《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 行列式 1-6 阶行列式按行（列）展开

线性代教教程 第一章阶行列式 第六节阶行列式按行（列）展开 一、余子式与代数余子式 二、阶行列式按行（列）展开法则 三、小结、思考题

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 第六 节 阶行列式按行（列）展开 一、余子式与代数余子式 三、小结、思考题 二、阶行列式按行（列）展开法则

线性代数故程 第一章阶行列式 一、余子式与代数余子式 例如 11412 4 42102 423 411L22433+41202331+013421032 4314324g3 -41423432-41221433-413022431, =01(a2203-423432+41,(a23431-21033) +013（421432-2431) 22 421023 二w32 das-dvds da 21 33 d3 33

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1, 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − = + + 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a 例如 ( ) = a11 a22a33 − a23a32 ( ) + a12 a23a31 − a21a33 ( ) + a13 a21a32 − a22a31 3 1 3 3 2 1 2 3 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 2 3 2 3 3 2 2 2 3 1 1 a a a a a a a a a a a a a a = a − + 一、余子式与代数余子式

线性代数教程 第一章阶行列式 在n阶行列式中，把元素a,所在的第i行和第j 列划去后，留下来的-1阶行列式叫做元素a, 的余子式，记作M, 记A,=(-)+M,叫做元素4，的代数余子式. 例如 011 12014 D- M23=a31 32 34 033 l34 41 L42 L44 04 as 044 A23=(-1)2+3M23=-M23

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 n aij i j n −1 aij M . ij 记 ( ) ij， i j Aij M + = − 1 叫做元素 aij 的代数余子式． 例如 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = 41 42 44 31 32 34 11 12 14 23 a a a a a a a a a M = ( ) 23 2 3 A23 1 M + = − . = −M23

线性代数敖程 第一章阶行列式 41201 23 21 L23 L24 D= 2122 24 31 523334 M12=3i 033 4343 04124s+ 41 43 L44 42=（12M12=-M2 011412 13 M4=0102a23,A4=(-4M4=M4 431032L33 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一 个代数余子式

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 , 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a a a a a D = , 41 43 44 31 33 34 21 23 24 12 a a a a a a a a a M = ( ) 12 1 2 A12 1 M + = − . = −M12 , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 44 a a a a a a a a a M = ( 1) . 44 44 4 4 A44 = − M = M + 个代数余子式. 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一

线性代教教程 第一章阶行列式 引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有 元素除a,外都为零，那末这行列式等于a,与它的 代数余子式的乘积，即D=a,A,· 例如 an 12 013014 11 012014 D- 23 d24 0 0 0 =(（093a33021 22 24 33 4 042L44 42 a43 44 U

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的 代数余子式的乘积，即 D = aijAij ． ij a ij a 41 42 43 44 33 21 22 23 24 11 12 13 14 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a D = ( 1) . 41 42 44 21 22 24 11 12 14 33 3 3 a a a a a a a a a a + = − 例如

线性代数敖程 第一章阶行列式 证当：位于第一行第一列时， 011 0 0 D= 21 l22 Q2n n 0n2. Ann 即有D-4M1 又A,=(-1)'M=Mm 从而D=41A 在证一般情形，此时

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 证 当 ij 位于第一行第一列时, a n n nn n a a a a a a a D       1 2 21 22 2 11 0 0 = 即有 . D = a11M11 又 ( ) 11 1 1 A11 1 M + = − , = M11 从而 . D = a11A11 在证一般情形, 此时

线性代数教程 第一章阶行列式 411 avi n D= 0 吁 0 0n1. .Ann 把D的第行依次与第i-1行，第i-2行，第1行对调， 0 u 0 得D-(（1-,1.a- .-l,n l m

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 n nj nn ij j n a a a a a a a D             1 11 1 1 = 0 0 把D的第i行依次与第i −1行,第i − 2行,第1行对调, 得 ( ) n nj nn i i j i n ij i a a a a a a a D             1 1,1 1, 1, 1 0 0 1 − − − − = − ij a ij a

线性代数敖程 第一章阶行列式 再把D的第列依次与第j-1列，第j-2列，第1列 对调，得 0 . 0 D=(y.(yaw.awa l;-1,n Anj- m

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 , 1 , 2 , 1 对调 再把D的第j列依次与第j − 列 第j − 列 第 列 得 ( ) ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a D             , 1 1, 1, 1 1, 1 1 0 0 1 1 − − − − − − − = −  − ij a

线性代教教程 第一章阶行列式 0 0 =（1-20.4w.-1月 l-1,” L n,j-1 Ann , 0 0 =（)a- l-1,n w .0n,j-l Ann

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a             , 1 1, 1, 1 1, 2 0 0 1 − − − − − + − = − ( ) nj n j nn i j i j i n ij i j a a a a a a a             , 1 1, 1, 1 1, 0 0 1 − − − − − + = − ij a ij a

线性代数敖程 第一章阶行列式 0 0 元素a,在行列式a-1 .0-l,j- . -l,n中的 可 . An,j-I Ann 余子式仍然是a,在 1 aj ain D= 0 · i 0 中的余子式M) Anl l可 . Ann

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 n nj nn ij j n a a a a a a a D             1 11 1 1 = 0 0 中的余子式 . Mij 余子式仍然是 在 元素 在行列式 中的 ij nj n j nn i j i j i n ij ij a a a a a a a a a             , 1 1, 1, 1 1, 0 0 − − − − − ij a ij a