《线性代数》课程授课教案（讲义）第五章 相似矩阵及二次型

向量的内积、长度及正交性 定义：设有n维向量x 令[x习=+x乃+.+x八，[xy称 为向量x与y的内积。 结论：两个实向量的内积为一个实数，若x与y都是列向量，则[x,小=xy 内积的性质：（其中x,y,:为n维向量，入为实数） (1)[x=[y, (2)[2x,y川=[x, (3)[x+y]=[x,+[以，] (4)当x=0时，[x,=0,当x≠0时，[x,]>0 根据上述性质可以得到如下的施瓦茨不等式：[x,小≤[飞，[y川 例：给定三维空间中的两个点（向量），我们可以计算两个向量的内积，两个向 量的夹角，据此，我们将夹角的概念推广到维空间。 定义：令=x,d=√2+x2+.x2,x称为n维向量x的长度（或范数）。 定义：当=1时，称x为单位向量。 向量长度的性质： (1)非负性当x≠0时，>0，当x=0时，=0 (2)齐次性2x= (3)三角不等式x+≤+川 夹角：当x≠0，y≠0时，我们定义0=ac0s】050S元.为n维向量x与y的 夹角。 例：若a=(1223),B=(315),.求∠(a,B)

向量的内积、长度及正交性 定义：设有n 维向量 1 1 2 2 , n n x y x y x y x y æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø M M ，令[ ] 1 1 2 2 , n n x y = x y + x y + + L x y ，[ x y, ]称 为向量 x 与 y 的内积。 结论：两个实向量的内积为一个实数，若 x 与 y 都是列向量，则[ , ] T x y = x y 内积的性质：（其中 x, , y z 为n 维向量，l 为实数） （1）[ x, , y] = [ y x] （2）[l l x, , y] = [ x y] （3）[ x + y,z] = + [ x, , z] [ y z] （4）当 x = 0时，[ x x, 0 ] = ，当 x ¹ 0 时，[ x x, 0 ] > 根据上述性质可以得到如下的施瓦茨不等式：[ ] [ ][ ] 2 x, y £ x, , x y y 例：给定三维空间中的两个点（向量），我们可以计算两个向量的内积，两个向 量的夹角，据此，我们将夹角的概念推广到n 维空间。 定义：令 [ ] 2 2 2 1 2 , n x = x x = x + + x x L ， x 称为 n 维向量 x 的长度（或范数）。 定义：当 x = 1时，称 x 为单位向量。 向量长度的性质： （1）非负性 当 x ¹ 0 时， x > 0 ，当 x = 0时， x = 0 （2）齐次性 l l x x = （3）三角不等式 x + y £ + x y 夹角：当 x y ¹ ¹ 0, 0 时，我们定义 [ , ] arccos ,0 . x y x y q = £ £ q p 为n 维向量 x 与 y 的 夹角。 例：若a b = = (1 2 2 3), (3 1 5 1), . 求Ð(a b, )

例：若a=(-111,B=(-1110,求∠(a,B) 结论：当[x,=0时，称向量x与y正交。显然，若x=0,则x与任何向量都正 交。 定理：若n维向量a,4,.,a,是一组两两正交的非零向量，则a,4,.,a,线性无 关。 例：已知3维向量空间R中两个向量a 向量a,使a,4,4两两正交。 定义：设n维向量e,e,是向量空间VWcR")的一个基，如果e,e,两 两正交，且都是单位向量，则称g,马，e,是VWC)的一个规范正交基。 坐标：若e,2,.,e,是VWcR")的一个规范正交基，郑么VWcR")中任一向量 a应能由g,6,.,e,线性表示，设表示式为a=,g+2,9+.+2,e,其中的系数 入，2，.，入，为a在基，2，e,下的坐标。为求左边，将等式 a=e+入g+.+入，e,两端同时乘以e。 施密特正交化：设a,a,.,a,是向量空间V(WcR)的一个基，要求VWcR") 的一个规范正交基，就是找到一组等价的向量？，.，在新的这组向量中， 每个都是单位向量，且任何两个向量都是正交的， 我们首先将向量a,a2,.,a,规范化： B.=a A=食4 +.4. A6报a分品 则容易验证B,B2,.,B,两两正交，且与a,a2,.,a,等价

