)以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（12）式右端的函数在所讨论的范围内连续。3．由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数J=Q(x)在区间1上有n阶连续导数，如果在区间1上，F[x,p(x),p(x),,p()(x)]=0那么函数=β(x)就叫做微分方程（11）在区间|上的解。例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件

未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。 本章只讨论常微分方程。 2．微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方 程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程 ( ) y 4y''' 10y' ' 12y' 5y sin 2x 4 − + − + = 是四阶微分方程。 一般地， n 阶微分方程的形式是 ( , , ', , ) 0, ( ) = n F x y y " y （11） 其中 F 是个n + 2变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中， (n) y 是必须出现的，而 ( 1) , , ', , n− x y y " y 等变量则可以不出现。例如 n 阶微分方程 1 0 ( ) + = n y 中，除 (n) y 外，其他变量都没有出现。 如果能从方程（11）中解出最高阶导数，得微分方程 ( , , ', , ). ( ) ( −1) = n n y f x y y " y （12） 以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（12） 式右端的函数 f 在所讨论的范围内连续。 3．由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出 满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为 恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数 y = ϕ(x) 在区间 I 上有 n 阶 连续导数，如果在区间 I 上， ( ) F[x, (x), '(x), , (x)] ≡ 0, n ϕ ϕ " ϕ 那么函数 y = ϕ(x) 就叫做微分方程（11）在区间 I 上的解。 例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5） 的解。 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程 （1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有 两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。 由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须 确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例 1 中的条件（2），例 2 中的条件（6），便是这样的条件

设微分方程中的未知函数为=(x)，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是X=Xo时，J=yo,y lx=xo = yo或写成其中Xo，yo都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：X=xo时, y= yo, y'= y。ylx=x=yo,y'lx=x=y'o或写成其中o，yo和J0都是给定的值。上述条件叫做初始条件。确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解：（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。求微分方程'=f(x,)满足初始条件1x=。=。的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作[y'= f(x,y),(ylx=xo= yo(13)微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题（13）的几何意义是求微分方程的通过点（xo,yo）的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题[y"= f(x,y,y'),[y lx-x= yo, J'lx=x= y'o的几何意义是求微分方程的通过点（xo,y）且在该点处的切线斜率为Jo的那条积分曲线。4.举例例1验证：函数x= C, coskt+C, sin kt(14)是微分方程d'x+kx=0dt?(15)的解。解求出所给函数（14）的导数=-kC, sin k +kC, coskt,dt

设微分方程中的未知函数为 y = y(x) ，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常 数的条件是 0 x = x 时， 0 y = y ， 或写成 0 0 y | y x=x = 其中 0 x ， 0 y 都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是： 0 x = x 时， 0 y = y ， 0 y'= y' 或写成 0 0 y | y x=x = ， 0 '| ' 0 y y x=x = 其中 0 x ， 0 y 和 0 y' 都是给定的值。上述条件叫做初始条件。 确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满 足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。 求微分方程 y'= f (x, y) 满足初始条件 0 0 y | y x = x = 的特解这样一个问题，叫 做一阶微分方程的初值问题，记作 ⎩ ⎨ ⎧ = = = | . ' ( , ), 0 0 y y y f x y x x （13） 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题（13）的几何意 义是求微分方程的通过点( , ) 0 0 x y 的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题 ⎩ ⎨ ⎧ = = = = 0 = 0 | , '| ' '' ( , , '), 0 0 y y y y y f x y y x x x x 的几何意义是求微分方程的通过点( , ) 0 0 x y 且在该点处的切线斜率为 0 y' 的那条积分曲线。 4．举例 例 1 验证：函数 x C coskt C sin kt = 1 + 2 （14） 是微分方程 0 2 2 2 + k x = dt d x （15） 的解。 解 求出所给函数（14）的导数 sin cos , 1 2 kC kt kC kt dt dx = − +

d-x=-C,cosk-°C, sinkt=-k (C,cosk +C, sink)dt?d'x把dt2及x的表达式代入方程（15）得-k(C,coskt+C,sink)k?(C,coskt+C,sinkt)=0函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。小结：本节讲述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的初始问题

cos sin ( cos sin ) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 k C kt k C kt k C kt C kt dt d x = − − = − + 把 2 2 dt d x 及 x 的表达式代入方程（15）得 ( cos sin ) 1 2 2 −k C kt + C kt + ( cos sin ) 1 2 2 k C kt + C kt ≡ 0 函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15） 的解。 小结：本节讲述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程 的初始问题

