《解析几何》课程授课教案（讲义）第四章 坐标变换

第四章坐标变换 一、学习目的 通过本章的学习，使学生掌握平面的仿射坐标变换、直角坐标变换的定义和 性质：熟练掌握点、向量的仿射坐标变换公式和直角坐标变换中的过渡矩阵、移 轴公式、转轴公式等坐标变换公式及其应用。本章计划12学时，总结与复习3 学时. 二、重点、难点 (一)教学重点：重点是点的直角坐标变换的定义和性质： (二)教学难点：难点是点的直角坐标变换的求法和函数图形的形状分析。 4.1平面的仿射坐标变换 4.11点的仿射坐标变换公式 平面上给了两个放射坐标系：[O,6]和[O;日，e2]。为说话方便起见，前一个称为 旧坐标系，简记为1：后一个称为新坐标系，简记为Ⅱ。点M(或向量)在I中的坐标 系称为它的1坐标（或旧坐标）：在Ⅱ中的坐标称为它的Ⅱ坐标（或新坐标）。为了研究同 一点M的1坐标与Ⅱ坐标的关系，就首先要确定1与Ⅱ的相对位置。 设Ⅱ的原点0坐标的坐标是(x,%),设Ⅱ的基向量，的1坐标分别是(a,a2), (a2,az)。现在我们来求点M的I坐标(x,y)与它的Ⅱ坐标(x,y)之间的关系。 e、 4. 因为

第四章 坐 标 变 换 一、学习目的 通过本章的学习，使学生掌握平面的仿射坐标变换、直角坐标变换的定义和 性质；熟练掌握点、向量的仿射坐标变换公式和直角坐标变换中的过渡矩阵、移 轴公式、转轴公式等坐标变换公式及其应用．本章计划 12 学时，总结与复习 3 学时． 二、重点、难点 （一）教学重点：重点是点的直角坐标变换的定义和性质； （二） 教学难点：难点是点的直角坐标变换的求法和函数图形的形状分析。 4.1 平面的仿射坐标变换 4.1.1 点的仿射坐标变换公式 平面上给了两个放射坐标系： 1 2 [ ; , ] O e e 和 ' ' ' 1 2 [ ; , ] O e e 。为说话方便起见，前一个称为 旧坐标系，简记为 I ；后一个称为新坐标系，简记为 II 。点 M （或向量  ）在 I 中的坐标 系称为它的 I 坐标（或旧坐标）；在 II 中的坐标称为它的 II 坐标（或新坐标）。为了研究同 一点 M 的 I 坐标与 II 坐标的关系，就首先要确定 I 与 II 的相对位置。 设 II 的原点 ' 0 坐标的坐标是 0 0 ( , ) x y ，设 II 的基向量 ' 1 e , ' 2 e 的 I 坐标分别是 11 21 ( , ) a a ， 12 22 ( , ) a a 。现在我们来求点 M 的 I 坐标 ( , ) x y 与它的 II 坐标 ' ' ( , ) x y 之间的关系。 因为， 图 1e 0 ' 2 e ' 1 e ' 0 M 2 e 图 4.1

OM=00+0M=(g+%马)+(e+y8) =(xoen+yoe)+x(ae +ae)+y(aze +aze) =(aux +aay +xoe +(azx +azy+yo)e2, 所以 x=41x+a21y+x0, (y=a21x+a22y+% (4.10 公式(4.1)称为平面上坐标I到Ⅱ的点的仿射坐标变换公式。它把任意一点M的I坐标 x,y表示成它的Ⅱ坐标x,y的一次多项式。 定理4.1平面上点的仿射坐标变换公式(4.1)的系数行列式不等于零，即 anan ≠0. dzaz 证明：假设(4.)中系数行列式为零，则由定理1.4知，与共线矛盾。所以结论成立。 由于公式(4.1)中的系数行列式（记为d)不等于零，因此把(4.1）看成x,y的方程组，可 以求得唯一解： x= y-(ax-ay-a+ae) 1x-x0a21 (4.2) y=da.y-y(-dax+any+aato-anyo) 公式(4.2)把任意一点M的坐标x,y表示成它的I坐标x,y的一次多项式，称它是到的 点的仿射坐标变换公式。 4.1.2向量的仿射坐标变换公式 现在来看平面上的向量m的I坐标(u,)与它的Ⅱ坐标(，v)之间的关系。设 m=MM,其中M,的1坐标为(x,y),Ⅱ的坐标为(x,y,i=L,2.。则