例：若 ( 111 1) , ( 1 1 1 0) T T a b = - = - ，求Ð(a b, ) 结论：当[ x y, 0 ] = 时，称向量 x 与 y 正交。显然，若 x = 0，则 x 与任何向量都正 交。 定理：若 n 维向量 1 2 , r a a a L 是一组两两正交的非零向量，则 1 2 , , , r a a a L 线性无 关。 例：已知 3 维向量空间 3 R 中两个向量 1 1 1 1 a æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø ， 2 1 2 1 a æ ö = -ç ÷ ç ÷ è ø 正交，试求一个非零 向量 3 a ，使 1 2 3 a , , a a 两两正交。 定义：设 n 维向量 1 2 , , , r e e e L 是向量空间 ( ) n V V R Ì 的一个基，如果 1 2 , , , r e e e L 两 两正交，且都是单位向量，则称 1 2 , , , r e e e L 是 ( ) n V V R Ì 的一个规范正交基。 坐标：若 1 2 , , , r e e e L 是 ( ) n V V R Ì 的一个规范正交基，那么 ( ) n V V R Ì 中任一向量 a 应能由 1 2 , , , r e e e L 线性表示，设表示式为 1 1 2 2 r r a = l e + l l e e + + L ，其中的系数 1 2 , r l l l L 为 a 在 基 1 2 , , , r e e e L 下 的 坐 标 。 为 求 左 边 ， 将 等 式 1 1 2 2 r r a = l e + l l e e + + L 两端同时乘以 T i e 。 施密特正交化：设 1 2 , , , a a a L r 是向量空间 ( ) n V V R Ì 的一个基，要求 ( ) n V V R Ì 的一个规范正交基，就是找到一组等价的向量 1 2 , , , r e e e L ，在新的这组向量中， 每个都是单位向量，且任何两个向量都是正交的。 我们首先将向量 1 2 , , , a a a L r 规范化： b a 1 1 = [ ] [ ] 1 2 2 2 1 1 1 , , b a b a b b b = - LLL [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 1 r 1 2 1 1 1 2 2 1 1 , , , , , , r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b - - - - = - - - - L 则容易验证 1 2 , , , r b b b L 两两正交，且与 1 2 , , , a a a L r 等价

然后将其单位化、令6“同A。6产风8.6“同可8个 ,试用施密特正交化过程把这组向量规范正 交化。 ,求一组非零向量a,a,使a,4,4两两正交 定义：如果n阶矩阵A满足AA=E(即=A),那么称A为正交矩阵，简称 正交阵。 结论：方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列（行）向量都是单位向量，且两 两正交。 结论：n阶正交矩阵A的n个列（行）向量构成向量空间R的一个规范正交基。 正交矩阵的性质： (1)若A为正交阵，则A=A也是正交阵，且4=1或- (2)若A和B都是正交阵，则AB也是正交阵。 定义：若P为正交矩阵，则线性变换y=Px称为正交变换。 结论：正交变换前后向量的范数不变。 例：判断下列矩阵是否为正交矩阵 -11) 1 8 Γ23 迈 迈 -g 海 0 1 1-2 0 26 89 1-9 0 12 -1 1 -3 4-970 1

