《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 向量组及其线性组合 4.2 向量组的线性相关性

第二节向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念 二、线性相关性的判定

第二节 向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念 二、线性相关性的判定

一、线性相关性的概念 定义 给定向量组A:a1,2,am,如果存在不 全为零的数1，k2,km使 k1C1+k202+.+kmCm=0 则称向量组4是线性相关的，否则称它线性无关. 注意 1.若a1,a2,.,an线性无关，则只有当 九1=.=九n=0时，才有 21a1+2c2+.+nan=0成立. 2.对于任一向量组，不是线性无关就是 线性相关

0 , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k A          全为零的数 使 给定向量组 如果存在不 注意 0 . 0 , 1. , , , , 1 1 2 2 1 1 2 成立 时 才有 若 线性无关 则只有当 + + + = = = = n n n n               . 2. , 线性相关 对于任一向量组 不是线性无关就是 定义 一、线性相关性的概念 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．

·（1)m=时，即对于只有一个向量的向 量组，若该向量为零，则是线性相关的，若 该向量不为零，则是线性无关的。 (2)m=2时，即对于含有两个向量的向 量组，若它们线性相关，则这两个向量对应 分量成比例。 (3)m=3时，即含有三个向量的向量组， 若它们线性相关，则这三个向量共面

❖ （1） 时，即对于只有一个向量的向 量组，若该向量为零，则是线性相关的，若 该向量不为零，则是线性无关的。 ❖ （2） 时，即对于含有两个向量的向 量组，若它们线性相关，则这两个向量对应 分量成比例。 ❖ （3） 时，即含有三个向量的向量组， 若它们线性相关，则这三个向量共面。 ｍ＝１ ｍ＝２ ｍ＝３

结论： 若个向量构成的向量组线性相关，则在该 向量组中至少有一个向量能由其余的一1个 向量线性表示。 ÷如果向量组A中有某个向量能由其余的n一1 个向量线性表示，则向量组A是线性相关的

结论： ❖ 若 个向量构成的向量组线性相关，则在该 向量组中至少有一个向量能由其余的 个 向量线性表示。 ❖ 如果向量组A中有某个向量能由其余的 个向量线性表示，则向量组A是线性相关的。 ｎ ｎ－１ ｎ－１

二、线性相关性的判定 定理 向量组a1,2,.,Cm线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵A=(@1,a2,am)的秩小 于向量个数；向量组线性无关的充分必要条件是 R(A)=m

二、线性相关性的判定 ( ) . ; ( , , , ) , , , 1 2 1 2 R A m m A m m = = 于向量个数 向量组线性无关的充分必要条件是 条件是它所构成的矩 阵 的秩小 向量组 线性相关的充分必要        定理 

例1n维向量组 e1=(1,0,.,0),e2=(0,1,.,0),en=(0,0,.,1) 称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性. 解n维单位坐标向量组构成的矩阵 E=(e1,e23.,en) 是n阶单位矩阵.由E=1≠0，知R(E)=n. 即R(E)等于向量组中向量个数，故由定理知此 向量组是线性无关的

n 维向量组 ( ) ( ) ( )T n T T e 1,0, ,0 ,e 0,1, ,0 , e 0,0, ,1 1 =  2 =  ， =  称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 . 解 . ( , , , ) 1 2 是 阶单位矩阵 维单位坐标向量组构成的矩阵 n E e e e n =  n 由E = 1  0，知R(E) = n. ( ) . 即R E 等于向量组中 向 量 个 数，故 由 定 理 知 此 向 量 组 是 线 性 无 关 的 例１

例2已知 1 70 2 01= 1 02= 2bC3= 4 5 试讨论向量组，a2,a3及a1,a2的线性相关性 解分析 对矩阵（a,a2,a3)，施行初等行变换变 成行阶梯形矩阵，可同时看出矩阵（α1，c2,3) 及（1a,)的秩，利用定理2即可得出结论

， ， ，           =           =           = 7 4 2 5 2 0 1 1 1 1  2  3 . 试讨论向量组1， 2， 3及1， 2的线性相关性 解 2 . , 1 2 1 2 3 1 2 3 及（ ， ）的秩，利用定理 即可得出结论 成行阶梯形矩阵 可同时看出矩阵（ ， ， ） 对矩阵（ ， ， ），施行初等行变换变         例２ 已知 分析

7102 1 (1,a2,a3）=124 1575- 2 53 5 71 0 2 0 0 可见R(c1,a2,a3)=2,向量组a1,a2,a3线性相关； R(@1,2)=2,向量组a1,a2线性无关

          = 1 5 7 1 2 4 1 0 2 ( , , ) 1  2  3 ~ 3 2 2 5 r − r ，           0 0 0 0 2 2 1 0 2 ( , ) 2, , . ( , , ) 2 , , 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 向量组 线性无关 可见 ，向量组 线性相关；           = = R R           1 5 7 0 2 2 1 0 2 ~ 2 1 r −r 3 1 2 1 ~ r r r r − −           0 5 5 0 2 2 1 0 2

例3己知向量组C,42,a线性无关，b=&,+42, b2=2+心，b3=a+a,试证b,b2,b线性无关 证设有x1,x2,x,使 xb1+七2b2+K3b3=0 即x（a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a&1)=0, 亦即(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+3)a3=0, 因c1,a2,a线性无关，故有 x1+x3=0, 七1+X2=0, x2+x3=0

1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 3 , , , , , , , , . b b b b b b          = + = + = + 已知向量组 线 性 无 关 试 证 线 性 无 关 0 , ,1 1 2 2 3 3 1 2 3 x b + x b + x b = 设有x x x 使 ( ) ( ) 0, 即 x（1 1 +  2）+ x2  2 +  3 + x3  3 + 1 = ) ( ) ( ) 0, 亦即（x1 + x3 1 + x1 + x2  2 + x2 + x3  3 = 因1， 2， 3线性无关，故有  + = + = + = 0. 0, 0, 2 3 1 2 1 3 x x x x x x 证例 3

解得x=x2=x=0,所以向量组b,b,b,线性无关 101 证二：把已知条件合写为(b,b2,b)=(a,a2,4)110 011 记作B=AK,因K=2≠O,知K可逆，根据上章所述矩阵 的性质4知R(B)=R(A) 因为的列向量组线性无关，根据定理4知R()=3,从而 R(B)=3,再由定理4知B的3个列向量线性无关，即 b,b2,b,线性无关 例：己知向量组a,42,an线性无关，b=4+a2, b2=a2+43,.,bn=an+a,试用证法二讨论向量组 b,b,.b是线性无关还是线性相关.（与的奇偶有关）

1 2 3 1 2 3 解得 0 , , . x x x b b b = = = ，所以 向量组 线性无关 1 2 3 1 2 3 1 0 1 , , ) , , ) 1 1 0 0 1 1 b b b a a a     =       证二：把已知条件合写为（ （ 2 0 ( ) ( ). B AK K K R B R A = =  = 记作 ，因 ，知 可逆，根据上章所述矩阵 的性质4知 1 2 3 3, 3 3 , , . A R A R B B b b b = = 因为 的列向量组线性无关，根据定理4知（ ） 从而 （ ） ，再由定理4知 的 个列向量线性无关，即 线性无关 1 2 1 1 2 2 2 3 1 1 2 , , , , , , , , .( n n n n a a a b a a b a a b a a b b b n = + = + = + 例：已知向量组 ， 线性无关， 试用证法二讨论向量组 是线性无关还是线性相关 与 的奇偶有关）