《离散数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 命题逻辑

第1章 命题逻辑 命题逻辑也称命题演算，或语句逻辑。 研究内容：研究什么是命题？如何表示命题？如何由 一组前提推导一些结论，即如何推理？ 命题逻辑的特征： 在研究逻辑的形式时，我们把一个命题只分析到 其中所含的命题成份为止，不再分析下去。 2025/5/13 计算机与信息工程学院

2025/5/13 计算机与信息工程学院 1 第1章 命题逻辑 命题逻辑的特征： 在研究逻辑的形式时，我们把一个命题只分析到 其中所含的命题成份为止，不再分析下去。 研究内容：研究什么是命题？如何表示命题？如何由 一组前提推导一些结论，即如何推理？ 命题逻辑也称命题演算，或语句逻辑

§1.1命题概念 一、命题的定义 能够表达判定的语言是陈述句，我们称它为命题。可 以说，命题逻辑研究的对象是命题。 例如中国是一个国家我是一名教师 请安静！ 定义具有确切真值的陈述句称为命题，该命题可以取一 个“值”，称为真值。 真值只有“真”和“假”两种，分别用“T”(或 “1”)和“F”(或“0”)表示。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 2

2025/5/13 计算机与信息工程学院 2 定义 具有确切真值的陈述句称为命题,该命题可以取一 个“值”，称为真值。 真值只有“真”和“假”两种，分别用“Ｔ”(或 “１”)和“Ｆ”(或“０”)表示。 §1.1 命题概念 一、命题的定义 能够表达判定的语言是陈述句,我们称它为命题。可 以说,命题逻辑研究的对象是命题。 例如 中国是一个国家 我是一名教师 请安静！

例下列句子哪些是命题，并判断其真假 1)加拿大是一个国家。 (√T) 2)北京是中国的首都。 (√T) 3)这个语句是假的。 (×) 4)成都是中国的首都。 (√F) 5)×=0. (×) 6)3+2≥10。 (√F) 7)明天我要去旅游。 (√？) 8)把门关上。 (×) 9)滚出去！ (×) 10)你要出去吗？ (×) 11)今天天气真好啊！ (×) 2025/5/13 计算机与信息工程学院 3

2025/5/13 计算机与信息工程学院 3 1)加拿大是一个国家。 2)北京是中国的首都。 3)这个语句是假的。 4)成都是中国的首都。 5)ｘ＝０。 6)３＋２≥１０。 7)明天我要去旅游。 8)把门关上。 9)滚出去！ 10)你要出去吗？ 11)今天天气真好啊！ 例 下列句子哪些是命题，并判断其真假 (√T) (√T) (×) (√?) (√F) (×) (×) (×) (×) (×) (√F)

约定： 在数理逻辑中像字母“x”、“y”、“z等 字母总是表示变量。 结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、条 件、实际情况时间才能确定其真值。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 4

2025/5/13 计算机与信息工程学院 4 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、条 件、实际情况时间才能确定其真值。 结论： 在数理逻辑中像字母“x” 、 “y” 、 “z”等 字母总是表示变量。 约定：

例判断下列命题的真假 (1)2是素数； T (2)王红学过英语或法语； (3)中国获得了2008年奥 运会的主办权并且 中国加入了WT0; T (4)如果角A和角B是对顶 角，则角A等于角 T B; (5)成都是四川的省会当 且仅当鸟会飞。 T 2025/5/13 计算机与信息工程学院 5

2025/5/13 计算机与信息工程学院 5 例 判断下列命题的真假 （1）2是素数； （2）王红学过英语或法语； （3）中国获得了2008年奥 运会的主办权并且 中国加入了WTO ； （ 4）如果角 A和角 B是对顶 角，则角 A等于角 B ；（ 5）成都是四川的省会当 且仅当鸟会飞。 T？TTT

二、命题的分类 一般来说，命题可分两种类型： 原子命题（简单命题）：不能再分解为更为简单命题的命题。 复合命题：可分解为简单命题，且这些简单命题之间是通过 如“或者”、“并且”、“不”、“如果.则.”、 “当且仅当”等这样的关联词和标点符号复合而构成一 个复合命题。 >今天天气很冷。 原子命题 >今天天气很冷并且刮风。 复合命题 >今天天气很冷并且刮风，但室内暖和。复合命题 2025/5/13 计算机与信息工程学院 6