' ' ' ' ' ' 0 1 0 2 1 2 ' ' 0 1 0 2 11 1 21 2 21 1 22 2 1 ' ' ' ' 11 21 0 1 21 22 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , OM OO O M x e y e x e y e x e y e x a e a e y a e a e a x a y x e a x a y y e = + = + + + = + + + + + = + + + + + 所以  ' ' 11 21 0 ' ' 21 22 0 , . x a x a y x y a x a y y = + + = + + (4.1) 公式 (4.1) 称为平面上坐标 I 到 II 的点的仿射坐标变换公式。它把任意一点 M 的 I 坐标 x y, 表示成它的 II 坐标 ' ' x y, 的一次多项式。 定理 4.1 平面上点的仿射坐标变换公式 (4.1) 的系数行列式不等于零，即 11 12 21 22 0. a a a a  证明：假设 (4.1) 中系数行列式为零，则由定理 1.4 知，与共线矛盾。所以结论成立。 由于公式 (4.1) 中的系数行列式（记为 d ）不等于零，因此把 (4.1) 看成 ' ' x y, 的方程组，可 以求得唯一解： ' 0 12 22 12 22 0 12 0 0 22 ' 11 0 21 11 21 0 11 0 22 0 1 1 ( ) (4.2) 1 1 ( ) x x a x a x a y a x a y d d y y a a x x y a x a y a x a y d d a y y  −  = = − − +  −  −  = = − + + −  −  公式 (4.2) 把任意一点 M 的 II 坐标 ' ' x y, 表示成它的 I 坐标 x y, 的一次多项式，称它是到的 点的仿射坐标变换公式。 4.1.2 向量的仿射坐标变换公式 现在来看平面上的向量 m 的 I 坐标 ( , ) u v 与它的 II 坐标 ' ' ( , ) u v 之间的关系。 设 m M M = 1 2 ，其中 Mi 的 I 坐标为 ( , ) i i x y , II 的坐标为 ' ' ( , ), 1, 2. i i x y i = 。则

=x2-x=(a2+a2y2+x)-(a1+a2y+x) =a(g2-x)+a20y2-)=a4+a2y, v=y2-月=(a22+a22+%)-(a2x+azy+%) =a2(x2-x)+a2z(052-)=a24+a22y, u=au +av, (4.3) v=au +azv. (4.3)称为平面上坐标1到Ⅱ的向量的仿射坐标变换公式，它把任一向量m的1坐标山，y 表示成它Ⅱ的坐标，”的一次其次多项式（即没有常数项），这是与点的坐标变换公式不同 的地方。平面上的点和向量是有本质区别的两种对象，如果只从一个坐标系来看，则点和向 量的坐标都是有序实数偶，看不出点和向量的区别：但是如果取两个仿射坐标系（它们的原 点不重合)，通过坐标变换，则点和向量的区别就明显了：点的坐标变换公式(4.)中有常数 项，而向量的坐标变换公式(4.3)中就没有常数项。 由于(4.3)中系数行列式不为零，因此可反解出： u=I (dzu-) 's! (4.4) (-u+). 这是Ⅱ到1的向量的仿射坐标变换公式。由(4.4)看出，I的基向量e,e,的坐标分别是 作业：习题4.1：3。 §4.2矩阵及其运算 4.2.1矩阵的概念及矩阵的运算 定义4.15n个实数a,=1,2.,j=1,2,m排成s行，n列的一张表

