《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 相似矩阵及二次型 第六节 用配方法化二次型成标准型

线性代数教程第0506节用配方法化二次型成标准型 2346 第六节用配方法化二次型成标准型 一、拉格朗日配方法的具体步骤 二、小结思考题 线性代数小组

线性代数教程 线性代数小组 第0506节 用配方法化二次型成标准型 23:46 第1页 第六节 用配方法化二次型成标准型 一、拉格朗日配方法的具体步骤 二、小结 思考题

线性代数教程 第0506节用配方法化二次型成标准型 23:46 一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变 问题有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法一 拉格朗日配方法. 线性代数小组

线性代数教程 线性代数小组 第0506节 用配方法化二次型成标准型 23:46 第2页 一、拉格朗日配方法的具体步骤 用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变． 问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？ 问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．

线性代数教程第0506节用配方法化二次型成标推型 2346 拉格朗日配方法的步骤 1.若二次型含有x;的平方项，则先把含有 ,的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形； 2.若二次型中不含有平方项，但是，≠0 (i≠)，则先作可逆线性变换 x;=y-y月 xi-yi+yi (k=1,2,n且k≠i,j) Xk=yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方 线性代数小组 第3项

线性代数教程 线性代数小组 第0506节 用配方法化二次型成标准型 23:46 第3页 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; i x xi      = = + = − k k j i j i i j x y x y y x y y (k = 1,2,  ,n且k  i, j) 拉格朗日配方法的步骤 2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换 aij  0 (i  j), 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方

线性代数教程 第0506节用配方法化二次型成标准型 23:46 例1化二次型 f=x7+2x3+5x3+2x12+2x1x3+6x2x3 为标准形，并求所用的变换矩阵 解 儿含有平方项 含有x的项配方 =r2X+5+2写年2x3+6x,x = +2x1x2+2x1x3+2x+5x3+6x2x3 (x+x2+x3) 去掉配方后多出来的项 -=2x2+2x3+5x3+6x2x, 线性代数小组 第4页

线性代数教程 线性代数小组 第0506节 用配方法化二次型成标准型 23:46 第4页 解 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x , . 2 5 2 2 6 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 为标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x + x + x + x x + x x + x x 例1 1 2 1 3 2 x1 + 2x x + 2x x 2 3 2 3 2 = + 2x2 + 5x + 6x x 含有平方项 含有 x1的项配方 = ( ) 2 1 2 3 x + x + x 2 3 2 3 2 2 + 2x + 5x + 6x x 2 3 2 3 2 2 − x − x − 2x x 去掉配方后多出来的项

线性代数教程第0506节用配方法化二次型成标准型 23:46 -(x+x,+x}++4x+4x,x =(+x+x}+(s2+2x} y=1+x2+x3 x1=y1-y2+y3 令 y2=X2+2x3 →x2=y2-2y3 y3=x3 x3=y3 111 → 00 1 y3 线性代数小组 第5页

线性代数教程 线性代数小组 第0506节 用配方法化二次型成标准型 23:46 第5页 ( ) 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 = x + x + x + x + 4x + 4x x ( ) ( 2 ) . 2 2 3 2 1 2 3 = x + x + x + x + x      = = + = + + 3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 y x y x x y x x x 令      = = − = − +  3 3 2 2 3 1 1 2 3 2 x y x y y x y y y                     − − =            3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 1 1 y y y x x x

线性代数教程 第0506节用配方法化二次型成标谁型 23:46 .f=x2+2x3+5x号+2x1x2+2x1x3+6x2x3 =+ 所用变换矩阵为 -11 C=01-2,(g=1≠0) 001 线性代数小组 第6页

线性代数教程 线性代数小组 第0506节 用配方法化二次型成标准型 23:46 第6页 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2  f = x1 + 2x + 5x + 2x x + 2x x + 6x x . 2 2 2 1 = y + y 所用变换矩阵为 , ( 1 0). 0 0 1 0 1 2 1 1 1 =            − − C = C

线性代数教程第0506节用配方法化二次型成标推型 2346 例2化二次型 f=2x1x2+2x1X3-6x2X3 成标准形，并求所用的变换矩阵. 解由于所给二次型中无平方项，所以 x1y1+y2 1 1 令 x2=y1-y2, 即 -1 0 x3=y3 00 1八y, 代入∫=2xx2+2xX3-6x2x3 得f=2y-2y3-41y3+8y2y3 线性代数小组 第7页

线性代数教程 线性代数小组 第0506节 用配方法化二次型成标准型 23:46 第7页 , 3 3 2 1 2 1 1 2      = = − = + x y x y y x y y 令 解 2 2 6 , x1 x2 x1 x3 x2 x3 代入 f = + − 2 2 4 8 . 1 3 2 3 2 2 2 1 得 f = y − y − y y + y y , . 2 2 6 1 2 1 3 2 3 成标准形 并求所用的变换矩阵 化二次型 f = x x + x x − x x 例2 由于所给二次型中无平方项，所以                               = −           y y y x x x 3 2 1 3 2 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 即

线性代数教程第0506节用配方法化次型成标推型 23:46 再配方，得 f-20-y}-20y2-2y3}+6 31=-y 令 2=y2-2y 33=y3 y=乙1+z3 → y2=z2+23, 为=3 得 f=2z-2z+6z. 线性代数小组 第8页

线性代数教程 线性代数小组 第0506节 用配方法化二次型成标准型 23:46 第8页 再配方，得 2( ) 2( 2 ) 6 . 2 3 2 2 3 2 1 3 f = y − y − y − y + y      = = − = − 3 3 2 2 3 1 1 3 2 z y z y y z y y 令 2 , 3 3 2 2 3 1 1 3      = = + = +  y z y z z y z z 2 2 6 . 2 3 2 2 2 1 得 f = z − z + z                               =           z z z y y y 3 2 1 3 2 1 0 0 1 0 1 2 1 0 1 即

线性代数教程第0506节用配方法化二次型成标准型 2346 所用变换矩阵为 110101 C- -1 00→ 0012 100i 好 (C=-2≠0以 线性代数小组 第9页

线性代数教程 线性代数小组 第0506节 用配方法化二次型成标准型 23:46 第9页 所用变换矩阵为                     = − 0 0 1 0 1 2 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 C . 0 0 1 1 1 1 1 1 3           = − − (C = −2  0)

线性代数教程 ,第0506节用配方法化二次型成标准型 23:46 二、小结思考题 将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求.如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用. 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单.需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩 线性代数小组 第10页

线性代数教程 线性代数小组 第0506节 用配方法化二次型成标准型 23:46 第10页 二、小结 思考题 将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．