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《常微分方程》课程教学资源(讲义)第四章 高阶微分方程(2/3)

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《常微分方程》课程教学资源(讲义)第四章 高阶微分方程(2/3)
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S4.3n阶常系数线性微分方程 上节表明,为了求出阶非齐线性方程的通解,只要知道其对应齐线性微分方程的一个 基本解组即可。至此,从理论上可以说解的问题已解决,但即使对一般齐线性微分方程至今 也没有普遍的解法。下面就一些特殊阶线性微分方程类型给出求解法。 (1)对于阶常系数齐线性微分方程,只要通过解一个代数方程而不必使用积分运算,就 可以求出其基本解组: (2)对于阶常系非齐线性微分方程,当强拍而为两类特殊类型时,利用待定系数法可 以求出一个特解,而不必 用常数变易法 (3)对二阶常系数线性微分方程给出几种求解的新方法(见附录)。 1.实变量的复值函数 定义3设()和y)为区间[a,b]上函数,i为虚数单位,则称z()=)+iw)为区 间[a,b]上的实变量的复值函数 把i看成常数,同时注意到关于()极限、连续、微分和积分的概念与)和)极 限、连续、微分和积分的概念等价,于是有以下运算法则: 设:()=9,)+i4,),2()=,()+iΨ2()是区间上可微函数,这里c,C为任意 实(或复常数),B为实数 0_9@+y@ aG0出@=60+e把 d山 0=,00+0,0 d 进一步有如下公式和性质: (4慨拉公式:ea*py=e“(cosh+isin): (5)eee 6 di=ce; (7)d'e =(G)e 基于以上实变量的复值函数的运算与性质,给出如下定理。 定理10设L.()中的系数a,(),.,an()均为区间a,b上的实值连续函数,若 66

66 §4.3 n 阶常系数线性微分方程 上节表明,为了求出n 阶非齐线性方程的通解,只要知道其对应齐线性微分方程的一个 基本解组即可。至此,从理论上可以说解的问题已解决,但即使对一般齐线性微分方程至今 也没有普遍的解法。下面就一些特殊n 阶线性微分方程类型给出求解法。 (1)对于n 阶常系数齐线性微分方程,只要通过解一个代数方程而不必使用积分运算,就 可以求出其基本解组; (2)对于n 阶常系数非齐线性微分方程,当强迫项为两类特殊类型时,利用待定系数法可 以求出一个特解,而不必用常数变易法; (3)对二阶常系数线性微分方程给出几种求解的新方法(见附录)。 1. 实变量的复值函数 定义 3 设ϕ(t) 和ψ (t) 为区间[a,b]上函数,i 为虚数单位,则称 z(t) = ϕ(t) + iψ (t) 为区 间[a,b]上的实变量的复值函数。 把i 看成常数,同时注意到关于 z(t) 极限、连续、微分和积分的概念与ϕ(t) 和ψ (t) 极 限、连续、微分和积分的概念等价,于是有以下运算法则: 设 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 z t = ϕ t + iψ t z t = ϕ t + iψ t 是区间上可微函数,这里 1 2 c c, 为任意 实(或复常数),α, β 为实数. (1) dt d t i dt d t dt dz (t) ( ) ( ) 1 ϕ1 ψ 1 = + ; (2) 1 1 2 2 1 2 1 2 d c z t c z t dz t dz t ( ( ) ( )) ( ) ( ) c c dt dt dt + = + ; (3) dt dz t z t dt dz t z t dt d z t z t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) 2 1 1 2 1 2 = + . 进一步有如下公式和性质: (4)欧拉公式: ( ) e e (cos t isin t) i t t β β α β α = + + ; (5) ( 1 2 ) 1 2 c c t c t c t e e e + = ; (6) 1 1 1 c t de c t c e dt = ; (7) 1 1 1 ( ) n c t n c t n d e c e dt = . 基于以上实变量的复值函数的运算与性质,给出如下定理。 定理 10 设 L (t) n 中的 系数 ( ), , ( ) 1 a t a t L n 均 为区间 [a,b] 上 的 实值连续 函数, 若