' ' ' ' 2 1 11 2 21 2 0 11 1 21 1 0 ' ' ' ' ' ' 11 2 1 21 2 1 11 21 ' ' ' ' 2 1 21 2 22 2 0 21 1 22 1 0 ' ' ' ' ' ' 21 2 1 22 2 1 21 22 ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , u x x a x a y x a x a y x a x x a y y a u a v v y y a x a y y a x a y y a x x a y y a u a v = − = + + − + + = − + − = + = − = + + − + + = − + − = + 即 ' ' 11 21 ' ' 21 22 , . u a u a v v a u a v  = +   = + (4.3) (4.3) 称为平面上坐标 I 到 II 的向量的仿射坐标变换公式，它把任一向量 m 的 I 坐标 u v, 表示成它 II 的坐标 ' ' u v, 的一次其次多项式（即没有常数项），这是与点的坐标变换公式不同 的地方。平面上的点和向量是有本质区别的两种对象，如果只从一个坐标系来看，则点和向 量的坐标都是有序实数偶，看不出点和向量的区别；但是如果取两个仿射坐标系（它们的原 点不重合），通过坐标变换，则点和向量的区别就明显了：点的坐标变换公式 (4.1) 中有常数 项，而向量的坐标变换公式 (4.3) 中就没有常数项。 由于 (4.3) 中系数行列式不为零，因此可反解出： ' 22 12 ' 21 11 1 ( ) , 1 ( ) . u a u a v d v a u a v d  = −    = − +  (4.4) 这是 II 到 I 的向量的仿射坐标变换公式。由 (4.4) 看出， I 的基向量 1 2 e e, 的坐标分别是 22 21 12 11 ( , ),( , ) a a a a d d d d − − 。 作业：习题 4.1：3。 §4.2 矩阵及其运算 4.2.1 矩阵的概念及矩阵的运算 定义 4.1 sn 个实数 ( 1,2, , ; 1,2, , ) ij a i s j n = = 排成 s 行， n 列的一张.表

a1a2.4a a1a2.an 称为一个s×n矩阵。 定义42两个矩阵A,B,如果它们的行数和列数相同，并且对应的元素都相等，则称它 们是相等的矩阵，A=B。 (一)矩阵的加法和数量乘法 定义4.3若A=(a,),B=(亿)都是s×n矩阵，则 a,±b1a2±b2.an±bn A±B= a±b:a+ba.an±h a1±b1a2±b2.an±bn 这种运算称为矩阵加法（或减法）。 定义4.4若A=(a,)都是s×n矩阵，k是实数，则 aka2.kan kA:= ka21ka2.ka2n (ka1ka2.kam 这种运算称为矩阵的数量乘法。 矩阵加法（或减法）和数量乘法满足下述规律： 对任意的s×n矩阵A,B,C,实数k,l,有 (①)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+0=A(4)A+(-A)=0 (5)1.A=A:(6)k(LA)=(kl)A;(7)(k+)A=kA+14;(8)k(A+B)=kA+kB. (二)矩阵的乘法 定义4.5若A=(a,)都是s×n矩阵，B=(,)都是n×r矩阵，则规定A乘以B得到一个 s×r矩阵（记作AB),AB的（亿，）元素是A的第i行元素与B的j列元素乘积之和，即AB 的，)元素：=∑a4y,其中1=12，j=2.7 矩阵乘法满足下述规律： 对任意的5×n矩阵A,B,C,实数k,有

