《解析几何》课程授课教案（讲义）第三章 常见曲面

第三章常见曲面 §3.1球面和旋转面 1.1球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点M(,半径为R≥0的球面方程。根据以下充分必要条件 M(x,y,)在球面上一MoM=R, 型 (x-x)}+(0-%)2+(-)2=R2 (3.1) 展开得 x2+y2+z2+2bx+2by+2b:+c=0, (3.2) 其中，么=-,么=-%4=-c=x2+2+2-R。(3.1)或3.2)就是所求球面方 程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(x以x,上项)，平方项的系数相同。反之，任一形 如(3.2)的方程经过配方后可写成： (x+)2+(y+b)2+(e+b)2+c-b2-b,2-b2=0. 当b2+b,2+b2>c时，它表示一个球心在（仁b,-b,-b),半径为2+b2+b2-c的 球面：当b2+b,2+b2=c时，它表示一个点(b-b2,-b):当b2+b,2+b2<c时，它 没有轨迹（或者说它表示一个虚球面）。 1.2球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为R,在球面上任取一点M(x,y,),从M作xOy面的垂线，垂 足为N,连OM,ON。设x轴到ON的角度为0，ON到OM的角度为B(M在xOy面 上方时，0为正，反之为负)，则有 [x=Rcosecoso, y=Rcosesino, 0sp<2-号s0s号 (3.3) =Rsin0, (3.3)称为球心在原点，半径为R的球面的参数方程，有两个参数Q,0,其中0称为经度

1 第三章 常 见 曲 面 §3.1 球面和旋转面 1.1 球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点 ( ) 0 0 0 0 M x , y ,z ，半径为 R  0 的球面方程。根据以下充分必要条件 M x y z ( , , ) 在球面上  = M M R 0 ， 得 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 x x y y z z R − + − + − = ， （3.1） 展开得 2 2 2 1 2 3 x y z b x b y b z c + + + + + + = 2 2 2 0, （3.2） 其中， 2 2 2 2 1 0 2 0 3 0, 0 0 0 b x b y b z c x y z R = − = − = − = + + − , , 。 (3.1)或(3.2)就是所求球面方 程，它是一个三元二次方程，没有交叉项( xy, xz, yz 项),平方项的系数相同。反之，任一形 如（3.2）的方程经过配方后可写成： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 x b y b z b c b b b + + + + + + − − − = 0 ， 当 b +b +b  c 2 3 2 2 2 1 时，它表示一个球心在 ( ) 1 2 3 −b ,−b ,−b ，半径为 b +b +b −c 2 3 2 2 2 1 的 球面；当 b +b +b = c 2 3 2 2 2 1 时，它表示一个点 ( ) 1, 2 3 −b −b ,−b ；当 b +b +b  c 2 3 2 2 2 1 时，它 没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。 1.2 球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为 R ，在球面上任取一点 M(x, y,z) ,从 M 作 xOy 面的垂线，垂 足为 N ，连 OM ON , 。设 x 轴到 ON 的角度为  ，ON 到 OM 的角度为  ( M 在 xOy 面 上方时，  为正，反之为负)，则有 cos cos , cos sin , 0 2 , . 2 2 sin , x R y R z R            =   =   −     = （3.3） (3.3)称为球心在原点，半径为 R 的球面的参数方程，有两个参数 , ，其中  称为经度

日称为纬度。球面上的每一个点（除去它与：轴的交点）对应唯一的对实数(0，)，因此(0，) 称为球面上点的曲纹坐标。 生1香和-ae的2n0号引考a0)g于-0 表示经 过：轴的半平面与球面的交线-一半个大圆，(3.3)是该半个大圆的直角坐标的参数方程， p=风∈020[受引]是该半平面的球面坐标方起：若0=风e0),pR, 则a3)等价于r+y广=Rcos ,表示以：轴为对称轴的圆柱面x2+y2=R2cos20 (=Rsin0 与平面：=Rsin0的交线-半径为Rcos0的圆，(3.3)是该圆的直角坐标的参数方程，而 方程0=6，∈0，π/2)的常数，oeR是该圆的球面坐标方程。 因为空间中任一点M(x,y,)必在以原点为球心，以R=OM为半径的球面上，而球 面上点（除去它与：轴的交点外）又由它的曲纹坐标（日，）唯一确定，因此，除去z轴外， 空间中的点M由有序三元实数组(RO,p)唯一确定。我们把(R,0,p)称为空间中点W的球 面坐标（或空间极坐标.其中R≥0，-受≤0≤号05≤2点M的球面坐标化8可） 2 与M的直角坐标(x,y,)的关系为 [x=Rcos0coso, R20, (3.4) ==Rsin0. p∈[0,2π) 注2在(3.4)中，若R=a>0常数，0∈ pe[0,2),则(3.40台x2+y2+z2=ad [x=. 台{y=Rcos0sinp,0 [ππ 22 (*),表示以原点为球心，以a为半径的球面，(*) z=Rsin0,p∈[0,2π) 是该球面的直角坐标的参数方程，R=a>0是该球面的球面坐标方程；若 p=%∈[0,2π)，R≥0,0∈[0，π/2)，则(3.4)等价于直角坐标方程