()=)+i()是方程(42)的复值解,则:()的实部g)、虚部0和共轭函数0也 都是方程(42)的解。 证明把i看成常数,由上节引理可知L.()》=Ln(》+iL,(》=0,注意到Ln(x) 系数均为实值函数,依据在一个复数等式中,等式两边实部和虚部应分别相等的原理,则有 L(p)=0和L.()=0。于是(),()均为方程的解,由叠加原理可证明0也是方程 的解。定理得证。 定理11设L,()中的系数a,(,a()均为区间[a,b上的实值连续函数,若 =(t)=()+iy(t)是方程 Ln(x)=f)+2) (4.19) 的解,则t)和()分别方程L(x)=f()和L.(x)=()的解。这里f()和f()均 为区间上的实值函勒 定理11的证明留给同学作为练习。 2.n阶常系数齐线性方程 考虑如下阶齐线性方程方程 L,=x dh++a,x=0420 这里a1,an均为实常数,称方程(4.20)为n阶常系数齐线性方程 回忆前面的一阶常系数线性方程女 =ar,可知此方程通解为x=ce“形式。当然对于 方程(4.20),我们试图观察其是否也有如此形式x=e的解,这里为待定参数。注意到 Ln(e“)=(+a,2-l+.+a-+ank", F()="+a,+.+a-+an 对于方程 F()=0 (4.21) 称(421)为方程(420)的特征方程,其根称为特征根(或特征值)。进一步,可知x=“为方 程(4.20)解的充要条件是1为方程4.21)的根。 下面分两种情形进行讨论: 一,当特征根均是单根时:此时方程(4.21)的n个根均互异,于是方程(4.20)相应有 n个解e,.,e与之对应

67 z(t) = ϕ(t) + iψ (t) 是方程(4.2)的复值解,则 z(t) 的实部ϕ(t) 、虚部ψ (t) 和共轭函数 z(t) 也 都是方程(4.2)的解。 证明 把i 看成常数,由上节引理可知 L (z(t)) = L ( (t)) + iL ( (t)) = 0 n n ϕ n ψ ,注意到 L (x) n 系数均为实值函数,依据在一个复数等式中,等式两边实部和虚部应分别相等的原理,则有 (ϕ) = 0 Ln 和 (ψ ) = 0 Ln 。于是ϕ(t),ψ (t) 均为方程的解,由叠加原理可证明 z(t) 也是方程 的解。定理得证。 定 理 11 设 L (t) n 中 的系 数 ( ), , ( ) 1 a t a t L n 均 为区 间 [a,b] 上 的实 值连续 函数 ,若 z(t) = ϕ(t) + iψ (t) 是方程 ( ) ( ) ( ) 1 2 L x f t if t n = + (4.19) 的解,则ϕ(t) 和ψ (t) 分别方程 ( ) ( ) 1 L x f t n = 和 ( ) ( ) 2 L x f t n = 的解。这里 ( ) 1 f t 和 ( ) 2 f t 均 为区间上的实值函数。 定理 11 的证明留给同学作为练习。 2. n 阶常系数齐线性方程 考虑如下阶齐线性方程方程 ( ) 0 1 1 = + 1 + + = − − a x dt d x a dt d x L x n n n n n n L (4.20) 这里 n a , ,a 1 L 均为实常数,称方程(4.20)为n 阶常系数齐线性方程. 回忆前面的一阶常系数线性方程 ax dt dx = ,可知此方程通解为 at x ce = 形式。当然对于 方程(4.20),我们试图观察其是否也有如此形式 t x e λ = 的解,这里λ 为待定参数。注意到 ( ) t n n t n n n L e a a a e λ λ = λ + λ + + − λ + − 1 1 1 ( ) L , 记 n n n n F = + a + + a + a − − λ λ λ 1λ 1 1 ( ) L . 对于方程 F(λ) = 0 (4.21) 称(4.21)为方程(4.20)的特征方程,其根称为特征根(或特征值)。进一步,可知 t x e λ = 为方 程(4.20)解的充要条件是λ 为方程(4.21)的根。 下面分两种情形进行讨论: 一.当特征根均是单根时: 此时方程(4.21)的n 个根均互异,于是方程(4.20)相应有 n个解 t t n e e λ λ , , 1 L 与之对应

计算它们的伏朗斯基行列式 e e 2e4. 2-e-e.ge 注意上式中用到范德蒙行列式,因此这个n解组构成方程(4.20)的一个基本解组。进一步, 我们可以写出方程(420)的通解表达式为 x(0=ce+.+c.e (4.22) 若,.,入n中出现复根1=《+所时,由于a,.,an均为实数,则由高等代数理论知 元=-所也是方程(4.2)的根。这两个根分别对应于方程(4.20)的两个复值解 e”=e“(cosM+isin B)和e=e“(cos-isinB),依据定理1l,知它们的实部 e“cosh和虚部e sin Bt均是方程(420)的解。也就是说当出现两个共轭复根 =+,元=a-时,则方程(420)相应有实解分别为e“cos和e“sinB,于是只 要在式子(4.22)中把e“和e“的位置用e“cosB和e sin Bt代之即可得到方程(4.20)的通 二.当特征根中有重实根时: 首先,目的是考虑特殊情形找到解的形式。设方程(4.2)有h(1≤h≤)重实根 元=A=0,所以(421)可以写成F()=F()=0,这里F()为元的n-h次多项式 且F(O)≠0,因此F()关于元的最低次数为h次,即 F()=P+a,-+.+an2+an中必有an=a=.=a-4l=0.此时4.20)应为如 下形式 4+0 dt" 显然易验证它有1,4,.,-这h个解,并且知它们是线性无关的,这样特征方程(4.21)的h重 零根就相对应于方程(4,20)的h个线性无关解1,1,。 其次,关键是作平移变换把一般情形化成上面的特殊情形。设方程(4.21)有h重实根入, 则F()=(-A)F()=0,这里F()为1的n-h次多项式,且F(2)≠0,令