11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a a a a             称为一个 s n 矩阵。 定义 4.2 两个矩阵 A B, ，如果它们的行数和列数相同，并且对应的元素都相等，则称它 们是相等的矩阵， A B = 。 （一）矩阵的加法和数量乘法 定义 4.3 若 ( ), ( ) A a B b = = ij ij 都是 s n 矩阵，则 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 : n n n n s s s s sn sn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b         +     =          ， 这种运算称为矩阵加法（或减法）。 定义 4.4 若 ( ) A a = ij 都是 s n 矩阵， k 是实数，则 11 12 1 21 22 2 1 2 : n n s s sn ka ka ka ka ka ka kA ka ka ka       =       ， 这种运算称为矩阵的数量乘法。 矩阵加法（或减法）和数量乘法满足下述规律： 对任意的 s n 矩阵 A B C , , ，实数 kl, ，有 (1) ; (2)( ) ( ); (3) 0 ; (4) ( ) 0; (5)1 ; (6) ( ) ( ) ; (7)( ) ; (8) ( ) . A B B A A B C A B C A A A A A A k lA kl A k l A kA lA k A B kA kB + = + + + = + + + = + − = • = = + = + + = + （二） 矩阵的乘法 定义 4.5 若 ( ) A a = ij 都是 s n 矩阵， ( ) B b = ij 都是 n r  矩阵，则规定 A 乘以 B 得到一个 s r  矩阵（记作 AB ）， AB 的 ( , ) i j 元素是 A 的第 i 行元素与 B 的 j 列元素乘积之和，即 AB 的 ( , ) i j 元素： 1 n ik kj k a b = =  ，其中 i s j r = = 1,2, , ; 1,2, , 。 矩阵乘法满足下述规律： 对任意的 s n 矩阵 A B C , , ，实数 k ，有

(I)(AB)C=A(BC)(结合律)方 (2)AB+C)=AB+AC(左分配律： (3(B+C)A=BA+CA(右分配律)方 (4)k(AB)=(k4)B=A(kB), (三)矩阵的转置 定义4.6把一个矩阵A,的行、列互换得到的矩阵称为的A转置，记为A(或A)。 矩阵的转置满足下列规律： ①(Y=; (2)(A+BY=A+B; (3)(k4=k4: (4)(ABy=B. 定义4.7n级矩阵A如果满足：A=A,则称A是对称矩阵。 4.2.3方阵的行列式 若4≠0，则称A是非奇异的：否者称为奇异的。 定理4.2若A和B都是n级矩阵，则 4B=A B. 定义4,8若对于n级矩阵A,存在矩阵B,使得 AB=BA=I, 则称A是可逆炬阵，称B是A的逆矩阵。 定理4.3矩阵A可逆的充分必要条件是A≠0（即A非奇异）。 命题4.1若对于方阵A,存在方阵B,使AB=E,则A是的可逆矩阵，并且A'=B。 利用命题4.1容易证明可逆矩阵具有下述性质： (1)若A,B均是n级可逆矩阵，则AB可逆，并且(AB)=B (2)若A可逆，则也可逆，并且(4)=() (3)若A可逆，则A=A. 4.2.5正交矩阵 定义4.9若一个n级矩阵A适合 AA'=E

(1)( ) ( )( ); (2) ( ) ( ); (3)( ) ( ); (4) ( ) ( ) ( ). AB C A BC A B C AB AC B C A BA CA k AB kA B A kB = + = + + = + = = 结合律 左分配律 右分配律 （三） 矩阵的转置 定义 4.6 把一个矩阵 A s n 的行、列互换得到的矩阵称为的 A 转置，记为 A （或 ' A ）。 矩阵的转置满足下列规律： (1) ( ) ; (2) ( ) ; (3) ( ) ; 4 ( ) . t t t t t t t t t t A A A B A B kA kA AB B A = + = + = = （ ） 定义 4.7 n 级矩阵 A 如果满足： t A A = ，则称 A 是对称矩阵。 4.2.3 方阵的行列式 若 A  0 ，则称 A 是非奇异的；否者称为奇异的。 定理 4.2 若 A 和 B 都是 n 级矩阵，则 AB B = A .  定义 4.8 若对于 n 级矩阵 A ，存在矩阵 B ，使得 AB BA I = = , 则称 A 是可逆矩阵，称 B 是 A 的逆矩阵。 定理 4.3 矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A  0 （即 A 非奇异）。 命题 4.1 若对于方阵 A ，存在方阵 B ，使 AB=E ，则 A 是的可逆矩阵，并且 -1 A =B 。 利用命题 4.1 容易证明可逆矩阵具有下述性质： （1） 若 A B, 均是 n 级可逆矩阵，则 AB 可逆，并且 1 1 1 ( ) . AB B A − − − = （2） 若 A 可逆，则 t A 也可逆，并且 1 1 t ( ) ( ) . t A A − − = （3） 若 A 可逆，则 1 t A A− = . 4.2.5 正交矩阵 定义 4.9 若一个 n 级矩阵 A 适合 =E t AA

