《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3-3 矩阵的秩

线性代教教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2345 第三节矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、小结 第页

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第1页 第三节 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 三、小结 二、矩阵秩的求法

线性代数敖程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 一、矩阵秩的概念 任何矩阵An×n,总可经过有限次初等行变换把它变 为行阶梯形； 行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。 矩阵的秩 下面将给出矩阵秩的一个准确定义， 第2项

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第2页 一、矩阵秩的概念 任何矩阵Am×n，总可经过有限次初等行变换把它变 为行阶梯形； 矩阵的秩 行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。 下面将给出矩阵秩的一个准确定义

线性代教教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23.46 本质上是 定义1：阶子式 阶行列式 在mXn矩阵A中，任取k行k列(k≤m且k≤n), 位于这些行列交叉处的2个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为矩阵 A的k阶子式. 注：m×n矩阵A的k阶子式共有CA·C个。 第3页

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第3页 定义1：k阶子式 在m×n矩阵A中，任取 k 行 k 列（k≤m且k ≤ n）， 位于这些行列交叉处的 k 2 个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k阶行列式，称为矩阵 A的 k 阶子式. 注： m×n矩阵A的k阶子式共有 个。 k n k Cm •C 本质上是 k阶行列式

线性代数敖程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 定义2：矩阵的秩 设在矩阵A中，满足 (I)有一个r阶子式D不等于0； (2)所有的+1阶子式（如果有的话）全等于0； 则D称为A的最高阶非零子式， 数r称为矩阵A的秩，记作R(A). 规定：零矩阵的秩为0。 m×n矩阵A的秩R(A是A中不等于零的 子式的最高阶数 对于AI,显有R(A)=R(A). 第4页

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第4页 . ( ) 子式的最高阶数 m  n 矩阵 A的秩 R A 是 A中不等于零的 对于 A T ， R(A ) R(A). T 显有 = 定义2：矩阵的秩 设在矩阵A中，满足 (1)有一个 r 阶子式D不等于0； (2)所有的 r+1 阶子式(如果有的话)全等于0; 则D称为A的最高阶非零子式， 数 r 称为矩阵A的秩，记作R(A). 规定：零矩阵的秩为0

线性代教赦程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2345 123 例1求矩阵A=23-5的秩 471 解1中}0 又，A的3阶子式只有一个4，且A=0, .R(A)=2. 第5页

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第5页 例1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩           A = − 解 在 A中， 又 A的 3阶子式只有一个 A， 0. 2 3 1 2  且 A = 0，  R(A) = 2

线性代教敖程■ 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 6 3-2 例2求矩阵B 1-25 0004-3 的秩 0000 0 解：B是一个行阶梯形矩阵，其非零行郁行， B的所有4阶子式全为零 2-13 而03-2≠0，.R(B)=3. 004 第6项

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第6页 例2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩               − − − − B = 解  B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，  B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3 −  − 而  R(B) = 3

线性代数赦程第三章矩阵的初等变换与线性方程组 2345 请回答： 设R4)=r,那么 )所有的r阶子式都为0，对吗？ 错！ (2)所有的+1阶子式都为0，对吗？ 对！ 3)所有的+2阶子式都为0，对吗？ 对！ (4)所有的+3阶子式都为0，对吗？ 对！ 第7页

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第7页 请回答: 设R(A) = r，那么 (1)所有的 r 阶子式都为0，对吗？ (2)所有的 r+1 阶子式都为0，对吗？ (3)所有的 r+2 阶子式都为0，对吗？ (4)所有的 r+3 阶子式都为0，对吗？ . 错！ 对！ 对！ 对！

线性代数敖程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 请回答： 设R()=r,那么 )有没有等于0的1阶子式？ 有！ (2)有没有等于0的r阶子式？ 有！ (3)有没有等于0的+1阶子式？ 有！全是 第8项

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第8页 请回答: 设R(A) = r，那么 (1)有没有等于0的 r-1 阶子式？ (2)有没有等于0的 r 阶子式？ . 有！ 有！ (3)有没有等于0的 r+1 阶子式？ 有！全是

线性代数教程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23.45 ”w期 求该矩阵的秩， 解 =2≠0，计算A的3阶子式， 13 -21323-221-22 02-1=0023D,-1300-13=0, -20 1 -205015-215 =0. ∴.R(A=2. 第9页

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第9页 例3 已知 ，求该矩阵的秩．           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3  =  2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 计算A的3阶子式， = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = = 0, = 0, = = = 0.  R(A) = 2

线性代数敖程 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 13-22 另解对矩阵A02-13 做初等变换， -2015 13-2 02 0000 显然，非零行的行数为2， .R(A)=2. 此方法简单！ 第10页

线性代数教程 线性代数小组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 23:45 第10页 对矩阵 做初等变换，           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 另解 A , 0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 ~ 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2           − −           − − −  显然，非零行的行数为2，  R(A) = 2. 此方法简单！