68 计算它们的伏朗斯基行列式 ( ) ( ) 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 ∏ − ≠ ∑ = = ≤ < ≤ − − − = i j j i n n t n n t n t t n t t t t t n n i i n n n e e e e e e e e e e W t λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ L L L L L L L 。 注意上式中用到范德蒙行列式,因此这个n解组构成方程(4.20)的一个基本解组。进一步, 我们可以写出方程(4.20)的通解表达式为 1 1 ( ) n t t n x t c e c e λ λ = + + L (4.22). 若 λ λn , , 1 L 中出现复根 λ = α + βi 时,由于 n a , ,a 1 L 均为实数,则由高等代数理论知 λ = α − βi 也 是 方 程 (4.21) 的 根 。 这 两 个 根 分 别 对 应 于 方 程 (4.20) 的 两 个 复 值 解 e e ( t i t) t t β β λ α = cos + sin 和 e e ( t i t) t t β β λ α = cos − sin ,依据定理 11,知它们的实部 e t t β α cos 和 虚 部 e t t β α sin 均 是 方 程 (4.20) 的 解 。 也 就 是 说 当 出 现 两 个 共 轭 复 根 λ = α + βi,λ = α − βi 时,则方程(4.20)相应有实解分别为e t t β α cos 和e t t β α sin ,于是只 要在式子(4.22)中把 t e λ 和 t e λ 的位置用 e t t β α cos 和 e t t β α sin 代之即可得到方程(4.20)的通 解. 二.当特征根中有重实根时: 首先,目的是考虑特殊情形找到解的形式。设方程(4.21)有 h 1( ≤ h ≤ n) 重实根 λ = λ1 = 0 ,所以(4.21)可以写成 ( ) ( ) 0 F λ = λ F1 λ = h ,这里 ( ) F1 λ 为 λ 的 n − h 次多项式 且 F1 )0( ≠ 0 , 因 此 F(λ) 关 于 λ 的 最 低 次 数 为 h 次 , 即 n n n n F = + a + + a + a − − λ λ λ 1λ 1 1 ( ) L 中必有 0 an = an−1 = L = an−h+1 = .此时(4.20)应为如 下形式 ( ) 0 1 1 = + 1 + + − = − − h h n n h n n n n dt d x a dt d x a dt d x L x L 。 显然易验证它有 1 ,1 , h− t L t 这h 个解,并且知它们是线性无关的,这样特征方程(4.21)的h 重 零根就相对应于方程(4.20)的 h 个线性无关解 1 ,1 , h− t L t 。 其次,关键是作平移变换把一般情形化成上面的特殊情形。设方程(4.21)有h 重实根λ1, 则 ( ) ( ) ( ) 0 F λ = λ − λ1 F1 λ = h ,这里 ( ) F1 λ 为 λ 的 n − h 次多项式,且 F1 (λ1 ) ≠ 0 ,令

4=元-入,记G()=F(u+入)=uG,()。由于F()为关于元的n-h多项式且 F(0+元)=F()≠0,即有G,()也为4的n-h次多项式且有G,(O)=F(2)≠0. 因此F()=(几-2F()=0的h重实根元=元等价于特征方程G()=4G,()的h 重零根。综合上面的讨论思路,最后,我们采用直接方法给出。 设1≤l≤n,令x=te”,根据莱布尼兹公式有 yc(. 计算 L,e)=teyo+2ateym (F(A+IF(-(( 20 当=为特征方程(4.21)的h重实根时,则有F()=(-)F()=0,这里F()为 1的n-h次多项式且F()≠0,因此易知F()=F()=.=F-()=0且 F()≠0.于是有 Ln(e)=e.0=0,.,Ln(-e4)=e.0=0,Ln(te)=e.F(a)≠0, 这表明e4,te,.,t-e为方程(4.20)的h个线性无关解。 进一步,当特征方程(4.21)有m个不同的实根,2,其重数分别为 川,几2,.,nm,且m+n2+.+nm=n时,这时方程(420)有下列n个解 e,te,.,-e; e,e,.,-e4 ed,le,.,t.-e. 进一步,我们不加证明的指出这n个解构成方程(4.20)的一个基本解组。 三.当特征方程(4.21)冲有h重复根入=:+B时,注意到特征方程(421)的系数均为实数 ,则复特征根必与其共轭复根无=:一伍成对出现,因此按重数计入与万共有2h个。类似