2  称为纬度。球面上的每一个点(除去它与 z 轴的交点)对应唯一的对实数 (,) ，因此 (,) 称为球面上点的曲纹坐标。 注 1 若 0 [0,2 ), , 2 2         =   −    ，则（3.3）等价于 0 0 2 2 2 2 sin cos 0 x y x y z R    − =   + + = ，表示经 过 z 轴的半平面与球面的交线-半个大圆，（3.3）是该半个大圆的直角坐标的参数方程， 0 [0,2 ), , 2 2         =   −    是该半平面的球面坐标方程；若 0    = [0, 2) ，  R ， 则（3.3）等价于 2 2 2 2 cos sin x y R z R    + =   = ，表示以 z 轴为对称轴的圆柱面 2 2 2 2 x y R + = cos  与平面 z R= sin 的交线-半径为 Rcos 的圆，（3.3）是该圆的直角坐标的参数方程，而 方程 0    = [0, 2) 的常数，   R 是该圆的球面坐标方程。 因为空间中任一点 M(x, y,z) 必在以原点为球心，以 R OM = 为半径的球面上，而球 面上点（除去它与 z 轴的交点外）又由它的曲纹坐标 (,) 唯一确定，因此，除去 z 轴外， 空间中的点 M 由有序三元实数组 (R,,) 唯一确定。我们把 (R,,) 称为空间中点 M 的球 面坐标（或空间极坐标），其中 R  0， ,0 2 2 2   −        。点 M 的球面坐标 (R,,) 与 M 的直角坐标 (x, y,z) 的关系为 cos cos , 0, cos sin , - , , 2 2 sin , [0,2 ) x R R y R z R            =       =         =  （3.4） 注2在（3.4）中，若 R a =  0 常数， - , , [0, 2 ) 2 2              ，则（3.4） 2 2 2 2  + + = x y z a cos cos , cos sin , - , 2 2 sin , [0,2 ) x R y R z R            =      =          =  （*），表示以原点为球心，以 a 为半径的球面，（*） 是 该 球 面 的 直 角 坐 标 的 参 数 方 程 ， R a =  0 是 该 球 面 的 球 面 坐 标 方 程 ； 若 0    = [0,2 ) ， R   0, [0, 2)   ， 则 （ 3.4 ）等价于直角坐标方程

sinx-ycos%=0,表示经过：轴的半平面， =Rsin0, 平面的直角坐标的参数方程，方程p=%,∈[0,2π)是该半平面的球面坐标方程：若 0=0∈[0，π/2)的常数，R≥0，p∈[0,2π)，则(3.4)等价于直角坐标方程 x2+y2=z2an20,这是关于x,八，：的三元二次方程，表示以原点为顶点的半圆锥面， x=Rcos0cos0,R≥0 y=Rcoseo sin, 是该半圆锥面的直角坐标的参数方程，而方程0=A∈[0，π/2) ==Rsin0,oE[0.2) 是该半圆锥面的球面坐标方程。 1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程(3.2)和球面的参数方程(3.3)看到，一般来说，曲面的普通方程是一 个三元方程Fx,y,:)0,曲面的参数方程是含有两个参数的方程： x=x(4,v), y=(以， a≤u≤b,c≤v≤d, (3.5) 2=(u,v, 其中，对于(u,)的每一对值，由(3.5)确定的点(：，)在此曲面上：而此曲面上任一点 的坐标都可由(u,)的某一对值(3.5)表示。于是通过曲面的参数方程(3.5)，曲面上的 点（可能要除去个别点）使可以由数对（山，）来确定，因此(4，y)称为曲面上的曲纹坐标。 空间中曲线的普通方程是两个三元方程的联立： F(xy,z)=0, G(x,)=0 即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线。曲线的参数方程是含有一个参数的方程： x=x1)3 {y=y), a≤1≤b. (3.6) 2=() 其中，对于(a≤1≤b)的每一个值，由(3.6)确定的点(x,y,)在此曲线上，而此曲线上 任一点的坐标都可由1的某个值通过(3.6)表示。 3

