《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 向量组的线性相关性 4-5 向量空间

线性代教教程 第四章向量组的线性相送性 第五节向量空间 一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基与维数 第页

线性代数教程 第四章 向量组的线性相关性 第1页 第五节 向量空间 一、向量空间的概念 二、子空间 三、向量空间的基与维数

线性代数敖程 第四章向量组的线性相关性 第2项

线性代数教程 第四章 向量组的线性相关性 第2页

线性代教教程 第四章向量组的线性相送性 一、向量空间的概念 定义1设V为n维向量的集合，如果集合非空， 且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合V为向量空间. 说明 1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指 若a∈V,B∈V,则a+B∈V; 若au∈V,九∈R,则2a∈V, 2.n维向量的集合是一个向量空间，记作R” 第3页

线性代数教程 第四章 向量组的线性相关性 第3页 说明 若 V,  R, 则  V. 2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作 . n R 若 V, V, 则 +  V; 一、向量空间的概念 定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间． n V V V V 1．集合 V 对于加法及乘数两种运算封闭指

线性代数敖程 第四章向量组的线性相关性 例13维向量的全体R3,是一个向量空间 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量，数 乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R. 类似地，n维向量的全体R,也是一个向量空 间. 第4项

线性代数教程 第四章 向量组的线性相关性 第4页 3 , . 例1 维向量的全体R 3 是一个向量空间 3 3 . 3 3 , 3 乘 维向量仍然是 维向量，它们都属于R 因为任意两个 维向量之和仍然是 维向量 数  . 间 类似地，n维向量的全体R n，也是一个向量空

线性代数教程 第四章向量组的线性相关性 例2判别下列集合是否为向量空间. =0x2ERj 解V是向量空间 因为对于'的任意两个元素 a=(0,a2,an,B=(0,b2,bnye 有a+B=(0,a2+b2,an+bn'∈Y Aa=(0,u2,an)'∈Y 第5颜

线性代数教程 第四章 向量组的线性相关性 第5页 例2 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 1 = = 0, 2 ,  , n 2 ,  ,  解 V 是向量空间 . 1 因为对于V1的任意两个元素 ( ) ( ) T n T  = 0,a2 ,  ,an ,  = 0,b2 ,  ,b V ,  1 ( ) 2 2 1 0,a b , ,a b V T 有  +  = +  n + n  (0, , , ) . a2 a V1 T  =    n 

线性代数枚程 第四章向量组的线性相关性 例3判别下列集合是否为向量空间 V==(1)x2R 解Y,不是向量空间. 因为若a=(1,2,.,ane2, 则2a=(2,22,.,2an）Ye'2 第6顾

线性代数教程 第四章 向量组的线性相关性 第6页 例3 判别下列集合是否为向量空间. V x ( x x ) x xn R T 2 = = 1, 2 ,  , n 2 ,  ,  解 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则  =  n  V 不是向量空间 . 2 (1, , , ) , 2 V2 a a T 因为若 =  n 

线性代教教程 第四章向量组的线性相联性 例4设a,b为两个已知的n维向量，集合 V-{x=m+b2,u∈R 试判断集合是否为向量空间. 解V是一个向量空间因为若1=人a+4,b x2=120+42b,则有 x1+x2=(21+22)M+(41+42)b∈V, c1=(k2)a+(ku)b∈V. 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空 间 第7页

线性代数教程 第四章 向量组的线性相关性 第7页 例 4 设a,b为两个已知的n维向量，集合 V = x = a + b,  R 试判断集合是否为向量空间. 解 V是一个向量空间.因为若x1 = 1a + 1b x2 = 2a +  2b， 则有 ( ) ( ) , x1 + x2 = 1 + 2 a + 1 +  2 b V ( ) ( ) . kx1 = k1 a + k1 bV . , 间 这个向量空间称为由向量a b所生成的向量空

线性代数教程 第四章向量组的线性相关性 般地，由向量组a,0,am所生成的向量空 间为 V={c=1a1+九232+.+2n0m2,2,m∈R 例5 设向量组a1,0n与向量组b1,b,等价， 记 Y1=x=1a1+元22++九m0m21,入2，2m∈R} Y2={x=4b1+2b2+.+4,b,41,42,.4,∈R 试证：Y=V2 第8项

线性代数教程 第四章 向量组的线性相关性 第8页 V x a a a R = = 1 1 + 2 2 ++  m m 1 ,2 ,  , m  间 一般地， 由向量组a1 ,a2 ,,am所生成的向量空 为     . , , , , , , , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 V V V x b b b R V x a a a R a a b b s s s m m m m s = = = + + +  = = + + +  试证： 记 设向量组 与向量组 等价，                 例 5  

线性代数故程 第四章向量组的线性相联性 证设x∈Y,则x可由a,a,n线性表示 因a1,am可由b1,b,线性表示，故x可由b1, b,线性表示，所以kx∈Y, 这就是说，若x∈Y则x∈V, 因此VcV2 类似地可证：若xeV,则∈， 因此Y,cY 因为YcV,V2c',所以V=V2 第9页

线性代数教程 第四章 向量组的线性相关性 第9页 , , . 证 设xV1，则x可由a1  am线性表示 : , , 类似地可证 若x V2 则x V1 . 因为V1  V2，V2  V1，所以V1 = V2 线性表示， 因 可由 线性表示，故 可由 s m s b a , ,a b , ,b x b , , 1  1  1  . 所以x V2 这就是说，若x V1，则x V2， . 因此V1  V2 . 因此V2  V1

线性代数敖程 第四章向量组的线性相关性 二、子空间 定义2设有向量空间V及V,若向量空间'cV, 就说V,是V,的子空间. 实例 设V是由n维向量所组成的向量空间， 显然VcR" 所以V总是R"的子空间. 第10页

线性代数教程 第四章 向量组的线性相关性 第10页 定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间． V1  V2 V1 V1 V2 V2 实例 V R n 显然  所以V总是R 的子空间. n 二、子空间 设 V 是由 n 维向量所组成的向量空间