69 µ = λ − λ1,记 ( ) ( ) ( ) G µ µ F1 µ λ1 µ G1 µ h h = + = 。由于 ( ) F1 λ 为关于λ 的n − h 多项式且 F1 0( + λ1 ) = F1 (λ1 ) ≠ 0 ,即有 ( ) G1 µ 也为 µ 的 n − h 次多项式且有G1 )0( = F1 (λ1 ) ≠ 0。 因此 ( ) ( ) ( ) 0 F λ = λ − λ1 F1 λ = h 的 h 重实根λ = λ1 等价于特征方程 ( ) ( ) G µ µ G1 µ h = 的 h 重零根。综合上面的讨论思路,最后,我们采用直接方法给出。 设1 ≤ l ≤ n ,令 l t x t e λ = ,根据莱布尼兹公式有 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) l k t m k m k k m l t m t e C t e − = = ∑ λ λ , 计算 ( ) ( ) ( )) 2! ( )1 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( )1 ( ) ( ) 1 ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ t l l l l l l t n i n i i l t l t n n F t lF t F ll e F t Fl t L t e t e a t e ′′ + + + − = + ′ + = + − − − − = ∑ L 。 当λ = λ1为特征方程(4.21)的h 重实根时,则有 ( ) ( ) ( ) 0 F λ = λ − λ1 F1 λ = h ,这里 ( ) F1 λ 为 λ 的 n − h 次多项式且 F1 (λ1 ) ≠ 0 ,因此易知 ( ) ( ) ( ) 0 1 ( )1 1 = ′ 1 = = = − λ λ λ h F F L F 且 ( ) 0 1 ( ) λ ≠ h F .于是有 ( ) 0 ,0 , ( ) 0 ,0 ( ) ( ) 0 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 = ⋅ = = ⋅ = = ⋅ ≠ − λ λ λ λ λ h λ t λ t h n h t t n t t Ln te e L L t e e L t e e F , 这表明 t t h t e te t e 1 1 1 1 , , , λ λ L − λ 为方程(4.20)的h 个线性无关解。 进 一 步 , 当 特 征 方 程 (4.21) 有 m 个 不 同 的 实 根 λ λ λ m , , , 1 2 L , 其 重 数 分 别 为 m n , n , ,n 1 2 L ,且n n n n 1 + 2 +L+ m = 时,这时方程(4.20)有下列n 个解 t t n t e te t e 1 1 1 1 1 , , , λ λ L − λ ; t t n t e te t e 2 2 2 1 2 , , , λ λ L − λ ; .; mt mt nm mt e te t e λ λ 1 λ , , , L − . 进一步,我们不加证明的指出这n 个解构成方程(4.20)的一个基本解组。 三.当特征方程(4.21)中有h 重复根λ = α + βi 时,注意到特征方程(4.21)的系数均为实数 ,则复特征根必与其共轭复根λ = α − βi 成对出现,因此按重数计λ 与λ 共有 2h 个。类似

上面讨论可知方程(4.20)有如下2h个线性无关解: e cos B,te cosre cos Be sin Br,te sin Br.e sin B 只要用这些解代之二中相应位置即可构成方程(4.20)的基本解组。为了方便记忆和应用,现 将方程(4.20)的解与特征方程(4.21)的特征根对比如下表: 方程(4.20 特征方程(4.21少 dx +ax=0 F()=2"+a2-+.+an-+an=0 e是方程(4.20)的解 是特征方程(4.21)的特征根 e“是方程(4.20)的实解: 2是特征方程(4.21)的单实根; 2=Q+i是特征方程(421)的单复根 ecosm,e sin是方程(4.20)的两个实解 (其中万=α-所也是它的复根) e“,1e”,.,1-e”是方程(4.20)的h个线性无关 入是特征方程(421)的h重实根: 解: 1=a+i是特征方程(421)的h重复 e"cosm,1e"cos,.,-e cos Br和 根,则元=-也是它的h重复 esin Bt,le“sin,.,-e“sin是方程 (4.20)的2h个线性无关解 于是方程(4.20)的实通解为其特征方程4.21)所有的特征根相应于(4.20)实解的线性组合。 倒3求方程-x=0的通解 d 解特征方程-1=0有两个单实根入=-1,入2=1和两个共轭复根乙=-,入=i,因 此方程的通解为 x=ce +ce +C:cost+c sint, 这里G,C2,C,C4为任意常数。 例4求方程+x=0的通解 dt 、解特征方程龙1上0有单实根么=一1和共轭复根入=?-/号,名=+少 2