然后将其单位化，令 1 1 2 2 1 2 1 1 1 , , , r r r e b e e b b b b b = = = L 。 则 1 1 2 2 1 2 1 1 1 , , , r r r e b e e b b b b b = = = L 就是 ( ) n V V R Ì 的一个规范正交基。 例：设 1 2 3 1 1 4 2 , 3 , 1 1 1 0 a a a æ ö æ - ö æ ö = ç ÷ = ç ÷ = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è - ø è ø è ø ，试用施密特正交化过程把这组向量规范正 交化。 例：已知 1 1 1 1 a æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø ，求一组非零向量 2 3 a a, ，使 1 2 3 a , , a a 两两正交。 定义：如果 n 阶矩阵 A满足 T A A E = （即 1 T A A - = ），那么称 A为正交矩阵，简称 正交阵。 结论：方阵 A为正交阵的充分必要条件是 A的列（行）向量都是单位向量，且两 两正交。 结论：n 阶正交矩阵 A 的n 个列（行）向量构成向量空间 n R 的一个规范正交基。 正交矩阵的性质： （1）若 A为正交阵，则 1 T A A - = 也是正交阵，且 A = 1或-1 （2）若 A和 B 都是正交阵，则 AB 也是正交阵。 定义：若 P 为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换。 结论：正交变换前后向量的范数不变。 例：判断下列矩阵是否为正交矩阵 1 1 1 2 3 1 0 1 2 1 1 1 2 æ ö - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ - è ø ， 1 1 1 2 2 6 1 2 0 , 2 6 1 1 1 2 2 6 æ ö - ç ÷ - è ø 1 8 4 9 9 9 8 1 4 9 9 9 4 4 7 9 9 9 æ ö - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - è ø ， 1 1 1 3 2 6 1 2 0 3 6 1 1 1 3 2 6 æ ö - ç ÷ - è ø

方阵的特征值与特征向量 定义：设A是n阶矩阵，如果数元和n维非零列向量x使关系式Ax=元x成立，那 么，这样的数入称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值入的特 征向量。 结论：将上式进行变换，可以得到(4-元E)x=0,而(A-入E)x=0有非零解的充 分必要条件是A-入E=0 结论：上式是以入为未知数的一元n次方程，称为矩阵A的特征方程。其左端 A-元E是入的n次多项式，记作f(),称为矩阵A的特征多项式。 特征值的性质：设n阶矩阵A=(a)的特征值为2，入2，.，入，则： (1)12.=4 (2)1+22+.+元n=a1+a2+.+a 结论：设入=入为矩阵A的一个特征值，则根据方程(4-入，E)x=0可求的非零解 x=P,则x=P为对应于特征值入=入的特征向量，而x=知，也为对应于特征值 入=入的特征向量。 (-211 例：求矩阵A=020的特征值和特征向量。 (-413 (-31 -1 例：求矩阵A=-75-1的特征值和特征向量。 (-66-2 (-110 例：求矩阵A=-430的特征值和特征向量。 102 特征值的性质： (1)若入是方阵A的特征值，则22是方阵？的特征值 (2)若入是方阵A的特征值，则二是方阵A的特征值

方阵的特征值与特征向量 定义：设 A是n 阶矩阵，如果数l 和n 维非零列向量 x 使关系式 Ax x = l 成立，那 么，这样的数l 称为矩阵 A的特征值，非零向量 x 称为 A的对应于特征值l 的特 征向量。 结论：将上式进行变换，可以得到 (A - = lE x) 0，而(A - = lE x) 0有非零解的充 分必要条件是 A E - = l 0 结论：上式是以 l 为未知数的一元 n 次方程，称为矩阵 A 的特征方程。其左端 A E - l 是l 的n 次多项式，记作 f ( ) l ，称为矩阵 A的特征多项式。 特征值的性质：设n 阶矩阵 ( ) A a = ij 的特征值为 1 2 , , , l l l L n ，则： （1）l1 2 l l L n = A （2） 1 2 n 11 22 nn l + l l +L L + = a + a a + + 结论：设 i l l = 为矩阵 A的一个特征值，则根据方程( ) 0 A - = liE x 可求的非零解 i x p = ，则 i x p = 为对应于特征值 i l l = 的特征向量，而 i x = kp 也为对应于特征值 l l = i 的特征向量。 例：求矩阵 211 0 2 0 4 1 3 A æ ö - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø - 的特征值和特征向量。 例：求矩阵 3 1 1 7 5 1 6 6 2 A æ ö - - ç ÷ = - - ç ÷ ç ÷ è ø - - 的特征值和特征向量。 例：求矩阵 1 1 0 430 1 0 2 A æ ö - ç ÷ = -ç ÷ ç ÷ è ø 的特征值和特征向量。 特征值的性质： （1）若l 是方阵 A 的特征值，则 2 l 是方阵 2 A 的特征值 （2）若l 是方阵 A的特征值，则 1 l 是方阵 1 A - 的特征值

