《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 相似矩阵及二次型 第七节 正定二次型

线性代数教程第0507节正定=次型 2346 第七节正定二次型 一、惯性定理 二、正（负）定二次型的概念 三、正（负）定二次型的判别 四、小结思考题 线性代数小组 第1页

线性代数教程 线性代数小组 第0507节 正定二次型 23:46 第1页 第七节 正定二次型 一、惯性定理 二、正(负)定二次型的概念 三、正(负)定二次型的判别 四、小结 思考题

线性代数教程第0507节正定三次型 23:46 惯性定理 个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩. 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质. 线性代数小组 U

线性代数教程 线性代数小组 第0507节 正定二次型 23:46 第2页 一、惯性定理 一个实二次型，既可以通过正交变换化为标 准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形， 显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形 中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩． 下面我们限定所用的变换为实变换，来研究 二次型的标准形所具有的性质．

线性代数教程第0507节正定三次型 2346 定理1（惯性定理）设有实二次型=x「Ax,它的秩 为r,有两个实的可逆变换 x=Cy 及 x=P 使 f=k1y+k2y3+.+k,y (k≠0) 及 f=1z+九2z+.+九，z (2,≠0) 则k1,k,中正数的个数与几1，1，中正数的个数 相等 线性代数小组 第3项

线性代数教程 线性代数小组 第0507节 正定二次型 23:46 第3页 ( ) ( ) . , , , , 0 , 0 , , 1( ) , 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 相 等 则 中正数的个数与 中正数的个数 及 使 及 为 有两个实的可逆变换 定 理 惯性定理 设有实二次型 它的秩       r r r r i r r i T k k f z z z f k y k y k y k x Cy x Pz r f x Ax     = + + +  = + + +  = = =

线性代数教程第0507节正定三次型 23:46 二、正（负）定二次型的概念 定义1设有实二次型f(x)=x?Ax,如果对任何 x≠0，都有f(x)>0(显然f0)=0),则称f为正定二 次型，并称对称矩阵4是正定的，如果对任何≠0 都有f(x)<0,则称为负定二次型并称对称矩阵 A是负定的. 例如∫=x2+4y2+16z2为正定二次型 f=-xj-3x) 为负定二次型 线性代数小组 第4页

线性代数教程 线性代数小组 第0507节 正定二次型 23:46 第4页 2 2 2 f = x + 4 y + 16z 为正定二次型 2 2 2 f = −x1 − 3x 为负定二次型 二、正(负)定二次型的概念 ( ) ( ( ) ) . ( ) 0, , , ; 0 0, 0 0 0 , 1 ( ) , 是负定的 都 有 则 称 为负定二次型 并称对称矩阵 次 型 并称对称矩阵 是正定的 如果对任何 都 有 显 然 则 称 为正定二 定 义 设有实二次型 如果对任何 A f x f A x x f x f f f x x Ax T     = = 例如

线性代数教程第0507节正定三次型 2346 三、正（负）定二次型的判别 定理2实二次型斯=xTAx为正定的充分必要条 件是：它的标准形的1个系数全为正 证明设可逆变换x-Gy使 =/o)-28 充分性 设k>0(=1,n).任给x≠0， 则y=C-x≠0， 故f(x)=2ky>0. i1 线性代数小组 第5项

线性代数教程 线性代数小组 第0507节 正定二次型 23:46 第5页 证明 设可逆变换x = Cy使 ( ) ( ) . 2 1 i n i i f x f Cy k y = = = 充分性 k 0 (i 1, ,n). 设 i =  任给 x  0, y = C x  0, 则 -1 故 ( ) 0. 2 1 =   = i n i i f x k y 三、正(负)定二次型的判别 : . 2 件 是 它的标准形的 个系数全为正 定 理 实二次型 为正定的充分必要条 n f x Ax T =

线性代数教程第0507节正定三次型 23:46 必要性 假设有k,≤0，则当y=e,(单位坐标向量)时， f(Ce,)=k,≤0. 显然Ce,≠0，这与f为正定相矛盾. 故k,>0i=1,n). 推论对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正， 线性代数小组 第6页

线性代数教程 线性代数小组 第0507节 正定二次型 23:46 第6页 必要性  0, 假设有ks 则当 (单位坐标向量)时, s y = e ( ) =  0. Ces ks f  0, 显然Ces 这与 f 为正定相矛盾. 故 k 0(i 1, ,n). i  =  推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正． A A

线性代数教程第0507节正定三次型 2346 定理3对称矩阵A为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式为正，即 aw ayn 411>0, 011012 >0,y :>0; 2122 Anl Ann 对称矩阵A为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 11 (0y:>0(-1,2, 0,1.0n 这个定理称为霍尔维茨定理： 线性代数小组 第7页

线性代数教程 线性代数小组 第0507节 正定二次型 23:46 第7页 0, a11  0, 21 22 11 12  a a a a  , 0; 1 11 1  n nn n a a a a     ( 1) 0, ( 1,2, , ). 1 1 1 1 r n a a a a r rr r r      −  = 这个定理称为霍尔维茨定理． 定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶主子式为正，即 A A 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即 A

线性代数教程。第0507节正定三次型 23:46 正定矩阵具有以下一些简单性质 1.设A为正定实对称阵则AT,A,A均为正 定矩阵 2.若A,B均为n阶正定矩阵则A+B也是正定 矩阵 线性代数小组 第8页

线性代数教程 线性代数小组 第0507节 正定二次型 23:46 第8页 正定矩阵具有以下一些简单性质 ; 1. , A , , T 1 定矩阵 设A为正定实对称阵则 A − A 均为正 . 2. , , 矩 阵 若A B均 为n阶正定矩阵 则A+ B也是正定

线性代数教程第0507节正定三次型 2346 例1判别二次型 fg,x2,x)=5x+x号+5x号+4xx2-8xs3-4x2x 是否正定 52-4 解f(x,x2,x)的矩阵为21 -2 -4-25 它的顺序主子式 52 -4 5>0, 21-2=1>0, -4-2 5 故上述二次型是正定的 线性代数小组 第9贡

线性代数教程 线性代数小组 第0507节 正定二次型 23:46 第9页 例1 判别二次型 ( ) 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 5x + x + 5x + 4x x − 8x x − 4x x 是否正定. 解 f (x1 , x2 , x3 )的矩阵为 , 4 2 5 2 1 2 5 2 4           − − − − 它的顺序主子式 5  0, 1 0, 2 1 5 2 =  1 0, 4 2 5 2 1 2 5 2 4 =  − − − − 故上述二次型是正定的

线性代数教程第0507节正定=次型 2346 例2判别二次型 f(x,x2,x3)=2x+4x+5x3-4xx3 是否正定 解用特征值判别法 2 0-2 二次型的矩阵为A=0 40 -205 令2E-A=0→21=1,22=4,23=6. 即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型 线性代数小组 第10页

线性代数教程 线性代数小组 第0507节 正定二次型 23:46 第10页 例2 判别二次型 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 f x1 , x2 , x3 = 2x1 + 4x + 5x − 4x x 是否正定. 解 二次型的矩阵为 , 2 0 5 0 4 0 2 0 2           − − A = 用特征值判别法. 令 E − A = 0 1, 4, 6.  1 = 2 = 3 = 即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型