《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5.1 预备知识、向量的内积

§1预备知识向量的内积

§1 预备知识 向量的内积

解析几何中，R3中非零向量，B的内积定义为 a·B=aB cos0 这里lB分别表示与B的长度，0表示 与B夹角。 类似的，可将3维向量空间中的内积概念推广到n维 向量空间

解析几何中， 中非零向量 的内积定义为 这里 分别表示 的长度， 表示 夹角。 类似的，可将 3 维向量空间中的内积概念推广到 n 维 向量空间。 3 R  ,       = cos   与    与  

一、向量的内积、长度与夹角 定义1设有n维向量 X2 y2 x= y= V. [x,y]=x1y+x2y2++xnyn 称[x,y]为向量x与y的内积

定义1 设有n维向量, , 2 1 2 1               =               = n n y y y y x x x x     n n x y = x y + x y ++ x y 1 1 2 2 令 , 称x, y为向量x与 y的 内积 . 一、向量的内积、长度与夹角

说明 1n(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义. 2内积是向量的一种运算，如果x,y都是列 向量，内积可用矩阵记号表示为： [x,y]=x"y

说明 1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． n(n  4)  ,  . , : 2 , , x y x y x y T = 向量 内积可用矩阵记号表示为 内积是向量的一种运算 如果 都是列

内积的运算性质 其中x,y,z为n维向量，为实数)： (1)[x,y]=[y,x} (2)[2x,y]=2[x,y] 3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z小5 (4)x,x]≥0，且当x≠0时有[x,x]>0

内积的运算性质 (其中x, y,z为n维向量,为实数): (1) x, y =  y, x; (2) x, y = x, y; (3) x + y,z = x,z + y,z; (4)[x, x]  0,且当x  0时有[x, x]  0

定义2令 =Vx,x]=Vx好+x++x, 称x为n维向量x的长度（或范数） 向量的长度具有下述性质： 1.非负性当x≠0时，x>0;当x=0时，x=0; 2.齐次性2x=2x9 3.三角不等式x+y≤+外

定义2 1.非负性 2.齐次性 3.三角不等式 ,  , 2 2 2 2 x = x x = x1 + x ++ xn 令 称 x 为n维向量x的 长度 (或 范数 ). 向量的长度具有下述性质： 当x  0时, x  0;当x = 0时, x = 0; x =  x ; x + y  x + y

单位向量及n维向量间的夹角 (1)当x=1时，称x为单位向量. (2)当x≠0，y≠0时，0=arccos [x,y] y 称为n维向量x与y的夹角. 例1求向量=(1,0,1)'与B=(0,0,1)'的夹角. 解· c0s0= a·B _1√2 -al-V212 π .0= 4

单位向量及n维向量间的夹角 求向量 ( ) 与 ( ) 的夹角. T T 例 1  = 1,0,1  = 0,0,1 解       cos = 2 2 2 1 1 =  = . 4   = (1)当 x = 1时,称x为 单位向量 . ( )   x y x y x y , 2 当  0,  0时, = arccos 称为n维向量x与y的 夹角

二、正交向量组的概念及求法 1正交的概念 当xy=0时，称向量x与y正交 由定义知若x=0,则x与任何向量都正交 正交向量组的概念 2 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组

２ 正交向量组的概念 １ 正交的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组． 二、正交向量组的概念及求法

3正交向量组的性质 定理1若n维向量1,2，.，x,是一组两两正交的 非零向量，则ac1,a心2，.，a,线性无关. 证明 设有入1,2，.，几，使 入01+入0C2+.+九0.=0 以aT左乘上式两端得21c1a1=0 由a&1≠0→a1a1=12≠0，从而有21=0. 同理可得人2=.=九，=0.故41,2，.，C,线性无关

0 0, 2 1   1 1 = 1  T 由 0 . 从而有1 = 0. 同理可得2 = = r = , , , . 故1  2   r线性无关 证明 设有 1 ,2 ,  ,r 使 1 1 +2 2 ++ r = 0 以a1 T左乘上式两端,得 11 1 = 0 T ３ 正交向量组的性质 非零向量,则 , , , 线性无关. 定 理 若 维向量 , , , 是一组两两正交的 r n r         1 2 1 2 1

例2已知三维向量空间中两个向量 正交，试求a,使a,a2,0构成三维空间的一个正 交向量组 解设a3=(1,2,x3≠0，且分别与a1,a2正交. 则有[a1,c3】=[a2,a3l=0

例2 已知三维向量空间中两个向量          − =           = 1 2 1 1 1 2 1 2 , 正交，试求 使 构成三维空间的一个正 交向量组.  3 1  2  3 , , ( , , ) 0, , . 设 3 = 1 2 3  且分别与1  2正交 T 解 x x x 则有 [1 , 3 ] = [ 2 , 3 ] = 0