则称A是正交矩阵。 命题4.2n级矩阵A是正交矩阵的充分必要条件为 4=A 从而矩阵是正交矩阵的充分必要条件为 AA'=E 容易证明正交矩阵有下述性质： (1)若A,B均是n级正交矩阵，则AB也是正交矩阵： (2)若A是正交矩阵，则A也是正交矩阵： (3)若A是正交矩阵，则A=或-1（在证明这条性质时，要用到=4这一事实）。 命题4.3A是正交矩阵的充分必要条件为：A的每一行元素的平方和等于1，每两行对 应的元素乘机之和等于零，即 2a=lu=l2 (415) 2a4a4=0,1≠j方 (4.16) k= 命思44A是正交矩阵的充分必要条件为：A的每一列元素的平方和等于1，每两列对 应的元素乘机之和等于零。 §4.3平面直角坐标变换 设[O,e1,e],[Oe,e](IOe,el,O:e,e')都是直角坐标系，本章1和s2中关 于仿射坐标变换的一般结论和方法对于直角坐标变换都成立。本节来进一步研究直角坐标变 换的特殊性。 4.3.1直角坐标变换公式 设0的1坐标为（化，e,乙的1坐标分别为(a1,a1,(a2,a2),则1到Ⅱ的过渡矩 阵是 A0:a） (a21a2 定理44设1和Ⅱ都是直角坐标系，则I和Ⅱ的过波矩阵A是正交矩阵：并且Ⅱ到I 的过渡矩阵是A

则称 A 是正交矩阵。 命题 4.2 n 级矩阵 A 是正交矩阵的充分必要条件为 -1 = t A A . 从而矩阵是正交矩阵的充分必要条件为 t AA E = . 容易证明正交矩阵有下述性质： （1） 若 A B, 均是 n 级正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵； （2） 若 A 是正交矩阵，则 t A 也是正交矩阵； （3） 若 A 是正交矩阵，则 A =1 或 -1 （在证明这条性质时，要用到 t A A = 这一事实）。 命题 4.3 A 是正交矩阵的充分必要条件为： A 的每一行元素的平方和等于 1，每两行对 应的元素乘机之和等于零，即 2 1 1, 1,2, , ; n ik k a i n =  = = （4.15） 1 0, ; n ik jk k a a i j =  =  （4.16） 命题 4.4 A 是正交矩阵的充分必要条件为： A 的每一列元素的平方和等于 1，每两列对 应的元素乘机之和等于零。 §4.3 平面直角坐标变换 设 [ ; , ] O e e 1 2 ， 1 2 [ ; , ] O e e    （I[O;e1,e2],II[O;e'1,e'2]）都是直角坐标系，本章§1 和§2 中关 于仿射坐标变换的一般结论和方法对于直角坐标变换都成立。本节来进一步研究直角坐标变 换的特殊性。 4.3.1 直角坐标变换公式 设 O 的 I 坐标为 0 0 1 2 ( , ), , x y e e   的 I 坐标分别为 11 21 12 22 ( , ),( , ) a a a a ，则 I 到 II 的过渡矩 阵是 A=         21 22 11 12 a a a a 定理 4.4 设 I 和 II 都是直角坐标系，则 I 和 II 的过渡矩阵 A 是正交矩阵；并且 II 到 I 的过渡矩阵是 A