70 上面讨论可知方程(4.20)有如下2h 个线性无关解: e tet t t e t e tet t t e t t t h t t t h t β β β β β β α α α α α α cos , cos , , cos sin , sin , , sin L −1 和 L −1 . 只要用这些解代之二中相应位置即可构成方程(4.20)的基本解组。为了方便记忆和应用,现 将方程(4.20)的解与特征方程(4.21)的特征根对比如下表: 方程(4.20): ( ) 0 1 1 1 = + 1 + + − + = − − a x dt dx a dt d x a dt d x L x n n n n n n n L 特征方程(4.21): 1 1 1 ( ) 0 n n F a a a λ λ λ λ n n − = + + + + = L − t e λ 是方程(4.20)的解 λ 是特征方程(4.21)的特征根 t e λ 是方程(4.20)的实解; e t e t t t β β α α cos , sin 是方程(4.20)的两个实解 λ 是特征方程(4.21)的单实根; λ = α + βi 是特征方程(4.21)的单复根 (其中λ = α − βi 也是它的复根) t t h t e te t e λ λ 1 λ , , , L − 是方程(4.20)的 h 个线性无关 解; e tet t t e t t t h t β β β α α α cos , cos , , cos L −1 和 e tet t t e t t t h t β β β α α α sin , sin , , sin L −1 是 方 程 (4,20)的2h 个线性无关解 λ 是特征方程(4.21)的h 重实根; λ = α + βi 是特征方程(4.21)的 h 重复 根,则 λ = α − βi 也是它的 h 重复根 于是方程(4.20)的实通解为其特征方程(4.21)所有的特征根相应于(4.20)实解的线性组合。 例 3 求方程 0 4 4 − x = dt d x 的通解. 解 特征方程 1 0 4 λ − = 有两个单实根λ1 = − ,1 λ2 = 1和两个共轭复根 = −i = i 3 4 λ ,λ ,因 此方程的通解为 1 2 3 4 cos sin t t x c e c e c t c t − = + + + , 这里 1 2 3 4 c c c c , , , 为任意常数。 例 4 求方程 0 3 3 + x = dt d x 的通解. 解 特征方程 1 0 3 λ + = 有单实根λ1 = −1和共轭复根 2 3 2 1 , 2 3 2 1 2 3 λ = − i λ = + i ,因此

方程的通解为 ace+ie+6m9 这里C,C2,C3为任意常数。 d 解特征方程2-32+31-1有三重实根元=1,因此方程的通解为 x=(C,+C,+C,2e 这里C,C2,C,为任意常数 例6求方程x d +x=0的通解 解特征方程产+2?+1=0有两个二重复根元=-,=1,因此方程有相对应的四个 线性无关的实解cos1,1cos1,sin1,1sin1,于是方程的通解为 x=(c+ct)cost+(c+ct)sint, 这里C1,C2,C,C4为任意常数。 注10这里我们还指出有一类可以通过变量变换化为常系数齐线性方程。 形如方程 +a++a+02到 dx" 这里a1,am为常数,称方程(423)为欧拉方程。 当x0时,令x=e',此时所得结果一样。因此下面仅对x>0 情形进行讨论,只要在最后结果中以1=y代回即可首先考虑当n=2时,由 x=e',l=lnx,计算得到 dt 器法倍剖

71 方程的通解为 1 2 1 2 3 3 3 ( cos sin ) 2 2 t t x c e e c t c t − = + + 这里 1 2 3 c c c , , 为任意常数。 例 5 求方程 3 3 0 2 2 3 3 − + − x = dt dx dt d x dt d x 的通解. 解 特征方程 3 3 1 3 2 λ − λ + λ − 有三重实根λ = 1,因此方程的通解为 ( ) t x C C t C t e 2 = 1 + 2 + 3 这里 1 2 3 C ,C ,C 为任意常数。 例 6 求方程 2 0 2 2 4 4 + + x = dt d x dt d x 的通解. 解 特征方程 2 1 0 4 2 λ + λ + = 有两个二重复根 = −i = i 1 2 λ ,λ ,因此方程有相对应的四个 线性无关的实解cos ,tt cost,sin ,tt sin t ,于是方程的通解为 x c c t t c c t t = + + + ( 1 2 3 4 ) cos sin ( ) , 这里 1 2 3 4 c c c c , , , 为任意常数。 注 10 这里我们还指出有一类可以通过变量变换化为常系数齐线性方程。 形如方程 0 1 1 1 1 + 1 + + − + = − − − a y dx dy a x dx d y a x dx d y x n n n n n n n n L (4.23) 这里 n a , ,a 1 L 为常数,称方程(4.23)为欧拉方程。 当 x 0时,令 t x = e ,此时所得结果一样。因此下面仅对 x > 0 情形进行讨论,只要在最后结果中以 t = ln x 代回即可。首先考虑当 n = 2 时,由 x e t x t = , = ln ,计算得到 dt dy e dt dy dx x dt dt dy dx dy −t = = = 1 ,          = −      = − dt dy dt d y dx x dt dt dy e dt d dx d y t 2 2 2 2 2 1