(3)若入是方阵A的特征值，则入是方阵A心的特征值 (4)若元是方阵A的特征值，则(2)是方阵p(A)的特征值 其中：0(2)=a。+a,入+.+an入"，0(4)=aE+a,A+.+amAm (5)方阵A的主对角线上的元素之和称为方阵A的迹.记为 r(4)-∑a=∑. (6)互异特征值对应的特征向量线性无关。 例：设三阶矩阵A的特征值为1,2,0，求2E+34 例：设入，和2，是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为乃和户， 证明+P2不是A的特征向量

（3）若l 是方阵 A 的特征值，则 k l 是方阵 k A 的特征值 （4）若l 是方阵 A的特征值，则j l( ) 是方阵j( ) A 的特征值 其中： 0 1 ( ) m m j l = a + a a l l + + L ， 0 1 ( ) m A m j = a E + a A + + L a A （ 5 ） 方 阵 Ａ 的 主 对 角 线 上 的 元 素 之 和 称 为 方 阵 Ａ 的 迹 . 记 为 ( ) . ii i tr A a = = å ål （6）互异特征值对应的特征向量线性无关。 例：设三阶矩阵 A的特征值为1, 2,0，求 2 2 3 E A + 。 例：设l1和l2 是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为 1 p 和 2 p ， 证明 1 2 p p + 不是 A 的特征向量

相似矩阵 定义：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P,使pAp=B,则称B是A的相似 矩阵。 结论：对A进行运算pp称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B 的相似变换矩阵。 定理：若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征 值亦相同。 推论：若n阶矩阵A与对角阵A=iag(入，入2，入）= 相似，则 入，2，入即是A的n个特征值。 我们现在的问题是：对n阶矩阵A,如何寻求相似变换矩阵p,使pp=A为 对角阵，这就称为把矩阵A对角化。 方法：将矩阵p按列分块，将pp=A写作p=pA, A(p,P.Pn)=(p,P2,.P) =(1乃，2P2,.,卫n)可以看 到，对角矩阵的对角线元素恰为A的特征值，矩阵的每个列向量为对应于特征 值的特征向量，现在的问题是p是否可逆。 定理：n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线 性无关的特征向量。 推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似。 应用：若有可逆矩阵p,使PAP=A,则

相似矩阵 定义：设 A B, 都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵 p ,使 1 p Ap B - = ，则称 B 是 A的相似 矩阵。 结论：对 A进行运算 1 p Ap - 称为对 A进行相似变换，可逆矩阵 p 称为把 A变成 B 的相似变换矩阵。 定理：若 n 阶矩阵 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征多项式相同，从而 A与 B 的特征 值亦相同。 推论：若 n 阶矩阵 A与对角阵 1 2 1 2 ( , , , ) n n diag l l l l l l æ ö ç ÷ L ç ÷ = = ç ÷ ç ÷ è ø L O 相似，则 1 2 , , , l l l L n 即是 A 的n 个特征值。 我们现在的问题是：对 n 阶矩阵 A，如何寻求相似变换矩阵 p ，使 1 p Ap - = L 为 对角阵，这就称为把矩阵 A 对角化。 方法：将矩阵 p 按列分块，将 1 p Ap - = L 写作 Ap p = L ， ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , , , , , , n n n A p p p p p p l l l æ ö ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø L L O ( ) 1 1 2 2 , , , n n = l p l l p p L 可 以看 到，对角矩阵的对角线元素恰为 A的特征值，矩阵 p 的每个列向量为对应于特征 值的特征向量，现在的问题是 p 是否可逆。 定理：n 阶矩阵 A与对角阵相似（即 A能对角化）的充分必要条件是 A有n 个线 性无关的特征向量。 推论：如果n 阶矩阵 A的n 个特征值互不相等，则 A与对角阵相似。 应用：若有可逆矩阵 p ，使 1 P AP - = L ，则