3 0 0 sin cos 0   x y − = ，表示经过 z 轴的半平面， 0 0 cos cos , cos sin , - , 2 2 sin , x R y R z R          =      =         = 是该半 平面的直角坐标的参数方程，方程 0    = [0,2 ) 是该半平面的球面坐标方程；若 0    = [0, 2) 的常数 ， R   0, [0,2 )   ，则（ 3.4 ） 等 价 于 直 角 坐 标 方 程 2 2 2 2 0 x y z + = tan  ，这是关于 x y z , , 的三元二次方程，表示以原点为顶点的半圆锥面， 0 0 0 cos cos , 0 cos sin , sin , [0,2 ) x R R y R z R         =    =   =  是该半圆锥面的直角坐标的参数方程，而方程 0    = [0, 2) 是该半圆锥面的球面坐标方程。 1.3 曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一 个三元方程 F(x, y,z) =0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程： ( , ), ( , ), , , ( , ), x x u v y y u v a u b c v d z z u v  =   =       = （3.5） 其中，对于 (u,v) 的每一对值，由（3.5）确定的点 (x, y,z) 在此曲面上；而此曲面上任一点 的坐标都可由 (u,v) 的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的 点（可能要除去个别点）便可以由数对 (u,v) 来确定，因此 (u,v) 称为曲面上的曲纹坐标。 空间中曲线的普通方程是两个三元方程的联立： ( , , ) 0, ( , , ) 0. F x y z G x y z  =   = 即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线。曲线的参数方程是含有一个参数的方程： ( ), ( ), , ( ), x x t y y t a t b z z t  =   =     = （3.6） 其中，对于 t(a  t  b) 的每一个值，由（3.6）确定的点 (x, y,z) 在此曲线上，而此曲线上 任一点的坐标都可由 t 的某个值通过（3.6）表示

例1球面x2+y2+z2=R2与xOy平面相交所得的圆的普通方程为： x2+y2+2=R2 二=0. 而这个圆的参数方程是： [x=Rcoso, y=Rsino,0≤p≤2π 2=0 例2如果空间一点从A(a,0,0)出发，一方面在圆柱面x2+y2=a2上以角速度0绕： 轴旋转，同时又以线速度v沿平行：轴的正方向上升（其中，都是常数），其中y%=b 那么点M构成的图形叫做螺旋线（圆柱螺线），试建立其参数方程。 解：设1秒后点从A(a,0,0)运动到M(x,y,),不妨设M是第一卦限的点，设 B(x,y0),C(x,0,0)分别是M在xOy坐标面上和x轴上的投影点，则 ∠OBM=π/2，∠COB=a,OB=a,BM=W,所以 OM=OC+CB+BM=acosote+asin ote:+vtes =(acosot,asin@t,vt)=(acosot,asin t,0)+(0,0,vt), 显然这是点绕：轴作角速度为)的圆周运动与该点沿：轴方向作线速度为的直线运动的 合成。令O=,又因为v=b@,所以圆柱螺线的坐标式参数方程为 [x=acos0=acoso y=asin0=asin,0∈R, =60=bot 向量式参数方程为r(0)=(acos,asin0,b),0∈R。 1.4旋转面 球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面。下面研究更一般的情形。 一、旋转面的定义 定义3.1一条曲线「上每个点M。绕I旋转得到一个圆，称为纬圆，纬圆与轴垂直，过1的 半个平面与旋转面的交线为经线（或子午线）。经线可以作为母线，但母线不一定是经线。 二、旋转面的方程的求法 旋转面母线方程为一般方程时，旋转面的方程的求法 4