则欧拉方程 r安+a密+wr=0 可以化成以下二阶常系数齐线性方程 +a-喷+a=0 我们知它有形式解y=e“=(e=x,即欧拉方程有形式解y=x。由此启发我们方程 (4.23)有形式解y=x*,于是直接用y=x*代入方程(4.23)且约去因子x,得到 kk-1.(k-n+1)+a,kk-).(k-n+2+.+a=0(424) 称方程(424)为方程(423)的特征方程,k称为方程(4.24)的特征根,依据上述常系数齐线性 方程解的结构及与欧拉方程解的对应关系知:当方程(4.24)有h重实特征根k=k。时,则相 应于方程(423)有h个实线性无关解x,x1n,.,x1n-:当方程(4.24有h重复特征 根k=a+B所时,则k=&-i也是方程(4.24)的h重复特征根,则相应于方程(4.23)有2h个 实线性无关解 x“cos(BInx)x Inx cos(B1ln.,xln-xcos(BInl, x"sin(Bin)x Inxlsin(BIn.x Insin(BIn). 只要把方程4.24)中所有特征根相应于方程(4.23)的实线性无关解进行线性组合,则可以得到 方程的通解。 7来解方程是-密+y=0 解这是二阶欧拉方程,具有形式解y=x·,代入方程得到特征方程如下 k(k-1)-k+1=0, 解得特征根k,=k2=1,于是方程有两个线性无关解x,xlnx,因此方程通解为 y=(G+cInx)x 这里C,C2为任意常数 例8求解方程2+3安+5少=0 dx? 之

72 则欧拉方程 0 2 1 2 2 2 + + a y = dx dy a x dx d y x 可以化成以下二阶常系数齐线性方程 ( ) 1 0 2 1 2 2 + − + a y = dt dy a dt d y , 我们知它有形式解 ( ) λ λ λ y e e x t t = = = ,即欧拉方程有形式解 λ y = x 。由此启发我们方程 (4.23)有形式解 k y = x ,于是直接用 k y = x 代入方程(4.23)且约去因子 k x ,得到 ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) 0 k k − L k − n + + a1 k k − L k − n + +L+ an = (4.24) 称方程(4.24)为方程(4.23)的特征方程, k 称为方程(4.24)的特征根,依据上述常系数齐线性 方程解的结构及与欧拉方程解的对应关系知:当方程(4.24)有h 重实特征根 0 k = k 时,则相 应于方程(4.23)有h 个实线性无关解 x x x x x k k k h 1 , ln , , ln 0 0 L 0 − ;当方程(4.24)有h 重复特征 根 k = α + βi 时,则k = α − βi 也是方程(4.24)的h 重复特征根,则相应于方程(4.23)有2h 个 实线性无关解 x ( x ) x x ( x ) x x ( x ) h cos ln , ln cos ln , , ln cos ln 1 β β β α α L α − , x ( x ) x x ( x ) x x ( x ) h sin ln , ln sin ln , , ln sin ln 1 β β β α α L α − 。 只要把方程(4.24)中所有特征根相应于方程(4.23)的实线性无关解进行线性组合,则可以得到 方程的通解。 例 7 求解方程 0 2 2 2 − + y = dx dy x dx d y x 解 这是二阶欧拉方程,具有形式解 k y = x ,代入方程得到特征方程如下 k(k − )1 − k +1 = 0, 解得特征根k1 = k 2 = 1,于是方程有两个线性无关解 x, x ln x ,因此方程通解为 y c c x x = + ( 1 2 ln ) 这里 1 2 c c, 为任意常数。 例 8 求解方程 3 5 0 2 2 2 + + y = dx dy x dx d y x

解这是二阶欧拉方程,具有形式解y=x,代入方程得到特征方程如下 k(k-)+3k+5=0, 解得特征根k1=-1-2i,k2=-1+2i,于是方程有两个线性无关解 xcos2 In)xsin(2ln),因此方程通解为 y=x(c cos(2Inx)+csin(2In)) 这里C1,C2为任意常数。 3。n阶常系数非齐线性方程的求解法 在前面我们已知阶齐线性方程的基本解组,可利用常数变易法经过积分求得非齐线性 方程的一个特解,于是方程的通解可写出。但对于常系数非齐线性方程而言,当具有两类特 殊形状时,用比较系数法,即不需通过积分而用代数方法可以求得非齐线性方程的特解。我 们不加证明给出以下结论。 考虑阶常系数非齐线性方程 L-+a++a=0e2 这里f()为连续函数。 ()设f0=Pn)e 这里P()是m次实多项式,元可以是实数也可以是复数。则方程(4.25)有如下形式特解 x=t*Q.()e(4.26) 这里.()为与P()同次特定多项式,k为特征方程F()=0的根的重数(即当不 为特征根时,取k=0:当1为单根时,取k=1等等)。 (2)设fu)=((An()cosh+B,()sine 这里心,B为实常数,A(),B,()分别是次m和1次实多项式,则方程(4.25)有如下形式特 =(M (t)cos B+N (t)sin Br)e (4.27) 这里M,()和V,()均是h次待定多项式,其中取h=max(m,l)。k是a+所为特征方程 F()=0的特征根的重数(即当α+不为特征根时,取k=0:当a+伍为单根时,取 k=1,等等)