,p(A)= p(2) p() 001 例：设A=11x ,问x为何值时，矩阵A能对角化？ 10 0 对称矩阵的对角化 定理：对称矩阵的特征值为实数 定理：设入，入，是对称阵A的两个特征值，乃，P,是对应的特征向量，若入≠入2， 则B与P,正交。 定理：设A为n阶对称阵，则必有正交阵p,使p4p=p'p=A,其中A是以 A的n个特征值为对角元的对角阵。 推论：设A为n阶对称阵，元是A的特征方程的k重根，则矩阵A-元E的秩 (A-元E)=n-k,从而对应特征值入恰有k个线性无关的特征向量。 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为： (1)求的特征值； (2)由(A-2E)x=0,求出4的特征向量 (3)将特征向量正交化： (4)将特征向量单位化， -211 例：求正交阵，使得PAP=A。 4= -12 ，求A

1 1 2 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) k k k k n n l j l l j l j l j l æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ L = L = è ø è ø O O 例：设 0 0 1 1 1 1 0 0 A x æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ，问 x 为何值时，矩阵 A能对角化？ 对称矩阵的对角化 定理：对称矩阵的特征值为实数 定理：设 1 2 l l, 是对称阵 A的两个特征值， 1 2 p p, 是对应的特征向量，若l l 1 2 ¹ ， 则 1 p 与 2 p 正交。 定理：设 A为 n 阶对称阵，则必有正交阵 p ，使 1 T p Ap p Ap - = = L，其中L是以 A 的n 个特征值为对角元的对角阵。 推论：设 A 为 n 阶对称阵， l 是 A 的特征方程的 k 重根，则矩阵 A E - l 的秩 R( ) A - lE = - n k ，从而对应特征值l 恰有 k 个线性无关的特征向量。 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为： （1）求 的A 特征值; （2） ( ) 0, ; 由 A - = liE x A 求出 的特征向量 （3）将特征向量正交化; （4）将特征向量单位化. 例：求正交阵，使得 1 P AP - = L 。 211 0 2 0 4 1 3 A æ ö - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø - 400 0 3 1 0 1 3 B æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø 例：设 2 1 1 2 A æ ö - = ç ÷ ç ÷ è ø - ，求 n A

二次型及其标准形 问题的提出：在很多现实生活中，为了研究二次曲线am2+by+gy2=1,我们通 常通过一定的变换将其变换为2+四2=1来研究，本节我们将考虑未知数的 个数为n的情况。 定义：含有n个变量x,x,x,的二次齐次函数 f(g,2,.,x）=ax+a+.+amx +2a2x+2axx+.+2an-nxn-x。 称为二次型。 取a,=0,则2a,=a,+a,于是，上式可以写作 fx2,.,x）=a+a2x+.+anxn +a1x为3+a2+.+a2nx3x。 +.+axn+an2x3+.+anx 2 对于二次型，我们讨论的问题是：寻求可逆的线性变换 x=G乃+G22+.+Gnyn, =y+Cy+.+Gy ** x,=cy+ca+.+cm 使二次型只含平方项，即变为0为，少)=+k片+.+龙（这种只含 平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）) 结论：若标准型的系数k,k,.,k。只在1，-1,0三个数中取值，即 乃，.，)=++后-.-（则上式称为二次型的规范型）。 结论：若a为复数，∫称为复二次型：若a,为实数，∫称为实二次型