证明因为=1，E=1,e1e,并且1是直角坐标系，所以有 ai1+a1=1,a2+a22=l,a1a2+a2a2=0. (4.18) 由命题4.4知，A是正交矩阵。 Ⅱ到I的过渡矩阵为A尸，由于A是正交矩阵，所以= I到Ⅱ的点的直角坐标变换公式为： - 于是，Ⅱ到1的点的直角坐标变换公式为： 月6-别 【到Ⅱ的点的直角坐标变换公式为： 日99 于是，Ⅱ到1的点的直角坐标变换公式为： 月aX0 4.3.2直角坐标变换中的过渡矩阵 直角坐标系I到Ⅱ的过渡矩阵A虽然有四个数，但是由于它是正交矩阵，满足(4.18) 中的三个方程，因此只有一个数是自由的。下面来详细时论这点。 平面上的仿射坐标系[O,e,e2]称为右手系，如果从e1逆时针旋转小于180°的角与e2 重合。反之称为左手系。对于直角坐标系米说，若e1旋转90°与e2重合，则为右手系：若e 旋转-90°与2重合，则为左手系 设[O,e,e2],O,e都是右手直角坐标系，O'化，%)，e(a,a,已(a2,az)。则有 au=eje =cos, aa=ee2 =cos an=ee=cos, a=e2e:=cos<,2

证明 因为 ' ' ' ' 1 2 1 2 e 1 1, = = ⊥ ，e e e ,并且 I 是直角坐标系，所以有 a a 1,a a 1,a a a a 0. 11 12 21 22 2 22 2 12 2 21 2 11 + = + = + = (4.18) 由命题 4.4 知， A 是正交矩阵。 II 到 I 的过渡矩阵为 1 A − ，由于 A 是正交矩阵，所以 1 t A A − = 。 I 到 II 的点的直角坐标变换公式为： . ' x ' 0 0 21 22 11 21         +                =        y x y x a a a a y 于是，II 到 I 的点的直角坐标变换公式为： . 1 ' ' 0 0 2 1 2 2 1 1 1 2 0 0 2 1 2 2 1 1 1 2         − −         =        − − −         =        y y x x a a a a y y x x a a a a y x I 到 II 的点的直角坐标变换公式为： . ' ' ' u ' 21 22 11 12         +                =        v u y x a a a a v 于是，II 到 I 的点的直角坐标变换公式为：         +                =        v u y x a a a a v ' ' ' u' 12 22 11 21 。 4.3.2 直角坐标变换中的过渡矩阵 直角坐标系 I 到 II 的过渡矩阵 A 虽然有四个数，但是由于它是正交矩阵，满足（4.18） 中的三个方程，因此只有一个数是自由的。下面来详细讨论这点。 平面上的仿射坐标系 [ ; , ] O e e 1 2 称为右手系，如果从 e1 逆时针旋转小于 1800 的角与 e2 重合。反之称为左手系。对于直角坐标系来说，若 e1 旋转 900 与 e2 重合，则为右手系；若 e1 旋转-900 与 e2 重合，则为左手系。 设 1 2 1 2 [ ; , ],[ ; , ] O e e O e e   都是右手直角坐标系， O ( , ), ( , ), ( , ) 0 0 1 11 21 2 12 22    x y e a a e a a 。则有 cos , , 1 ' 1 1 ' a11 = e1  e =  e e  cos , , 2 ' 2 1 ' a21 = e1  e =  e e  cos , , 1 ' 1 2 ' a12 = e2  e =  e e  ' ' 2 2 2 2 22 a e e e e =  =   cos ,