4 例 1 球面 x y z R 与xOy 2 2 2 2 + + = 平面相交所得的圆的普通方程为： 2 2 2 2 , 0. x y z R z  + + =   = 而这个圆的参数方程是： cos , sin , 0 2 . 0 x R y R z      =   =     = 例 2 如果空间一点从 A a( ,0,0) 出发，一方面在圆柱面 2 2 2 x y a + = 上以角速度  绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行 z 轴的正方向上升（其中 ,v 都是常数），其中 v b  = ， 那么点 M 构成的图形叫做螺旋线（圆柱螺线），试建立其参数方程。 解：设 t 秒后点从 A a( ,0,0) 运动到 M x y z ( , , ) ，不妨设 M 是第一卦限的点，设 B x y C x ( , ,0), ( ,0,0) 分别是 M 在 xoy 坐 标 面 上 和 x 轴 上 的 投 影 点 ， 则  =  = = = OBM COB t OB a BM vt   2, , , ，所以 cos sin 1 2 3 ( cos , sin , ) ( cos , sin ,0) (0,0, ), OM OC CB BM a te a te vte a t a t vt a t a t vt       = + + = + + = = + 显然这是点绕 z 轴作角速度为  的圆周运动与该点沿 z 轴方向作线速度为 v 的直线运动的 合成。令  = t ，又因为 v b =  ，所以圆柱螺线的坐标式参数方程为 cos cos sin sin , x a a t y a a t R z b b t         = =   = =    = = ， 向量式参数方程为 r a a b R ( ) ( cos , sin , ),      =  。 1.4 旋转面 球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面。下面研究更一般的情形。 一、旋转面的定义 定义 3.1 一条曲线  上每个点 M0 绕 l 旋转得到一个圆，称为纬圆，纬圆与轴垂直，过 l 的 半个平面与旋转面的交线为经线（或子午线）。经线可以作为母线，但母线不一定是经线。 二、旋转面的方程的求法 旋转面母线方程为一般方程时，旋转面的方程的求法

1、已知轴1过点M(,片，方向向量为，m,，母线Γ的方程为： ∫F(xy,)=0 ,点M(化，y,)在旋转面上的充分必要条件是M在经过母线「上某一点 G(x,y,)=0 M(xo,o,o)的纬圆上（如图3.2）。即，有母线「上的一点M。使得M和M到轴1的距 离相等（或到轴上一点M,的距离相等）：并且M。M⊥1。因此，有 F(x,0,0）=0, G(h,)=0, (3.7) MM×=MoMx, U(x-x)+m(y-%)+n(e-o)=0. 从这个方程中消去参数x,就得到x八，：的方程，它就是所求旋转面的方程。 2、旋转面母线方程为参数方程时，旋转面的方程的求法 己知旋转面的母线的参数方程为C:P(v)=(f(v),g(v),(v),a≤v≤b,旋转轴直线方 程为L:二五==当=二三，则纬圆族方程为 m 1(x-f(v)+my-g(v)+n(:-hv)=0 (-广+0v-+e-)'=(fm)-x)2+(g)-y)》2+(h)-)2' 消去参数ⅴ既得所求的旋转曲面的一般方程。 注1当旋转辅直线为：轴时，纬圆族为，)=0 气r+广+子=f+g)+当旋 转轴为x,y轴时，有相应的纬圆族。 假3求直线子-。绕直线x=少=：奖转所得的族装面的方程 解：设M,(:,片，)是母线上的任意点，因为旋转轴过原点，所以过M,的纬圆方程为 1×(x-x)+1x0y-y)1×(e-)=0, (1) x2+y2+2=x2++ 由于M在得线上，所以又有子-，即 x=2%,51=1, (2) 由(1)，(2)消去x,片，二，得所求旋转面方程为 5

5 1、已知轴 l 过点 ( ) 1 1 1 1 M x , y ,z ，方向向量为 v(l,m,n) ，母线  的方程为： ( , , ) 0 ( , , ) 0 F x y z G x y z  =   = ， 点 M(x, y,z) 在旋转面上的充分必要条件是 M 在经过母线  上某一点 ( ) 0 0 0 0 M x , y ,z 的纬圆上（如图 3.2）。即，有母线  上的一点 M0 使得 M和M0 到轴 l 的距 离相等（或到轴上一点 M1 的距离相等）；并且 M M ⊥ l 0 。因此，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 , , 0, , , 0, . , 0. F x y z G x y z MM M M l x x m y y n z z    =  =    =    − + − + − =  （3.7） 从这个方程中消去参数 0 0 0, x , y ,z 就得到 x, y,z 的方程，它就是所求旋转面的方程。 2、旋转面母线方程为参数方程时，旋转面的方程的求法 已知旋转面的母线的参数方程为 C v f v g v h v a v b : ( ) ( ( ), ( ), ( )),  =   ，旋转轴直线方 程为 1 1 1 : x x y y z z L l m n − − − = = ，则纬圆族方程为 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ( )) ( ( )) ( ( )) 0 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) l x f v m y g v n z h v x x y y z z f v x g v y h v z  − + − + − =   − + − + − = − + − + − ， 消去参数 v 既得所求的旋转曲面的一般方程。 注 1 当旋转轴直线为 z 轴时，纬圆族为 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) z h v x y z f v g v h v  − =   + + = + + ，当旋 转轴为 x y, 轴时，有相应的纬圆族。 例 3 求直线 1 2 1 0 x y z − = = 绕直线 x y z = = 旋转所得的旋转面的方程。 解：设 1 1 1 1 M x y z ( , , ) 是母线上的任意点，因为旋转轴过原点，所以过 M1 的纬圆方程为 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) 1 ( )1 ( ) 0, ; x x y y z z x y z x y z   − +  −  − =   + + = + + （1） 由于 1 1 1 1 M x y z ( , , ) 在母线上，所以又有 1 1 1 1 2 1 0 x y z − = = ，即 1 1 1 x y z = = 2 , 1， （2） 由（1），（2）消去 1 1 1 x y z , , 得所求旋转面方程为

