《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 相似矩阵及二次型 第四节 对称矩阵的相似矩阵

线性代数教程 第0504革对称矩阵的相似矩阵 2346 第四节对称矩阵的相似矩阵 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将 对称矩阵对角化的方法 三、小结思考题 线性代数小组 第1页 U

线性代数教程 线性代数小组 第0504节 对称矩阵的相似矩阵 23:46 第1页 第四节 对称矩阵的相似矩阵 一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将 对称矩阵对角化的方法 三、小结 思考题

线性代数教程第0504节对称矩阵的相似矩阵 2346 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵. 定理1对称矩阵的特征值为实数 证明设复数为对称矩阵4的特征值，复向量x为 对应的特征向量， 即 Ax=2x,x≠0. 用几表示2的共轭复数，x表示x的共轭复向量， 则Ax=Ax=(Ax)=(x)=九x. 线性代数小组 第2贡

线性代数教程 线性代数小组 第0504节 对称矩阵的相似矩阵 23:46 第2页 定理1 对称矩阵的特征值为实数. 证明 , , 对应的特征向量 设复数为对称矩阵A的特征值 复向量x为 即 Ax = x , x  0. 用 表示的 共轭复数 , 则 Ax = Ax = (Ax) = (x) =  x. 一、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． x表示x的共轭复向量

线性代数教程第0504节对称矩阵的相似矩阵 2346 于是有 xTAx =x7(Ax)=xTAx =Ax"x, xAx=x4k=(Ax)x=axyx=ax'x 两式相减，得 (儿-)'x=0. 但因为x≠0， 所以x-xx,=2x'≠0，→h-刃=0， 即入=九，由此可得是实数 线性代数小组 第3页

线性代数教程 线性代数小组 第0504节 对称矩阵的相似矩阵 23:46 第3页 于是有 x Ax T x Ax T 及 x (Ax) T = x x T =  x x, T =  (x A )x T T = (Ax) x T = ( x) x T =  x x. T =  两式相减，得 ( − )x x = 0. T   但因为x  0,  ( − ) = 0, 即 = , 由此可得是实数. 0, 1 2 1 =  =   = = n i i n i i i T 所以 x x x x x

线性代数教程第0504节对称矩阵的相似矩阵 2346 定理1的意义 由于对称矩阵A的特征值2：为实数，所以齐次 线性方程组 (A-λ：E)x=0 是实系数方程组，由A-λ，E=0知必有实的基础解 系，从而对应的特征向量可以取实向量 线性代数小组 第4项

线性代数教程 线性代数小组 第0504节 对称矩阵的相似矩阵 23:46 第4页 定理1的意义 , . , 0 ( ) 0 , 系 从而对应的特征向量可以取实向量 是实系数方程组 由 知必有实的基础解 线性方程组 由于对称矩阵 的特征值 为实数 所以齐次 − = − = A E A E x A i i i   

线性代数教程第0504节对称矩阵的相似矩阵 2346 定理2设2，入，是对称矩阵A的两个特征值，P1, P2是对应的特征向量若21≠元2，则p,与p,正交 证明1P1=Ap1,12P2=Ap2,1≠入2， :A对称，A=A, =(P)=()=D4 =D.'A, 于是1pp2=pAp,=p(P)=pp2, → (-2)pp2=0. 人1≠12，.p1p2=0.即p1与p2正交 线性代数小组 笔5页

线性代数教程 线性代数小组 第0504节 对称矩阵的相似矩阵 23:46 第5页 , , . 2 , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 是对应的特征向量若 则 与 正 交 定 理 设 是对称矩阵 的两个特征值 p p p A p      证明 , , , 1 p1 = Ap1 2 p2 = Ap2 1  2 A , A A , T  对称 = ( ) ( ) T T T 1 p1 = 1 p1 = Ap1 , p1 A p1 A T T T = = 于是 ( ) 1 1 2 1 2 1 2 p2 p p p Ap p T T T  = =  , 2 1 p2 p T =  ( ) 0.  1 − 2 p1 p2 = T   , 1  2 .  p1 p2 = 0. 即p1与p2正交 T