设反时针旋转角0便与e重合（如图4.2），分别讨论 22 这四种情况，可得 an=cos=cos0, az cossin0. a=cos=-sine, a22=cos=cos0, 从而I到Ⅱ的过渡矩阵为 -sin sin0 cos0 容易算出，4=1。 图4.2 ◆类似上述讨论得到：设日仍表示到已的转角，若I是右手直角坐标系，Ⅱ是左手直 角坐标系，则I到Ⅱ的过波矩阵为 4-m8 若1是左手直角坐标系，Ⅱ是右手直角坐标系，则1到Ⅱ的过渡矩阵为 4(m。 若，Ⅱ都是左手直角坐标系，则1到Ⅱ的过渡矩阵为 4(。副 定义410平面（或空间）的两个坐标系，如果它们都是右手系，或者它们都是左手系

设 e1 反时针旋转角  便与 1 e  重合（如图 4.2），分别讨论 3 3 0 2 2 2 2 2                    ， ， ， 这四种情况，可得 ' 1 11 1 a e e =  = cos , cos ， ' 2 21 1 a e e =  = cos , sin ， ' 1 12 2 a e e =  = cos , -sin ， ' 2 22 2 a e e =  = cos , cos ， 从而 I 到 II 的过渡矩阵为         − =     sin cos cos sin A 。 容易算出， A = 1。 *类似上述讨论得到：设  仍表示 e1 到 1 e  的转角，若 I 是右手直角坐标系，II 是左手直 角坐标系，则 I 到 II 的过渡矩阵为         =     sin - cos cos sin A ； 若 I 是左手直角坐标系，II 是右手直角坐标系，则 I 到 II 的过渡矩阵为         =     -sin - cos cos -sin A ； 若 I，II 都是左手直角坐标系，则 I 到 II 的过渡矩阵为         =     -sin cos cos sin A ； 定义 4.10 平面（或空间）的两个坐标系，如果它们都是右手系，或者它们都是左手系， 1 e 1 e e2 e2 ‘ e2 O O ‘ e1 图 4.2

则称它们是同定向的：如果一个是左手系，另一个是右手系，则称它们是反定向的。 从上面的讨论可以得到： 命题4.5设1和Ⅱ都是平面的直角坐标系，设到Ⅱ的过渡矩阵是反定向的充要条件 为4=1。 如无特别声明，今后所取的直角坐标系都是右手系。 4.3.3移轴公式和转轴公式 设[Oe,e2],[Oe,e都是右手直角坐标系，O'(x,),e(a1,a)到e,(a2,a2)转角 为0，则I到Ⅱ的点的坐标变换公式为 若0=0，则(423)成为 -60 (4.24) (424)戴是移轴公式 若0与0重合，则(4.23)成为 CX (4.25) (4.25)称为转轴公式。 (423.(4.24(425)说明，平面上任一右手直角坐标变换可以经过移轴和转轴得到，即对 于右手直角坐标系[O,e,e],[O,e,有 [0,c,2]移轴→[O;C,c2]转轴→[0：e,e] [O,C1,e2]转轴→[O;e,e2]移轴→[O;d1,c2] 述结论对于任意两个同定向的直角坐标系仍成立：但对于反定向的两个直角坐标系不成

则称它们是同定向的；如果一个是左手系，另一个是右手系，则称它们是反定向的。 从上面的讨论可以得到： 命题 4.5 设 I 和 II 都是平面的直角坐标系，设 I 到 II 的过渡矩阵是反定向的充要条件 为 A = -1。 如无特别声明，今后所取的直角坐标系都是右手系。 4.3.3 移轴公式和转轴公式 设 1 2 1 2 [ ; , ],[ ; , ] O e e O e e   都是右手直角坐标系， O ( , ), ( , ) 0 0 1 11 21   x y e a a 到 2 12 22 e a a ( , ) 转角 为  ，则 I 到 II 的点的坐标变换公式为         +                − =        0 0 ' ' sin cos x cos sin y x y x y     若  = 0 ，则(4.23)成为         +                =        0 0 ' ' 0 1 x 1 0 y x y x y , 即    = + = + 0 0 ' ' y y y x x x (4.24) (4.24)就是移轴公式。 若 O’与 O 重合,则(4.23)成为                 − =        ' ' sin cos x cos sin y x y     (4.25) (4.25)称为转轴公式。 (4.23),(4.24),(4.25)说明，平面上任一右手直角坐标变换可以经过移轴和转轴得到，即对 于右手直角坐标系 1 2 1 2 [ ; , ],[ ; , ] O e e O e e   ，有 ' ' 1 2 1 2 1 2 [O;e ,e ] [O ;e ,e ] [O ;e ,e ] ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→   移轴 转轴 或 ' ' 1 2 2 1 2 1 [O;e ,e ] [O ;e ,e ] [O ;e ,e ] ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→   转轴 移轴 上述结论对于任意两个同定向的直角坐标系仍成立；但对于反定向的两个直角坐标系不成 立

