《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 矩阵的初等变换及线性方程组 3.2 矩阵的秩

第二节矩阵的秩 一矩阵秩的概念 二矩阵秩的求法 三小结

一 矩阵秩的概念 二 矩阵秩的求法 第二节 矩阵的秩 三 小结

一矩阵秩的概念 任何矩阵Am,总可经过有限次初等行变换化为与其 等价的行阶梯形矩阵，而行阶梯形矩阵中非零行的行数 是唯一确定的， 定义(k阶子式)在m×n矩阵A中任取k行k列(k≤m, k≤)，位于这些行列交叉处的2个元素，不改变它们 在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A 的k阶子式（阶子行列式）

. , 是唯一确定的 等价的行阶梯形矩阵，而行阶梯形矩阵中非零行的行数 任何矩阵 Amn 总可经过有限次初等行变换化为与其 2 (k ) , , . m n A k k k m k n k A k A k k    定义 阶子式 在 矩阵 中任取 行 列（ ），位于这些行列交叉处的 个 元素 不改变它们 在 中所处的位置次序而得的 阶行列式，称为矩阵 的 阶子式（ 阶子行列式） 一 矩阵秩的概念

m×n矩阵A的k阶子式共有C·C个. 100 举例：A=010 110 A中只有一个三阶子式，即=0， A的二阶子式有9个，请同学们找出来

. k k m n A k C C   矩阵 的 阶子式共有 m n 个           = 1 1 0 0 1 0 1 0 0 举例：A A中只有一个三阶子式，即A = 0, A的二阶子式有9个,请同学们找出来

定义（矩阵秩）设在矩阵A中有一个不等于0的r 阶子式D,且所有r+1阶子式（如果存在的话） 全等于0，那末D称为矩阵的最高阶非零子式， 数r称为矩阵A的秩，记作R(A).并规定零矩阵 的秩等于零 m×n矩阵A的秩R(A)是A中最高阶非零 子式阶数

( ) 0 1 0 ( ) . . A r D r D A r A R A + 定义 矩阵秩 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子式 ，且所有 阶子式（如果存在的话） 全等于 ，那末 称为矩阵 的最高阶非零子式， 数 称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵 的秩等于零 子式阶数。 m n 矩阵 A的秩 R(A) 是 A中最高阶非零

例1： 100 求矩阵A=010 的秩。 (降秩矩阵) 110 解：A的三阶子式只有一个A,而A=O, 的分子式中的！1心 .R(A)=2

的秩。 1 1 0 0 1 0 1 0 0 求矩阵A           = 解：A的三阶子式只有一个A, 的二阶子式中有 1 0， 0 1 1 0 A =  （降秩矩阵）  R(A) = 2. 而A = 0, 例1：

例2 121 求矩阵A=231 的秩。（满秩矩阵） 471 ·A的3阶子式只有一个A, 解 且A≠0， .R(A)=3

例 2 求矩阵 的秩。   = 4 7 1 2 3 1 1 2 1 A 解  A 的 3阶子式只有一个 A， 且 A  0，  R(A) = 3. (满秩矩阵)

设n阶可逆矩阵A, A≠0， ∴.A的最高阶非零子式为A, R(A)=n, 可逆矩阵的秩等于阶数n,故称可逆矩阵 为满秩矩阵 不可逆矩阵的秩小于其阶数，故称为降秩矩阵

设n阶可逆矩阵 A，  A  0,  A的最高阶非零子式为A, R(A) = n, 为满秩矩阵. 可逆矩阵的秩等于阶数n，故称可逆矩阵 不可逆矩阵的秩小于其阶数n,故称为降秩矩阵

210 3-2 031 例3求矩阵B= -25 000L4-3 的秩 0 00 0 0 解.B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有行， .B的所有4阶子式全为零. 2-13 而03-2≠0，.R(B)=3. 00 4

例 3 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩   − − − − B = 解  B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，  B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3−  − 而  R(B) = 3

一个行阶梯形矩阵的秩正好等于其非零行 的行数，即等于此阶梯形矩阵的阶梯的个数。 问题： 任何A,总可经过有限次初等行变换化 为与其等价的行阶梯形矩阵A,而行阶梯形矩 阵秩很容易求，那么，R(A)=R(A)?

一个行阶梯形矩阵的秩正好等于其非零行 的行数，即等于此阶梯形矩阵的阶梯的个数。 问题： ( ) ( )? , R A R A A Am n =  阵秩很容易求，那么， 为与其等价的行阶梯形矩阵 ，而行阶梯形矩 任何 总可经过有限次初等行变换化

w 求该矩阵的秩。 解 由矩阵秩的定义，A的3阶子式有4个， 13 -2 13 2 3 -2 2 02-1=0, 0 23=0, 2-1 3=0, -201 -2 0 015 -2 0 -1 3=0,而 1 3 =2≠0，.R(A=2. -2 1 5 0

例4 已知 ，求该矩阵的秩．           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3 而 =  2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 由矩阵秩的定义，A的3阶子式有4个， = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = 0, = 0,  R(A) = 2