2025/5/13 计算机与信息工程学院 6 一般来说，命题可分两种类型： 原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命题的命题。 复合命题：可分解为简单命题，且这些简单命题之间是通过 如“或者”、“并且”、“不”、“如果.则.” 、 “当且仅当”等这样的关联词和标点符号复合而构成一 个复合命题。 二、命题的分类 原子命题 复合命题 复合命题 ➢ 今天天气很冷。 ➢今天天气很冷并且刮风。 ➢今天天气很冷并且刮风，但室内暖和

三、命题的记法 冬通常用大写的带或不带下标的英文字母A、B、 C、.P、Q、R、.A、B:、C、.P、Q R、.等表示命题 >今天天气很冷。P >今天天气很冷并且刮风。Q >今天天气很冷并且刮风，但室内暖和。R 设A:今天天气很冷；B:今天在刮风；C:今天室内暖和 则：P=A;Q=A并且B;R=A并且B,但C 2025/5/13 计算机与信息工程学院

2025/5/13 计算机与信息工程学院 7 三、命题的记法 ❖ 通常用大写的带或不带下标的英文字母Ａ、Ｂ、 Ｃ、.P、Q、R、. Ai、Bi 、Ci、.Pi、Qi、 Ri、.等表示命题 ➢ 今天天气很冷。 ➢今天天气很冷并且刮风。 ➢今天天气很冷并且刮风，但室内暖和。 P Q R 设A：今天天气很冷；B：今天在刮风；C：今天室内暖和 则：P=A；Q=A并且B；R＝A并且B，但C

§1.2复合命题与联结词 设P,Q表示任意两个命题，则最常见的命题联结词有五个。 联接词 记号 复合命题 读法 记法 真值结果 1.否定7 非P P的否定 P 7P=1台P=0 2.合取∧ P并且Q P与Q的合取P∧QPΛQ=1台P=1且Q=1 3.析取VP或者Q P与Q的析取PVQ PVQ=1P=1或Q=1 4.蕴涵→若P,则QP蕴涵Q P→QP→Q=0台P=1,Q=0 PQ=19P=1,Q=1 5.等价2P当且仅当QP等价于QP2 Q或P=0,Q0 2025/5/43 计算机与信息工程学院 8

2025/5/13 计算机与信息工程学院 8 §1.2 复合命题与联结词 设P，Q表示任意两个命题,则最常见的命题联结词有五个。 联接词 记号 复合命题 读法 记法 真值结果 3.析取  P或者Q P与Q的析取 PQ P∨Q＝1P＝1或Q＝1 2.合取 ∧ P并且Q P与Q的合取 P∧Q P∧Q=1P=1且Q＝1 1.否定 ┐ 非P P的否定 ┐P ┐P＝1  P＝0 4.蕴涵 → 若P,则Q P蕴涵Q P→Q P→Q=0  P=1,Q=0 5.等价 P当且仅当Q P等价于Q P Q P Q=1P=1,Q=1 或P=0,Q=0

说明 复合命题的真值只取决于构成它们的各原子命 题的真值，而与它们的内容含义无关。对联结 词所联结的两原子命题有无关系无关。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 9

2025/5/13 计算机与信息工程学院 9 说明 复合命题的真值只取决于构成它们的各原子命 题的真值，而与它们的内容含义无关。对联结 词所联结的两原子命题有无关系无关

例1符号化下述命题 中国不是一个国家； 今天天气很冷，但室内暖和； 王刚是一位排球运动员或者是足球运动员 如果你固执起见，那么不愉快的事情将会发生； 雪是白的当且仅当太阳从东方升起。 2025/5/13 计算机与信息工程学院 10

2025/5/13 计算机与信息工程学院 10 中国不是一个国家； 今天天气很冷，但室内暖和； 王刚是一位排球运动员或者是足球运动员 如果你固执起见，那么不愉快的事情将会发生； 雪是白的当且仅当太阳从东方升起。 例1 符号化下述命题