+r+2-2x+y*:-. 例4求)抽绕直线L子一宁一的旋转面方促，为新它是什么自面？ 杯法1得践)推的一校方程为任二0线L音-片-上的定取以@Q0, [x=0 方前的防.由器e-0商3得 x2+y2+2=x+y片+ x2+y2+2=(-x+y+}台y+x知-z=0 它是二次曲面中的圆维面。 x=0 法2。母线y轴的参数方程为y=V,V∈R,轴线上的定点取M(0,0,0),方向向量 2=0 为c8仁0产生我面有酒 y+x-z=0, 它是二次曲面中的圆锥面。 三、坐标平面上的曲线绕某坐标轴在旋转所得旋转面的方程 现在设M(x,片，)旋转轴为：轴，母线「在O:平面上，其方程为： f(xy)=0, x=0、 则点M(x,八，)在旋转面上的充分必要条件是： f(o)=0, =0 x2+y2=x02+2, 1(e-0）=0. 消去参数，%，。，得∫±√+y,=0。这就是所求旋转面的方程。 由此看出，为了得到O上平面上的曲线「绕：轴旋转所得的旋转面方程，只要将母线 『在O:平面上的方程中y改成士Vx2+y2,:不动。坐标平面上的曲线绕坐标轴所得旋 转面方程都有类似的规律。 6

6 2 2 2 2 9 ( 1) 5 x y z x y z + + = + + − 。 例 4 求 y 轴绕直线 : 1 1 1 x y z L = = − 的旋转面方程，判断它是什么曲面？ 解：法 1。母线 y 轴的一般方程为 0 0 x z  =   = ，轴线 : 1 1 1 x y z L = = − 上的定点取 0 M (0,0,0) ， 方向向量为 v( 1,1,1) − 。由题意得 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 x z x x y y z z x y z x y z  =   =  − − + − + − =    + + = + + ，消去 1 1 1 x y z , , 得 2 2 2 2 x y z x y z xy xz yz + + = − + +  + − = ( ) 0， 它是二次曲面中的圆锥面。 法 2。母线 y 轴的参数方程为 0 , 0 x y v v R z  =   =    = ，轴线上的定点取 0 M (0,0,0) ，方向向量 为 v( 1,1,1) − 。由题意得纬圆族 2 2 2 2 2 2 2 ( 0) ( ) ( 0) 0 0 0 x y v z x y z v v − − + − + − =   + + = + + = 产生旋转曲面，消去 v 得 xy xz yz + − = 0， 它是二次曲面中的圆锥面。 三、坐标平面上的曲线绕某坐标轴在旋转所得旋转面的方程 现在设 ( , , ) 1 1 1 M x y z 旋转轴为 z 轴，母线  在 yOz 平面上，其方程为： ( , 0, ) 0, f x y x  =   = 则点 M(x, y,z) 在旋转面上的充分必要条件是： ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 , 0, 0, , 1 0. f y z x x y x y z z  =   =  + = +    − =  消去参数 0 0 0 x y z , , ，得 ( ) 2 2 f x y z  + = , 0 。这就是所求旋转面的方程。 由此看出，为了得到 yOz 平面上的曲线  绕 z 轴旋转所得的旋转面方程，只要将母线  在 yOz 平面上的方程中 y 改成 2 2  x + y ，z 不动。坐标平面上的曲线绕坐标轴所得旋 转面方程都有类似的规律