73 解 这是二阶欧拉方程,具有形式解 k y = x ,代入方程得到特征方程如下 k(k − )1 + 3k + 5 = 0 , 解 得 特 征 根 k 1 2i, k 1 2i 1 = − − 2 = − + , 于 是 方 程 有 两 个 线 性 无 关 解 x cos( ln2 x ), x sin( ln2 x ) −1 −1 ,因此方程通解为 ( ( ) ( )) 1 1 2 y x c x c x cos 2ln sin 2ln − = + 这里 1 2 c c, 为任意常数。 3. n 阶常系数非齐线性方程的求解法 在前面我们已知n 阶齐线性方程的基本解组,可利用常数变易法经过积分求得非齐线性 方程的一个特解,于是方程的通解可写出。但对于常系数非齐线性方程而言,当具有两类特 殊形状时,用比较系数法,即不需通过积分而用代数方法可以求得非齐线性方程的特解。我 们不加证明给出以下结论。 考虑阶常系数非齐线性方程 ( ) ( ) 1 1 1 a x f t dt d x a dt d x L x n n n n n n = + + + = − − L (4.25) 这里 f (t)为连续函数。 (1)设 t m f t P t e λ ( ) = ( ) 这里 P (t) m 是 m 次实多项式,λ 可以是实数也可以是复数。则方程(4.25)有如下形式特解 t m k x t Q t e λ = ( ) (4.26) 这里Q (t) m 为与 P (t) m 同次待定多项式, k 为特征方程 F(λ) = 0 的根λ 的重数(即当λ 不 为特征根时,取k = 0 ;当λ 为单根时,取k = 1.等等)。 (2)设 ( ) t m l f t A t t B t t e α ( ) = ( ) cos β + ( )sin β 这里α,β 为实常数, A (t), B (t) m l 分别是次 m 和l 次实多项式,则方程(4.25)有如下形式特 解 ( ) t h h k x t M t t N t t e α = ( ) cos β + ( )sin β (4.27) 这里 M (t) h 和 N (t) h 均是h 次待定多项式,其中取h = max(m,l)。k 是α + βi 为特征方程 F(λ) = 0 的特征根的重数(即当α + βi 不为特征根时,取k = 0 ;当α + βi 为单根时,取 k = 1,等等)

注11即使A()或B,()有一个不出现时,此时也一定要设方程(4.25)有形如 (427)的解,这里M,()和N()一个也不能少 例9求方程-2在-3x=31+1的通解 d 解方程为二阶常系数非齐线性方程其对应的齐线性方程为 -密-3x=0 其特征方程为2-21-3=0,有两个特征根乙=-1,乙,=3。下面用系数比较法求非齐线 性方程的一个特解。这里∫)=31+1,=0。易知=0不是特征根,于是设原方程有形 如元=b1+b的特解,这里b,b为待定常数。将此式代入非齐线性方程中,有 -2b,-3b,-3b1=31+1,比较系数得 「-36。=3 -2h-36=1’ 由此有6=-6-兮即王=+兮因此原方程的通解为 1 x=ce+ce-1+月 这里C,92为任意常数。 例10求方程x”-4x+4x=e+e2+1的通解 解方程为二阶常系数非齐线性方程, 记L(x)=x”-4x'+4xf)=e'+e2”+l,f0=e,3()=e”,f5()=1,显然方程 L,(x)=∫)不是上面讲的类型,不能直接用比较系数法。其对应的齐线性方程为 L,(x)=0,其特征方程为2-4+4=0,有二重根名=乃=2. 对于方程L,(x)=厂(),其为上面所讲的类型,此时入=1不是特征方程的特征根,于 是此方程有形如x=b加'的解,代入方程中,整理得b=1,即方程有解x1=e': 对于方程L(x)=3),其为上面所讲的类型,此时入=2是特征方程的特征根,于

