《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵及其运算 2.3 逆矩阵

矩阵及其运算 第三节 逆矩阵 一、概念的引入 二、逆矩阵的概念和性质 三、逆矩阵的求法 四、小结思考题 帮助 返回

一、概念的引入 在数的运算中，当数≠0时，有 aa =aa=1, 其中。-1为a的倒数（或称a的逆） 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中 中的1，那么，对于矩阵A,如果存在一个矩阵4， 使得 AA=AA-E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵 上页 返回

1, 1 1 = = − − aa a a , 1 1 AA = A A = E − − 则矩阵 称为 A 的可逆矩阵或逆阵. −1 A 一、概念的引入 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1 = 其中 − 为 a 的倒数（或称 a 的逆） 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中 中的1，那么，对于矩 阵 A ， −1 如果存在一个矩阵 A , 使得

二、逆矩阵的概念和性质 定义 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B ,使得 AB=BA=E. 则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵 A的逆矩阵记作A1. 例4}}-(3 AB=BA=E,.B是A的一个逆矩阵

二、逆矩阵的概念和性质 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵. n A B AB = BA = E, B A n A ,使得 . −1 A的逆矩阵记作A 例 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1       −  =      − A = B  AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵

注 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的， 设B和C是A的可逆矩阵，则有 AB=BA=E, AC=CA=E. 可得B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C. 所以A的逆矩阵是唯一的，即 B=C=A. 上 区回

注 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的. 设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有 AB = BA = E, AC = CA = E, 可得 B = EB = (CA)B = C(AB) = CE = C. 所以 A 的逆矩阵是唯一的,即 . −1 B = C = A

注并不是所有n阶方阵都可逆 例二阶方阵4-（ 不可逆 丙则，若A可通，则存布知许8-公）· 使得AB=E 即 目8-84d68 则有a+c=1且a+c-0,矛盾，故矩阵A不可逆 问：在什么条件下矩阵A是可逆的？若可逆，怎 样求A1?下面的定理给出我们答案

注 并不是所有n阶方阵都可逆 例 二阶方阵 不可逆. 1 1 1 1 A   =     1 1 1 0 1 1 0 1 a b a c b d c d a c b d        + +        = =        + + a b B c d   =     否则，若 A 可逆，则存在矩阵 ，使得 AB E = A A 1 A − 即 则有a+c=1且a+c=0，矛盾，故矩阵 不可逆. 问： 在什么条件下矩阵 是可逆的？若可逆，怎 样求 ？下面的定理给出我们答案

定理1矩阵A可逆的充要条件是A≠0，且 A- 其中A为矩阵A的伴随矩阵 证明若A可逆，即有A使AA=E. 故AA=|E=1,所以A≠0. 当A≠0时， 回

定理1 矩阵 可逆的充要条件是 ，且 , −1 1  = A A A A A  0 证明 若 A 可逆， A AA = E. 即有 −1使 −1 1, 1  = = − 故 A A E 所以A  0. 其中A 为矩阵A的伴随矩阵.  当A  0时

当A≠0时， 主王二二二二二干十二二二二 a1A,+a242+.+0mAn=4 上页

当A  0时,                             =  n n nn n n n n nn n n A A A A A A A A A a a a a a a a a a AA               1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 a11A11 + a12A12 ++ a1nA1n = A an1An1 + an2An2 ++ annAnn = A ,               = A A A A O O 

A4=AA=AE→A= A-E, 按逆矩阵的定义得 A-4 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 当A=0时，A称为奇异矩阵当A≠0时，A称为 非奇异矩阵 由此可得4是可逆阵的充要条件是为非奇异矩阵 上页 回

AA = A A = AE   A E, A A A A  A = =   . 1 A A A  − = 按逆矩阵的定义得 证毕 . 0 , , 0 , 非奇异矩阵 当A = 时 A称为奇异矩阵当A  时 A称 为 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵

推论 若AB=E(或BA=E),则B=AI 证明 AB=E=1,故A≠0， 因而A存在，于是 B=EB=（AAB=A(AB)=E=A 证毕 逆矩阵的运算性质 ()若A可逆，则A亦可逆，且(4'=A. 上页

A  B = E = 1, 故 A  0, , 因而A −1存在 于是 B = EB (A A)B −1 = ( ) 1 1 1 A AB A E A − − − = = = 证毕 ( ), . −1 推论 若AB = E 或BA = E 则B = A 证明 (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − 逆矩阵的运算性质

(2)若A可逆，数2≠0，则24可逆，且 '-八 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且 (4)中广A1 证明 (AB)B-A-)=ABB-)4- =AEA=AA=E, (AB)=B-14-1 上页 这回

( ) 2 若A可逆,数  0,则A可逆,且 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 ( )( ) ( ) −1 −1 −1 −1 AB B A = A BB A −1 = AEA , 1 = AA = E − ( ) . −1 −1 −1  AB = B A 证明 ( ) = −1 ABB −1 −1 A ( ) . −1 1 −1 A = A  