《泛函分析》课程教学大纲

第一章距离空间和拓扑空间 学习目的 通过本章的学习，明确泛函分析是以无穷维空间中的点集为基础，以算子为 研究对象，理解度量空间中点的概念，掌握点列按距离收敛的定义及性质，掌握 距离空间中连续映射的定义和两个不同距离空间等同为同一空间的内涵。本章计 划20学时。 课程内容 §1.1距离空间的基本概念 1深刻理解度量空间中的点的概念、掌握点列按距离收敛的定义及性质： 2掌握距离空间中连续映射的定义： 3掌握两个不同的距离空间等同为同一距离空间的内涵。 §1.2距离空间中的点集 1掌握距离空间中开集、闭集、稠密和可分的概念及性质： 2掌握常见的可分的距离空间。 §1.3完备的距离空间 1掌握完备的距离空间的定义和常见的完备的距离空间： 2草掌握闭球凳定理和利用闭球套定理证明Baire纲定理， 3掌握距离空间完备化的基本思想，理解其证明过程。 §1.4压缩映射原理 1掌握压缩映射原理及利用其证明的不动点定理： 2能够利用不动点定理证明微分方程解的存在唯一性。 §1.5拓扑空间的基本概念 了解拓扑空间中开集、闭集拓扑基等基本概念和性质：

1 第一章 距离空间和拓扑空间 学习目的 通过本章的学习，明确泛函分析是以无穷维空间中的点集为基础，以算子为 研究对象，理解度量空间中点的概念，掌握点列按距离收敛的定义及性质，掌握 距离空间中连续映射的定义和两个不同距离空间等同为同一空间的内涵。本章计 划 20 学时。 课程内容 §1．1 距离空间的基本概念 1 深刻理解度量空间中的点的概念、掌握点列按距离收敛的定义及性质； 2 掌握距离空间中连续映射的定义； 3 掌握两个不同的距离空间等同为同一距离空间的内涵。 §1．2 距离空间中的点集 １掌握距离空间中开集、闭集、稠密和可分的概念及性质； 2 掌握常见的可分的距离空间。 §1．3 完备的距离空间 １掌握完备的距离空间的定义和常见的完备的距离空间； 2 掌握闭球套定理和利用闭球套定理证明 Baire 纲定理； 3 掌握距离空间完备化的基本思想，理解其证明过程。 §1.４ 压缩映射原理 １掌握压缩映射原理及利用其证明的不动点定理； 2 能够利用不动点定理证明微分方程解的存在唯一性。 §1.5 拓扑空间的基本概念 了解拓扑空间中开集、闭集拓扑基等基本概念和性质；

§1.6紧性 1掌握拓扑空间中紧性的概念： 2掌握紧空间中连续映射的性质。 §1.7距离空间中的紧性 1紫握距离空间中列紧集和全有界集的定义及它们之间的关系： 2掌握紧性和列紧之间的关系； 3学握利用Arzela定理判别Ca,b]中函数列紧的方法。 重点、难点提示和教学手段 重点、难点 1度量空间中点列按距离收敛的定义和距离空间中连续映射的定义： 2稠密、不稠密的概念和可分的概念： 3距离空间完备化定理的证明： 3压缩映射原理的应用： 4有限维空间和无限维空间列紧的判别法。 教学手段 课堂讲授与习题课相结合。 思考与练习 P41:2,4,5,6,7,8,9,10,12,13,16,18,20

2 §1.6 紧性 1 掌握拓扑空间中紧性的概念； 2 掌握紧空间中连续映射的性质。 §1.7 距离空间中的紧性 １掌握距离空间中列紧集和全有界集的定义及它们之间的关系； 2 掌握紧性和列紧之间的关系； 3 掌握利用 Arzela 定理判别 C[a, b]中函数列紧的方法。 重点、难点提示和教学手段 重点、难点 1 度量空间中点列按距离收敛的定义和距离空间中连续映射的定义； 2 稠密、不稠密的概念和可分的概念； 3 距离空间完备化定理的证明； 3 压缩映射原理的应用； 4 有限维空间和无限维空间列紧的判别法。 教学手段 课堂讲授与习题课相结合。 思考与练习 P41: 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18, 20

第二章赋范线性空间 学习目的 通过本章的学习，掌握范数的定义并理解由范数可引人距离：掌握两个常用 的不等式：Holder不等式和Minkoski不等式：掌握一些特殊的空间的结构和 性质及有限维空间的性质，为学习线性算子打下基础。本章计划12课时。 课程内容 §2.1赋范空间的基本概念 1掌握范数的定义并理解由范数可引人距离： 2掌握赋范空间的定义和性质，并掌握常见的赋范空间。 §2.2空间L 1掌握Holder不等式和Minkoski不等式： 2空间L”(p≥l)是Banach空间和可分的： 3学握空间1°(P≥1)和L°(P=∞)的基本性质。 §2.3赋范空间的进一步性质 1掌握常见的赋范子空间：赋范空间是距离空间，可以完备化： 2掌握等价范数和基的概念。 §2.4有穷维赋范空间 1学握n维赋范空间的性质：与R代数同构拓扑同胚：有穷维空间当且仅当 空间中的任意有界集是列紧集。 重点、难点提示和教学手段 (-)重点、难点 1学握常见的赋范空间： 2掌握常见的Banach空间 3等价范数：