[x=f(v), 若母线r的参数方程为y=8,vea,、则r绕：轴旋转所得的旋转面参数方程 [==h(v), x=√f(w)+g(w)cosu y=Vf(w)+g(v)sinu,u∈0,2πvea,b (3.9) :=hv, 证明在母线上任取一点Mo(f(,),g(,),h(,),过M。的纬圆所在平面：=h,)与 :轴交于M0,0,M》,所以过M。的纬圆半径为r=MM=√广()+g(),从而 x=V产(o)+g)cosu y=Vf()+g2o)sinuu∈0,2π，ve[a,b 过M,的纬圆参数方程为 ,当M,在纬 ==h(va) 圆上运动时可得(3.9)。 当母线厂为o:面上的曲线时，「绕：轴旋转所得的旋转面参数方程 x=g(v)cosu y=g(v)sinu,ue[0,2π)，v∈[a,b] (3.10) =h(V). 四、应用举例 例5每线Γ少=2P严绕：轴旋转所得院转面方程为广+y广=2匹，这个曲面称 x=0 为旋转抛物面（如图3.4）。 丝学人己店绕x挡旋按所得曲面方程为名-广十1这 2=0 62 为成片双时风面国3「货)推炎销新得自面方程为产兰-茶=1，这个 称为旋转单叶双曲面（如图3.5）。 例7-a+子=户，0<<a,绕：轴旋所得面为 y=0, F+y-a+2=r2

7 若母线  的参数方程为 ( ), ( ), [ , ], ( ), x f v y g v v a b z h v  =   =    = 则  绕 z 轴旋转所得的旋转面参数方程 2 2 2 2 ( ) ( ) cos [0, 2 ), [ , ] ( ) ( ) sin , ( ), x f v g v u u v a b y f v g v u z h v   = +   = +     = 。 （3.9） 证明 在母线上任取一点 0 0 0 0 M f v g v h v ( ( ), ( ), ( )) ，过 M0 的纬圆所在平面 0 z h v = ( ) 与 z 轴交于 0 M h v (0,0, ( )) ，所以过 M0 的纬圆半径为 2 2 0 0 0 r MM f v g v = = + ( ) ( ) ，从而 过 M0 的纬圆参数方程为 2 2 0 0 2 2 0 0 0 ( ) ( ) cos [0, 2 ), [ , ] ( ) ( ) sin ( ) x f v g v u u v a b y f v g v u z h v   = +   = +     = ，当 M0 在纬 圆上运动时可得（3.9）。 当母线  为 yoz 面上的曲线时，  绕 z 轴旋转所得的旋转面参数方程 ( )cos ( )sin , [0,2 ), [ , ]. ( ), x g v u y g v u u v a b z h v   =   =     = （3.10） 四、应用举例 例 5 母线  2 2 0 y pz x  =   = 绕 z 轴旋转所得旋转面方程为 x y 2pz 2 2 + = ，这个曲面称 为旋转抛物面（如图 3.4）。 例 6 母线  2 2 2 2 1 0 x y a b z   − =    = 绕 x 轴旋转所得曲面方程为 1 2 2 2 2 2 = + − b y z a x 。这个曲面称 为旋转双叶双曲面（如图 3.4）。  绕 y 轴旋转所得曲面方程为 2 2 2 2 2 1 x z y a b + − = ，这个曲面 称为旋转单叶双曲面（如图 3.5）。 例 7 圆 ( ) 2 2 2 , 0 0, x a z r r a y  − + =     = ，绕 z 轴旋所得曲面为 ( ) 2 2 2 2 2  x + y − a + z = r

(x2+y2+22+a2-r2）=4a2(x2+y2） 这个曲面称为环面（如图3.6）。 (x=a, 例8已知直线L的参数方程为=mv∈R 求直线L绕：轴旋所得曲面的方程， ==-bv, 它是什么曲面？ x=va+a'v2 cosu 解：法1.由(8.9)得旋转曲面的参数方程为=从. y=Va+av sinu,ue[0.27)vER 清去参数用号+号一后1，表示奖转华叶风甜面。 法2。由注1得，纬圆族+加=0 r+y+:2=a)+(am+←bm,消去p,得 法3。直母线L的一般方程为 x-a=0 ,+正=0'由题意得纬圆族方程为 x-a=0 y+a,=0 2-9=0 x2+y2+2=x++ 清去，得名=a=一，=，代入到方程+少+：=矿++得到 二+号-京=1，表示旋特单叶双自面。 例9设（和2是两条异面直线，它们不垂直，求1，绕！旋转所得曲面的方程。 解设l,和2的距离为a,以和，的公垂线为x轴，且命名与x轴的交点(a,0,0), 建立一个右手直角坐标系。设山2的方向向量为化，m,),因为l,与x轴垂直，所以下1=0