第二节可分离变量的微分方程教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程的解法教学重点：可分离变量方程与齐次方程的解法教学难点：可分离变量方程与齐次方程的解法教学内容：本节开始，我们讨论一阶微分方程y'= f(x,y)(1)的一些解法一阶微分方程有时也写成如下的对称形式P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0(2)在方程(2)中变量X与V对称它既可以看作是以为X自变量、V为未知函数的方程dy-_P(x,y)dxQ(x,y)(Q(x,y) + 0)也可看作是以X为自变量、为未知函数的方程dx --(x,y)dyP(x,y)(P(x,y) + 0)在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程dy=2xdxdy = 2xdx或把上式两端积分就得到这个方程的通解：y=x?+C.但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程d = 2xy2dx(3)就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函数积分[2xy°dxdx求不出来。为我解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以，使方程（3）变为

第二节 可分离变量的微分方程 教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程的解法. 教学重点：可分离变量方程与齐次方程的解法. 教学难点：可分离变量方程与齐次方程的解法. 教学内容： 本节开始,我们讨论一阶微分方程 y'= f (x, y) (1) 的一些解法. 一阶微分方程有时也写成如下的对称形式: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2) 在方程(2)中,变量 x 与 y 对称,它既可以看作是以为 x 自变量、 y 为未知函数的方程 ( , ) ( , ) Q x y P x y dx dy = − (Q(x, y) ≠ 0), 也可看作是以 x 为自变量、 y 为未知函数的方程 ( , ) ( , ) P x y Q x y dy dx = − (P(x, y) ≠ 0) , 在第一节的例 1 中，我们遇到一阶微分方程 x dx dy = 2 ， 或 dy = 2xdx. 把上式两端积分就得到这个方程的通解： y = x + C 2 。 但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程 2 2xy dx dy = （3） 就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知 函数 y 积分 ∫ xy dx 2 2 求不出来。为我解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以 2 y dx ，使方程（3）变为

=2xdxy?3这样，变量X与V已分离在等式的两端，然后两端积分得1=x+Cy1y=x?+C或(4)其中C是任意常数。可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方程（3）的通解。一般地，如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy= f(x)dx(5)的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和dy，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。假定方程（5)中的函数g(y)和f(x)是连续的，设=p(x)是方程的解，将它代入（5)中得到恒等式g[p(x)]p'(x)dx = f(x)dx将上式两端积分，并由J=((x)引进变量V，得[g(y)dy = J f(x)dx设G(y)及F(x)依次为g(y)和f(x)的原函数，于是有G(y) = F(x)+C(6)因此，方程（5）满足关系式（6)。反之，如果J=Φ(x)是由关系到式（6）所确定的隐函数，那么在g(y)≠0的条件下，J=Φ(x)也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导法可知，当g(y)0时，F'(x)- f(x)Φ(x)= -G'(y)g(y)这就表示函数=Φ(x)满足方程（5)。所以如果已分离变量的方程（5）中g(y)和F(x)是连续的，且g(y)≠0，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6)，就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。例1求微分方程