二次型及其标准形 问题的提出：在很多现实生活中，为了研究二次曲线 2 2 ax + bxy + = cy 1，我们通 常通过一定的变换将其变换为 2 2 mx¢ ¢ + = ny 1来研究，本节我们将考虑未知数的 个数为n 的情况。 定义：含有n 个变量 1 2 , , , n x x x L 的二次齐次函数 2 2 2 1 2 11 1 22 2 ( , , , ) n nn n f x x L L x = a x + a x + + a x 12 1 2 13 1 3 1, 1 2 2 2 n n n n a x x a x x a x x + + + + L - - 称为二次型。 取 ij ji a a = ，则2 ij i j ij i j ji j i a x x = + a x x a x x ，于是，上式可以写作 2 1 2 11 1 12 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x L L x = a x + a x x + + a x x 2 21 1 2 22 2 2 2 n n +a x x + a x + + L a x x 2 n1 n 1 n2 2 n nn n +L L + a x x + a x x + + a x , 1 n ij i j i j a x x = = å 对于二次型，我们讨论的问题是：寻求可逆的线性变换 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y ì = + + + ï ï = + + + í ï ï î = + + + L L LLLLLLLLLL L 使二次型只含平方项，即变为 2 2 2 1 2 1 1 2 ( , , , ) n n n f y y L L y = k y + k y + + k y （这种只含 平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）） 结 论 ： 若 标 准 型 的 系 数 1 2 , , , n k k k L 只 在 1,-1,0 三 个 数 中 取 值 ， 即 2 2 2 2 1 2 1 1 ( , , , ) n p p r f y y y y y y y L = +L L + - - + （则上式称为二次型的规范型）。 结论：若 ij a 为复数， f 称为复二次型；若 ij a 为实数， f 称为实二次型

a1a1. 4h1 fx,2,.,x)=(x2.xn) aa1.a, ,X= (a1a2.am 则二次型可记作∫=XAX,其中A为对称阵。 结论：任给一个二次型，就唯一的确定了一个对称阵：反之，任给一个对称阵， 也可唯一地确定了一个二次型。因此，我们把对称阵A叫做二次型∫的矩阵，也 把∫叫做对称阵A的二次型。对称阵A的秩就叫做二次型∫的秩。 定义：设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C,使B=CAC,则称矩阵A与B合 同。 结论：对称矩阵的合同矩阵也是对称阵。 定理：任给二次型∫=立a,x(a,=a),总有正交变换x=,使∫化为标准 形f=入+2片+.+入，其中，入2，.，入n是f的矩阵A=(a,)的特征值。 y (yy2.y) k.八y. 推论：任给n元二次型fx)=x'A(4=),总有可逆变换x=C:,使fC)为 规范型。 例：将二次型∫=17x+14x+14x-4x为2-4xx-8x3化为标准形。 例：将二次型∫=2xx,+2xX,-2xx,-2xX,+2xX,+2xx,化为标准形

1 2 ( , , , ) n f x x x L ( ) 11 11 11 1 21 22 2 2 1 2 1 2 n n n n nn n a a a x a a a x x x x a a a x æ öæ ö ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ = ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø L L L M M M M L 记 11 11 11 21 22 2 1 2 n n n nn a a a a a a A a a a æ ö ç ÷ = è ø L L M M M L ， 1 2 n x x X x æ ö ç ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø M 则二次型可记作 T f = X AX ，其中 A为对称阵。 结论：任给一个二次型，就唯一的确定了一个对称阵；反之，任给一个对称阵， 也可唯一地确定了一个二次型。因此，我们把对称阵 A叫做二次型 f 的矩阵，也 把 f 叫做对称阵 A的二次型。对称阵 A的秩就叫做二次型 f 的秩。 定义：设 A和 B 是n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ，使 T B = C AC ，则称矩阵 A与 B 合 同。 结论：对称矩阵的合同矩阵也是对称阵。 定理：任给二次型 , 1 ( ) n ij i j ij ji i j f a x x a a = = = å ，总有正交变换 x = Py ，使 f 化为标准 形 2 2 2 1 1 2 2 , n n f = l y + l l y y + + L 其中 1 2 , , , l l l L n 是 f 的矩阵 ( ) A a = ij 的特征值。 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) , n n n y k k y y y y k y æ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è øç ÷ è ø L O M 推论：任给 n 元二次型 ( ) ( ) T T f x = = x Ax A A ，总有可逆变换 x = Cz ，使 f ( ) Cz 为 规范型。 例：将二次型 222 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f = 17x x + + 14 14x - 4x x - - 4 8 x x x x 化为标准形。 例：将二次型 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 f = 2x x + 2x x - 2x x - 2x x + + 2 2 x x x x 化为标准形