8 即 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z a r a x y + + + − = + 4 ， 这个曲面称为环面（如图 3.6）。 例 8 已知直线 L 的参数方程为 , , , x a y av v R z bv  =   =    = − ，求直线 L 绕 z 轴旋所得曲面的方程， 它是什么曲面？ 解：法 1。由（3.9）得旋转曲面的参数方程为 2 2 2 2 2 2 cos [0, 2 ), sin , ( ), x a a v u u v R y a a v u z h v   = +   = +     = ， 消去参数 u v, 得 2 2 2 2 2 2 1 x y z a a b + − = ，表示旋转单叶双曲面。 法 2。 由注 1 得，纬圆族 2 2 2 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) z bv x y z a v av bv  + =   + + = + + − ，消去 v ，得 2 2 2 2 2 2 1 x y z a a b + − = ，表示旋转单叶双曲面。 法 3。 直母线 L 的一般方程为 0 0 x a by az  − =   + = ，由题意得纬圆族方程为 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x a by az z z x y z x y z  − =   + =  − =    + + = + + ， 消去 1 1 1 x y z , , 得 1 1 1 , , a x a y z z z b = = − = ，代入到方程 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + = + + 得到 2 2 2 2 2 2 1 x y z a a b + − = ，表示旋转单叶双曲面。 例 9 设 1 2 l 和l 是两条异面直线，它们不垂直，求 2 l 绕 1 l 旋转所得曲面的方程。 解 设 1 l 和 2 l 的距离为 a，以 1 l 和 2 l 的公垂线为 x 轴，且命名 2 l 与 x 轴的交点 (a,0,0)， 建立一个右手直角坐标系。设 2 l 的方向向量为 v(l,m,n), 因为 2 l 与 x 轴垂直，所以 v e1 = 0

得1=0。因为l,与异面，所以v不平行于，于是m≠0。因此可设v的坐标为(0,1b) 因为1与l,不垂直，所以v3≠0，于是b≠0。因此，的参数方程为 [x=a, y=t, -0<t<+n. =bl 点M在旋转面上的充分必要条件是 =a, yo=1, z=b1. x2+y2=x02+02, 1(e-o)=0 云+不=，这是旋转单叶双曲面。 消去参数x。,o,o,得x之+少=+京·即+ 例3.6求以r为半径，以h为高的圆维面的一般方程或参数方程。 解法1。取圆锥的顶点为坐标原点，以底面圆心和顶点所在的直线为：轴建立空间直 2-4 角坐标系，则底面与o坐标面的一个交点为A0,)。线段OA: ,(0≤y≤r) x=0 绕：箱的旋转南面统是所求的圆雕面，它的一般方程为S:一上F+少，定义设为 D={x2+y2≤r2}. 法2.任取MeO4,则 ,过M,的纬圆为三0 x=0 x2+y2+2=x++2 消去，一得它的一般方程为S:=么+了. 法3。线段OA的参数方程为OA:p(v)=(0,m,m),0≤v≤1。它绕：轴旋转所得旋转 曲面的参数方程为S:p(u,)=(cos4,sin,m),0≤42π，0svs1。 法4.线段OA的参数方程的坐标形式为OA:x=0,y=m,:=m,0≤v≤1.曲线族（纬 9

9 得 l = 0 。因为 2 1 l 与l 异面，所以 v 不平行于 e3 ，于是 m  0 。因此可设 v 的坐标为 (0,1,b)。 因为 1 l 与 2 l 不垂直，所以 ve3  0, 于是 b  0 。因此， 2 l 的参数方程为 , , . , x a y t t z bt  =   = −    +   = 点 M 在旋转面上的充分必要条件是 ( ) 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 , , , , 1 0. x a y t z bt x y x y z z  =  =   =   + = +    − =  消去参数 x , y ,z ,t 0 0 0 得 2 2 2 2 2 z x y a b + = + ，即 1 2 2 2 2 2 2 2 + − = a b z a y a x ，这是旋转单叶双曲面。 例 3.6 求以 r 为半径，以 h 为高的圆锥面的一般方程或参数方程。 解 法 1。取圆锥的顶点为坐标原点，以底面圆心和顶点所在的直线为 z 轴建立空间直 角坐标系，则底面与 yoz 坐标面的一个交点为 A r h (0, , ) 。线段 : ,(0 ) 0 h z y OA y r r x   =      = ， 绕 z 轴的旋转曲面就是所求的圆锥面，它的一般方程为 2 2 : h S z x y r = + ，定义域为 2 2 2 D x y r = +  { }。 法 2。任取 M OA 1  ，则 1 1 1 0 h z y r x   =    = ，过 M1 的纬圆为 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 z z 0 x y z x y z  − =   + + = + + ， 消去 1 1 1 x y z , , 得它的一般方程为 2 2 : h S z x y r = + 。 法 3。线段 OA 的参数方程为 OA v rv hv v : ( ) (0, , ),0 1  =   。它绕 z 轴旋转所得旋转 曲面的参数方程为 S u v rv u rv u hv u v : ( , ) ( cos , sin , ),0 2 ,0 1   =     。 法 4。线段 OA 的参数方程的坐标形式为 OA x y rv z hv v : 0, , ,0 1 = = =   。曲线族（纬