线性代数教程第0504节对称矩阵的相似矩阵 2346 定理3设A为阶对称矩阵入是A的特征方程的r 重根，则矩阵A-2E的秩R(A-E)=n-r,从而 对应特征值2恰有r个线性无关的特征向量 定理4设A为阶对称矩阵则必有正交矩阵，使 P-AP=人，其中人是以A的n个特征值为对角元 素的对角矩阵 证明设A的互不相等的特征值为2，入2，2， 它们的重数依次为，2，r,(g+2+.+r=n) 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数)和定 理3（如上）可得： 线性代数小组 第6页

线性代数教程 线性代数小组 第0504节 对称矩阵的相似矩阵 23:46 第6页 . , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P =   − 证明 , , , , 1 2  s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2  . , ( ) , 3 , 对应特征值 恰 有 个线性无关的特征向量 重 根 则矩阵 的 秩 从 而 定 理 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 r A E R A E n r A n A r     − − = − ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为

线性代数教程 第0504节对称矩阵的相似矩阵 2346 对应特征值2(i=1,2,5),恰有r:个线性无 关的实特征向量，把它们正交化并单位化，即得，个 单位正交的特征向量.由r+r2+.+r,=n知， 这样的特征向量共可得n个。 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 故这n个单位特征向量两两正交 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 P-AP=PPA=A 其中对角矩阵A的对角元素含个元，r,个2，恰 是A的n个特征值。 线性代数小组 第7页

线性代数教程 线性代数小组 第0504节 对称矩阵的相似矩阵 23:46 第7页 , 由r1 + r2 ++ rs = n知 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， . , , ( 1,2, , ), 单位正交的特征向量 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 对应特征值 恰有 个线性无 r i s r i  i =  i =  =  − − P AP P P 1 1 . , , , 1 1 是 的 个特征值 其中对角矩阵 的对角元素含 个 个 恰 A n r r    s s 这样的特征向量共可得 n 个. 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则

线性代数教程第0504节对称矩阵的相似矩阵 2346 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1.求A的特征值； 2.由(A-2,E)x=0,求出A的特征向量； 3.将特征向量正交化； 4.将特征向量单位化 线性代数小组 第8项

线性代数教程 线性代数小组 第0504节 对称矩阵的相似矩阵 23:46 第8页 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化. 2. 由(A E)x 0,求出A的特征向量; − i = 1. 求A的特征值; 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法

线性代数教程第0504节对称矩阵的相似矩阵 2346 例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵P, 使P-AP为对角阵 (2-20 400 (1)A=-21-2 ,(2)A-031 0-20 013 解()第一步 求A的特征值 2-20 A-E=-21-1-2=(4-元2-1以1+2=0 0 -2-2 得21=4,22=1，九3=-2. 线性代数小组 第9页

线性代数教程 线性代数小组 第0504节 对称矩阵的相似矩阵 23:46 第9页 解     − − − − − − − − = 0 2 2 1 2 2 2 0 A E = (4 − )( −1)( + 2) = 0 4, 1, 2. 得 1 = 2 = 3 = − , 0 2 0 2 1 2 2 2 0 (1)           − − − − A =           = 0 1 3 0 3 1 4 0 0 (2) A 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 P AP 为对角阵. −1 P (1)第一步 求 A 的特征值

线性代数教程第0504节对称矩阵的相似矩阵 2346 第二步由(A-2,E)x=0,求出4的特征向量 对21=4，由(A-4E)x=0,得 2x1+2x2=0 ■2+3x,+2x,=0解之得基础解系5=2 2x2+4x3=0 对2=1，由(4-E)x=0,得 -x1+2x2=0 2x1+2x3=0 解之得基础解系52= 2x2+x3=0 线性代数小组 第10页

线性代数教程 线性代数小组 第0504节 对称矩阵的相似矩阵 23:46 第10页 第二步 由(A− iE)x = 0,求出A的特征向量 对 1 = 4,由(A− 4E)x = 0,得      + = + + = + = 2 4 0 2 3 2 0 2 2 0 2 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x 解之得基础解系 . 1 2 2 1           − −  = 对 2 = 1,由(A− E)x = 0,得      + = + = − + = 2 0 2 2 0 2 0 2 3 1 3 1 2 x x x x x x 解之得基础解系 . 2 1 2 2           −  =