3 第二章 赋范线性空间 学习目的 通过本章的学习，掌握范数的定义并理解由范数可引人距离; 掌握两个常用 的不等式：Holder 不等式和 Minkoski 不等式; 掌握一些特殊的空间的结构和 性质及有限维空间的性质，为学习线性算子打下基础。本章计划 12 课时。 课程内容 §2.1 赋范空间的基本概念 1 掌握范数的定义并理解由范数可引人距离; 2 掌握赋范空间的定义和性质，并掌握常见的赋范空间。 §2.2 空间 L p 1 掌握 Holder 不等式和 Minkoski 不等式； 2 空间 L p（p≥1）是 Banach 空间和可分的； 3 掌握空间 l p (P≥1)和 L p（P=∞）的基本性质。 §2.3 赋范空间的进一步性质 1 掌握常见的赋范子空间；赋范空间是距离空间，可以完备化； 2 掌握等价范数和基的概念。 §2.4 有穷维赋范空间 1 掌握 n 维赋范空间的性质：与 R n代数同构拓扑同胚；有穷维空间当且仅当 空间中的任意有界集是列紧集。 重点、难点提示和教学手段 （-）重点、难点 1 掌握常见的赋范空间； 2 掌握常见的 Banach 空间； 3 等价范数；

4任意n维空间必与R代数同构拓扑同胚。 (二)教学手段 课堂讲授与习题课相结合。 思考与练习 P681,3,5,6,7,8,9,11,12,14,15. 第三章有界线性算子 学习目的 通过本章的学习，掌握线性算子和线性泛函的概念、算子范数的计算：掌握 线性算子空间所具有的重要性质：一致有界定理、开映射定理和闭图象定理，为 将来研究算子半群和算子微分方程等相关科学打下基础。本章计划学24时。 课程内容 §3.1有界线性算子与有界线性泛函 1.掌握线性有界算子和线性连续泛函的概念： 2.掌握线性有界算子的等价定义和范数的计算技巧： 3.掌握常见的线性算子空间。 §3.2 Banach-Steinhaus定理及其某些应用 1掌握一致有界定理及其应用。 §3.3开映射定理与闭图像定理 1掌握逆算子的定义和存在条件： 2掌握线性算子谱的概念及无穷维空间和有限维空间线性算子的本质区别： 3掌握开映射定理和闭图象定理

4 4 任意 n 维空间必与 R 2代数同构拓扑同胚。 （二）教学手段 课堂讲授与习题课相结合。 思考与练习 P68 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15. 第三章 有界线性算子 学习目的 通过本章的学习，掌握线性算子和线性泛函的概念、算子范数的计算；掌握 线性算子空间所具有的重要性质：一致有界定理、开映射定理和闭图象定理, 为 将来研究算子半群和算子微分方程等相关科学打下基础。本章计划学 24 时。 课程内容 §3.1 有界线性算子与有界线性泛函 1. 掌握线性有界算子和线性连续泛函的概念； 2. 掌握线性有界算子的等价定义和范数的计算技巧； 3. 掌握常见的线性算子空间。 §3.2 Banach-Steinhaus 定理及其某些应用 1 掌握一致有界定理及其应用。 §3.3 开映射定理与闭图像定理 1 掌握逆算子的定义和存在条件； 2 掌握线性算子谱的概念及无穷维空间和有限维空间线性算子的本质区别； 3 掌握开映射定理和闭图象定理

§3.4Hahn-Banach定理及其推论 I学握实空间和复空间上Hahn-Banach定理及其推论， 2理解有界线性算子的共轭算子的定义及性质。 §3.5某些赋范空间上有界线性泛函的一般形式 1了解几个常见空间上有界线形泛函的一般形式， §3.6自反性、弱收敛 1学握自反空间的定义和常见的自反空间： 2掌握弱收敛的定义、强收敛的定义和具体空间中弱收敛的判断。 §3.7紧算子 1掌握紧算子的概念和几个性质。 重点、难点提示和教学手段 (-)重点、难点 1线性有界算子和线性连续泛函的概念：线性有界算子的等价定义和范数 的计算技巧：常见的线性算子空间： 2一致有界定理、开映射定理和闭图象定理的证明及运用（难点）： 3 Hahn-Banach定理及其推论理解和证明过程： 4自反空间的定义的理解及具体空间是否自反的判断： 5紧算子的概念和性质。 (二)教学手段 课堂讲授、讨论与习题课相结合 思考与练习 P1223,7,8,11,12,13,15,16