xdx y dy 2 2 = ， 这样，变量 x 与 y 已分离在等式的两端，然后两端积分得 x C y − = + 1 2 或 x C y + = − 2 1 （4） 其中 C 是任意常数。 可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方 程（3）的通解。 一般地，如果一个一阶微分方程能写成 g( y)dy = f (x)dx （5） 的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy ，另一端只含 x 的函数和 dx， 那么原方程就称为可分离变量的微分方程。 假定方程（5）中的函数 g( y) 和 f (x) 是连续的，设 y = ϕ(x) 是方程的解，将它代入（5） 中得到恒等式 g[ϕ(x)]ϕ'(x)dx = f (x)dx. 将上式两端积分，并由 y = ϕ(x) 引进变量 y ，得 ∫ ∫ g( y)dy = f (x)dx 设G( y) 及 F(x) 依次为 g( y) 和 f (x) 的原函数，于是有 G( y) = F(x) + C （6） 因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果 y = Φ(x)是由关系到式（6）所确定的隐函 数 ，那么在 g( y) ≠ 0的条件下， y = Φ(x)也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导 法可知，当 g( y) ≠ 0时， , ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) g y f x G y F x Φ x = = 这就表示函数 y = Φ(x)满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中 g( y) 和 f (x) 是 连续的，且 g( y) ≠ 0，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5） 的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6） 式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。 例 1 求微分方程

dy =2xydx(7)的通解。解方程（7）是可分离变量的，分离变量后得dy =2xdxCy2xdx两端积分Iny=x? +Cj,得y=ter+Ci =teCier从而又因为土e仍是任意常数，把它记作C便得到方程（7）的通解y=Cert例2放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知t=0时铀的含量为M。，求在衰变过程中含量M()随时间变化的规律。dM解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dt。由于铀的衰变速度与其含量成正比，得到微分方程如下dM=-^M,dt(8)其中(>0)是常数，叫做衰变系数。几前的负号是指由于当1增加时M单调减少，即dM0，得InM=-At+InC

xy dx dy = 2 （7） 的通解。 解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得 xdx y dy = 2 两端积分 2 , ∫ ∫ = xdx y dy 得 ln , 1 2 y = x + C 从而 2 1 1 2 x C C x y = ±e = ±e e + 。 又因为 C1 ±e 仍是任意常数，把它记作 C 便得到方程（7）的通解 2 x y = Ce 。 例 2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断 减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的误变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比。已知t = 0 时铀的含量为 M0，求在衰变过程中含量 M (t) 随时间变化的规律。 解 铀的衰变速度就是 M (t) 对时间t 的导数 dt dM 。由于铀的衰变速度与其含量成正 比，得到微分方程如下 M , dt dM = −λ （8） 其中 λ(λ > 0) 是常数，叫做衰变系数。 λ 前的负号是指由于当t 增加时 M 单调减少，即 0，得 ln M = −λt + lnC

M=Ce-n即是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得M。=Ce°=CM=Moe-u故得由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减

即 . t M Ce −λ = 是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得 M Ce C o 0 = = 故得 . 0 t M M e −λ = 由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减

第三节市齐次方程、齐次方程如果一阶微分方程y'= f(x,y)Y(x, )=0()中的函数f(x,y)可写成x的函数，即x则称这方程为齐次方程。例如(x+y)dx+(y-x)dy=0是齐次方程，因为其可化为1+之dy_x+y--x1之dxx-yx解法：f(x,y) =p(-(1)u=x，则y=ux，于是作代换=x+udx"dxdu+u=p(u)从而dxdu_p(u)-udxxdudxp(u)-uX分离变量得durdxp(u)-ux两端积分得y求出积分后，再用x代替u，便得所给齐次方程的通解。如上例du1 +u+u=xdx1-u

第三节 齐次方程 一、齐次方程 如果一阶微分方程 y'= f (x, y) 中的函数 f (x, y) 可写成 x y 的函数，即 ( , ) ( ) x y f x y = ϕ ，则称这方程为齐次方程。例如 (x + y)dx + ( y − x)dy = 0 是齐次方程，因为其可化为 . 1 1 x y x y x y x y dx dy − + = − + = 解法： ( , ) ( ) x y f x y = ϕ （1） 作代换 x y u = ，则 y = ux ，于是 u. dx du x dx dy = + 从而 u (u) dx du x + = ϕ ， x u u dx du − = ϕ( ) ， 分离变量得 x dx u u du = ϕ( ) − 两端积分得 ∫ ∫ = − x dx u u du ϕ( ) 求出积分后，再用 x y 代替u ，便得所给齐次方程的通解。如上例 u u u dx du x − + + = 1 1