4.3.4例 例4.1在平面上设x,y轴在原坐标系中的方程分别为： 3x-4y+1=0,4x+3y-7=0, 且新、旧坐标系都是右手坐标系。求1到Ⅱ的点的坐标变换公式：直线：2x-y+3=0在 新坐标系中的方程：直线！2：x+2y-1=0在原坐标系中的方程。 解设原坐标系为0，e]l,新坐标系O,。解方程组3x-4y+l=0, 14x+3y-7=0. x=1,y=1。因此，O的1坐标是(1,1)。因为x轴的标准方程为： 的方向系数为(4,3)于是的1坐标为 则由(423)得1到Ⅱ的点的坐标变换公式为： 43 3 1:2x-y+3=0在新坐标系中的方程为： 2传-3w-得+3-0.r-2y4-0. Ⅱ到I的点的坐标变换公式为： :x+2y-1=0在原坐标系中的方程为 [t-0+6-+[3x-0+o-小-1-0.即2x-1+14-0 例42在平面右手直角坐标系中，求分式线性函数y=四+白.ad≠6c,C+0的图像。 cx+d 解先将所给函数适当变形，从而看出应怎样作坐标变换才能使此图形的方程简单

4.3.4 例 例 4.1 在平面上设 x y   , 轴在原坐标系中的方程分别为： 3 4 1 0,4 3 7 0 x y x y − + = + − = ， 且新、旧坐标系都是右手坐标系。求 I 到 II 的点的坐标变换公式；直线 1 l x y : 2 3 0 − + = 在 新坐标系中的方程；直线 2 l x y : 2 1 0   + − = 在原坐标系中的方程。 解 设原坐标系为 [ ; , ] O e e 1 2 I ，新坐标系 1 2 [ ; , ] O e e   。解方程组 3 4 1 0, 4 3 7 0. x y x y  − + =   + − = 得 x y = = 1, 1 。因此， O 的 I 坐标是（1,1）。因为 x  轴的标准方程为： 4 3 3 1 y x = + ，所以 x  轴 的方向系数为（4,3）于是 1 e  的 I 坐标为       5 3 5 4 ， 或       5 3 - 5 4 - ， 。下面取 1 e  的 I 坐标为       5 3 5 4 ， ， 则由（4.23）得 I 到 II 的点的坐标变换公式为：         +                    =        1 1 ' ' 5 4 5 3 5 3 - 5 4 x y x y 。 1 l x y : 2 3 0 − + = 在新坐标系中的方程为： ' 1 3 0 5 4 ' 5 3 ' 1 5 3 ' 5 4 2  + =       − + +      x − y + x y ，即 x'−2y'+4 = 0 。 II 到 I 的点的坐标变换公式为：         − −             − =        1 1 5 4 5 3 5 3 5 4 ' x' y x y 。 2 l x y : 2 1 0   + − = 在原坐标系中的方程为 ( ) ( ) ( 1) 1 0 5 4 ( 1) 5 3 1 5 3 1 5 4 − =       + − − + −       x − + y − x y ，即 2x −11y +14 = 0。 例 4.2 在平面右手直角坐标系中，求分式线性函数 ,  ,  0 + + = ad bc c cx d ax b y 的图像。 解 先将所给函数适当变形，从而看出应怎样作坐标变换才能使此图形的方程简单