5 §3.4 Hahn-Banach 定理及其推论 1 掌握实空间和复空间上 Hahn-Banach 定理及其推论; 2 理解有界线性算子的共轭算子的定义及性质。 §3.5 某些赋范空间上有界线性泛函的一般形式 1 了解几个常见空间上有界线形泛函的一般形式。 §3.6 自反性、弱收敛 1 掌握自反空间的定义和常见的自反空间； 2 掌握弱收敛的定义、强收敛的定义和具体空间中弱收敛的判断。 §3.7 紧算子 1 掌握紧算子的概念和几个性质。 重点、难点提示和教学手段 （-）重点、难点 1 线性有界算子和线性连续泛函的概念；线性有界算子的等价定义和范数 的计算技巧；常见的线性算子空间； 2 一致有界定理、开映射定理和闭图象定理的证明及运用（难点）； 3 Hahn-Banach 定理及其推论理解和证明过程； 4 自反空间的定义的理解及具体空间是否自反的判断； 5 紧算子的概念和性质。 （二）教学手段 课堂讲授、讨论与习题课相结合 思考与练习 P122 3, 7, 8, 11, 12, 13, 15, 16

第四章Hilbert空间 学习目的 通过本章的学习，掌握内积和Hilbert空间的概念及基本性质定理：正交分解 定理。本章计划学16学时。 课程内容 §4.1内积空间的基本概念、例 1掌握内积空间、Hilbert的定义及几个常见的Hilbert空间： 2掌握内积空间的几个性质。 §4.2正交性，正交系 1掌握正交性的定义和由此得出的内积空间的性质： 2掌握Hi1bert空间中的正交分解定理及其应用： 3掌握标准正交系的定义、标准正交系完备的概念 及由此得出的性质： 4了解可分的Hi1bert空间的同构。 §4.3 Riesz表示定理，Hilbert空间的共轭空间 1掌握Hilbert空间中的Riesz表示定理： 2理解共轭算子和自共轭算子的概念、性质。 §4.4 Hilbert空间的自共轭紧算子 了解Hilbert-Schmidt定理内容及证明过程。 重点、难点提示和教学手段 (-)重点、难点 1内积空间的概念、i1bert的定义及内积空间的几个性质：

6 第四章 Hilbert 空间 学习目的 通过本章的学习，掌握内积和 Hilbert 空间的概念及基本性质定理：正交分解 定理。本章计划学 16 学时。 课程内容 §4.1 内积空间的基本概念、例 1 掌握内积空间、Hilbert 的定义及几个常见的 Hilbert 空间； 2 掌握内积空间的几个性质。 §4.2 正交性，正交系 1 掌握正交性的定义和由此得出的内积空间的性质； 2 掌握 Hilbert 空间中的正交分解定理及其应用； 3 掌握标准正交系的定义、标准正交系完备的概念 及由此得出的性质； 4 了解可分的 Hilbert 空间的同构。 §4.3 Riesz 表示定理，Hilbert 空间的共轭空间 1 掌握 Hilbert 空间中的 Riesz 表示定理； 2 理解共轭算子和自共轭算子的概念、性质。 §4.4 Hilbert 空间的自共轭紧算子 了解 Hilbert-Schmidt 定理内容及证明过程。 重点、难点提示和教学手段 （-）重点、难点 1 内积空间的概念、Hilbert 的定义及内积空间的几个性质；

2Hi1bert空间中的正交分解定理、标准正交系完备的判别及其应用： 3 Riesz表示定理，对Hilbert空间中的共轭算子和自共轭算子的概念的 理解； 4 Hilbert-Schmidt定理的证明。 (二)教学手段 课堂讲授与讨论相结合 思考与练习 P1511,2,5,6,11,12。 参考文献 1张恭庆《泛函分析讲义》，北京大学出版社，1987： 2刘培德《泛函分析基础》武汉大学出版社2001： 3郑维行《实变函数与泛函分析概要》第三版第二册高等教育出版社20 05: 4夏道行《实变函数与泛函分析》第二版第二册高等教育出版社1983 7

7 2 Hilbert 空间中的正交分解定理、标准正交系完备的判别及其应用； 3 Riesz 表示定理，对 Hilbert 空间中的共轭算子和自共轭算子的概念的 理解； 4 Hilbert-Schmidt 定理的证明。 （二）教学手段 课堂讲授与讨论相结合 思考与练习 P151 1, 2, 5, 6, 11, 12。 参考文献 1 张恭庆 《泛函分析讲义》，北京大学出版社，1987； 2 刘培德 《泛函分析基础》武汉大学出版社 2001； 3 郑维行《实变函数与泛函分析概要》第三版 第二册 高等教育出版社 20 05； 4 夏道行《实变函数与泛函分析》第二版 第二册 高等教育出版社 1983