用配方法化二次型成标准型 用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点。如果不限于 正交变换，那么还可以有多个可逆的线性变换把二次型化成标准形.其中最常用 的方法是拉格朗日配方法. 例：用配方法化二次型 fx,2,x)=2x2+2x(2+x3)+(32+x3)2-(x2+x)2+2x+8x2x+5x 化为标准形，并求所用的变换矩阵。 解：先将含有x的项配方 f(6,2)=2x+2x(2+x)+(32+x3)尸-(x2+x)2+2x+8x2x+5x =(+x3+x)2+x+6x+4x 再将后三项中含有x的项配方： f,x2,x)=(+x3+x)+x+6x+9x-5x =G++3户+3+3x户-5买 出=x+x+x )x)11 令：h=为+3xy=hx=2,B=013 = 则y=Bx经过可逆变换x=By,可将二次型化为标准形 f=+片-5 例：用配方法化二次型fx,x2,x)=2xx,+2xx3-6xx化为规范形，并求所用 的变换矩阵. x=片+2 解：首先做变换x2=片·为，然后在采用配方法进行化简。 1x=为 正定二次型 定理2任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形 问题的引入：二次型的标准形不是惟一的，但标准形中所含项数是确定的（即是

用配方法化二次型成标准型 用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点．如果不限于 正交变换，那么还可以有多个可逆的线性变换把二次型化成标准形．其中最常用 的方法是拉格朗日配方法． 例：用配方法化二次型 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 f (x , x , x ) = 2x + 2x (x + x ) + (x + x ) - (x + x ) + 2x + + 8 5 x x x 化为标准形，并求所用的变换矩阵． 解：先将含有 1 x 的项配方 2 2 2 2 2 1 2 3 1 1 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 f (x , x , x ) = 2x + 2x (x + x ) + (x + x ) - (x + x ) + 2x + + 8 5 x x x 2 2 2 1 2 3 2 2 3 3 = (x + x + x ) + x + + 6 4 x x x 再将后三项中含有 2 x 的项配方： 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 2 3 3 3 f (x , x , x ) = (x + x + x ) + x + 6x x + - 9 5 x x 2 2 2 1 2 3 2 3 3 = (x + x + x ) + (x + - 3x x ) 5 令： 1 1 2 3 2 2 3 3 3 3 y x x x y x x y x ì = + + ï í = + ï î = 1 1 2 2 3 3 1 1 1 , , 0 1 3 0 0 1 y x y y x x B y x æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ = = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø 则 y x = B 经过可逆变换 1 B - x y = ，可将二次型化为标准形 2 2 2 1 2 3 f = y + - y y 5 例：用配方法化二次型 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f (x , x , x ) = 2x x + - 2 6 x x x x 化为规范形，并求所用 的变换矩阵． 解：首先做变换 1 1 2 2 1 2 3 3 x y y x y y x y ìï = + ï ïï í = - ï ï ï = ïî ，然后在采用配方法进行化简。 正定二次型 定理 2 任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形 问题的引入：二次型的标准形不是惟一的，但标准形中所含项数是确定的（即是