74 注 11 即使 A (t) m 或 B (t) l 有一个不出现时,此时也一定要设方程(4.25)有形如 (4.27)的解,这里 M (t) h 和 N (t) h 一个也不能少。 例 9 求方程 2 3 3 1 2 2 − − x = t + dt dx dt d x 的通解 解 方程为二阶常系数非齐线性方程.其对应的齐线性方程为 2 3 0 2 2 − − x = dt dx dt d x , 其特征方程为 2 3 0 2 λ − λ − = ,有两个特征根λ1 = − ,1 λ2 = 3。下面用系数比较法求非齐线 性方程的一个特解。这里 f (t) = 3t + ,1 λ = 0 。易知λ = 0 不是特征根,于是设原方程有形 如 0 1 x = b t + b 的特解,这里 0 1 b ,b 为待定常数。将此式代入非齐线性方程中, 有 2 3 3 3 1 − b0 − b1 − b0 t = t + ,比较系数得    − − = − = 2 3 1 3 3 0 1 0 b b b , 由此得 3 1 ,1 b0 = − b1 = ,即 3 1 x = −t + ,因此原方程的通解为 3 1 2 1 3 t t x c e c e t − = + − + 这里 1 2 c c, 为任意常数。 例 10 求方程 4 4 1 2 ′′ − ′ + = + + t t x x x e e 的通解 解 方程为二阶常系数非齐线性方程, 记 ( ) 4 4 , ( ) ,1 ( ) , ( ) , ( ) 1 3 2 1 2 2 L3 x = x ′′ − x′ + x f t = e + e + f t = e f t = e f t = t t t t ,显然方程 ( ) ( ) 3 L x = f t 不是上面讲的类型,不能直接用比较系数法。其对应的齐线性方程为 ( ) 0 L3 x = ,其特征方程为 4 4 0 2 λ − λ + = ,有二重根λ1 = λ2 = 2 。 对于方程 ( ) ( ) 3 1 L x = f t ,其为上面所讲的类型,此时λ = 1不是特征方程的特征根,于 是此方程有形如 t x = be 1 的解,代入方程中,整理得b = 1,即方程有解 t x = e 1 ; 对于方程 ( ) ( ) 3 2 L x = f t ,其为上面所讲的类型,此时λ = 2 是特征方程的特征根,于

是此方程有形如另=加。的解,代入方程中,整理相6=宁,即方程有解三=c, 对于方程L,(0=3(),其为上面所讲的类型,此时入=0不是特征方程的特征根,于 是此方程有形复销解无=6,代入方程中,整理得力=君即方程有解无-君 于是由叠加原理知方程有解元=e+e”+},因此原方程的道解为 x=(c+ct)e+, 这里C1,C2为任意常数。 例11求解方程x+4x+4x=cos21的通解 解方程为二阶常系数非齐线性方程,这里A,=1,B。=0,:=0,B=2。其齐线性方程为 x+4x'+4x=0,其特征方程为2+4入+4=0,其特征根为=乃2=-2,这是二重 根。下用比较系数法求原方程的一个特解,因为元=:+所=21不是特征根,则方程有形 如x=M。cos21+N。sin21的解,代入方程中得 8N。cos21-8M。sin21=cos2t, 比较同类项系数得M。=0,N从面元-血21,于是原方程的通解为 x=(G+cl)e+x。 这里G,C为任意常数。 注2当例山中缺少一项时,常采用复数法解。下面仍以例为例加以演算。 首先求方程 x"+4x'+4x=e2m 的特解,这属于类型(1),此时入=2i不是特征根,因此此方程有形如下=b2的解,代 入方得6=-从面=一产一n2-2根定理1可知上式的实都 8 就是原方程的一个特解,于是原方程的通解为x=(G+c)+。sin21,这与例11所得 结果相同,但更简洁

75 是此方程有形如 t x bt e 2 2 2 = 的解,代入方程中,整理得 2 1 b = ,即方程有解 t x t e 2 2 2 2 1 = ; 对于方程 ( ) ( ) 3 3 L t = f t ,其为上面所讲的类型,此时λ = 0 不是特征方程的特征根,于 是此方程有形如的解 x = b 3 ,代入方程中,整理得 4 1 b = ,即方程有解 4 1 x3 = 。 于是由叠加原理知方程有解 4 1 2 1 2 2 = + + t t x e t e ,因此原方程的通解为 ( ) 2 1 2 t x c c t e x = + + , 这里 1 2 c c, 为任意常数。 例 11 求解方程 x′′ + 4x′ + 4x = cos 2t 的通解 解 方程为二阶常系数非齐线性方程,这里 ,1 ,0 ,0 2 A0 = B0 = α = β = 。其齐线性方程为 x′′ + 4x′ + 4x = 0 ,其特征方程为 4 4 0 2 λ + λ + = ,其特征根为λ1 = λ2 = −2,这是二重 根。下用比较系数法求原方程的一个特解,因为λ = α + βi = 2i 不是特征根,则方程有形 如 x M cos 2t N sin 2t = 0 + 0 的解,代入方程中得 8N cos 2t 8M sin 2t cos 2t 0 − 0 = , 比较同类项系数得 8 1 ,0 M 0 = N0 = ,从而 x sin 2t 8 1 = ,于是原方程的通解为 ( ) 2 1 2 t x c c t e x − = + + 。 这里 1 2 c c, 为任意常数。 注 12 当例 11 中缺少一项时,常采用复数法解。下面仍以例 11 为例加以演算。 首先求方程 it x x x e 2 ′′ + 4 ′ + 4 = 的特解,这属于类型(1),此时λ = 2i 不是特征根,因此此方程有形如 it x be 2 = 的解,代 入方程中得 8 i b = − ,从而 i t e t i x it 8 cos 2 sin 2 8 1 8 2 = − = − ,根据定理 11 可知上式的实部 就是原方程的一个特解,于是原方程的通解为 ( ) 2 1 2 1 sin 2 8 t x c c t e t − = + + ,这与例 11 所得 结果相同,但更简洁

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