圆族)-加=00≤r≤1 x2+y2+2=02+(R2+(hm 产生旋转曲面，消去参数v得S:=F+少 法5。以圆C:x2+y2=r2,:=h为准线，顶点在原点的锥面就是所求的锥面。任取 4(,h)eC,则+=r 。又过M,得直母线方程为OM:X=上=三，则过 3=h X1另1 x+=r2 原点的直母线族由：=h构成，它产生旋转曲面，消去参数x,片，二得圆维面的 x 般方程S:=么F+乎. 法6。因圆锥面的准线方程为C:x2+y2=2,:=h为，顶点在原点，所以曲线族 (x)2+0)2=r ,1≥1产生曲面，清去参数1得圆锥面的一般方程S:=”√2+y。 t=h 法7。因圆锥面的准线圆C的参数方程为C:p()=(rcos私，rsinu,hM),0≤u≤2π。又 顶点在原点，所以圆锥面的参数方程为 S:r(u,v)=(cosu,vsinu,hm),0≤u≤2π，0≤v≤1。 法8。因圆维面可以看做是直母线与：轴成定角的动直线的轨迹，设半顶角为α得 tana-cosa=cos OMes h P+r+P+F 化简得圆面的一般方程S:=+了。 注2旋转曲面有一次旋转曲面、二次旋转曲面、高次旋转曲面和其他旋转曲面。如直线 y=4,=0绕y抽旋转得到的曲面是少=a平面，是一次曲面。曲面+上- aa ab=1. 若+长-1后-卡广=2孤是=次面国环面是4次面，=m:=0绕x销

10 圆族） 2 2 2 2 2 2 0,0 1 0 ( ) ( ) z hv v x y z Rv hv  − =     + + = + + 产生旋转曲面，消去参数 v 得 2 2 : h S z x y r = + 。 法 5。以圆 2 2 2 C x y r z h : , + = = 为准线，顶点在原点的锥面就是所求的锥面。任取 1 1 1 1 M x y z C ( , , ) ，则 2 2 2 1 1 1 x y r z h  + =   = 。又过 M1 得直母线方程为 1 1 1 1 : x y z OM x y z = = ，则过 原点的直母线族由 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x y r z h x y z x y z   + =   =   = =  构成，它产生旋转曲面，消去参数 1 1 1 x y z , , 得圆锥面的一 般方程 2 2 : h S z x y r = + 。 法 6。因圆锥面的准线方程为 2 2 2 C x y r z h : , + = = 为，顶点在原点，所以曲线族 2 2 2 ( ) ( ) , 1 xt yt r t zt h  + =    = 产生曲面，消去参数 t 得圆锥面的一般方程 2 2 : h S z x y r = + 。 法 7。因圆锥面的准线圆 C 的参数方程为 C u r u r u h u : ( ) ( cos , sin , ),0 2   =   。又 顶点在原点，所以圆锥面的参数方程为 S r u v rv u rv u hv u v : ( , ) ( cos , sin , ),0 2 ,0 1 =      。 法 8。因圆锥面可以看做是直母线与 z 轴成定角的动直线的轨迹，设半顶角为  得 2 2 tan , cos r h h r h   = = + 。若任意点 M x y z ( , , ) 在圆锥面上，则 3 3 2 2 2 2 2 tan , cos cos , r h OM e z OM e h OM x y z r h   = =  = = = + + + ， 化简得圆锥面的一般方程 2 2 : h S z x y r = + 。 注 2 旋转曲面有一次旋转曲面、二次旋转曲面、高次旋转曲面和其他旋转曲面。如直线 y a x = = , 0 绕 y 轴旋转得到的曲面是 y a = 平面，是一次曲面。曲面 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z a a a b + − = ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1, 1, 2 x y x y y px a b a b + = − = = 是二次曲面，圆环面是 4 次曲面， y x z = = sin , 0 绕 x 轴