《数学分析》课程教学资源（作业习题）二重积分的计算习题讨论（含解答

二重积的计算习题讨论 讨论题目： 1.计算累次积分 1-m器+sn路 2.计算二重积分1=小V-do, 其中D={《x,y)Max(x.ly)s1. 3来二重积分：1-行o, 2554 米：1-倍-如 其中D=《x,yx2+y2≤R2} 5.求二重积分： 6.求三重积分：I-[「x+y+ 其中n=0≤iP-:1 E≤Vx2+y7 7.设f:cR→R,feC(Q, Q是半径为R,球心在原点的球面S所围成之域， A=Maxf(P)PES),VPeQ,Igradfs M, 正明：1=h≤4+

二重积的计算习题讨论 讨 论 题 目: 1. 计算累次积分 ∫∫∫∫ = + 24 2 2 1 2 2 x x x dy y x Sindxdy y x SindxI π π 2. 计算二重积分 ∫∫ −−= D dyxI σ 22 1 , 其中 = { } ( ) ( yxMaxyxD ) ≤1, . 3. 求二重积分: ∫∫ = D d yx I σ 1 , 其中 ( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ + ≤ ≤ + ≤ = 2 4 2 4 , 22 22 yx y yx x yxD . 4. 求二重积分: ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + = D d y f x x f y yx I σ 22 1 其中 {( ) } 222 = , ≤+ RyxyxD . 5. 求二重积分: ∫∫ ≤+ −− + = 1 22 22 2 yx dyx yx I σ 6. 求三重积分: ( )dvzyxI ∫∫∫ Ω ++= 其中 ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤ −−≤≤ =Ω 22 22 10 , yxz zyz zyx . 7. 设 →⊂Ω RRf + , , 3 : ( ) Ω∈ 1 Cf Ω 是半径为 R ，球心在原点的球面 S 所围成之域， 且 = ( ) ( ) ∈ SPPfMaxA , P Ω∈∀ , ≤ Mfgrad , 证明： ( ) MR Advzyxf V I 4 , 1 = +≤ ∫∫∫ Ω , 1

其中，；V是域2的体积，∀P∈2，P,∈S。 &正明：后-aseh≤-e产，a>0. 9.若x∈[0，f)>0,单调减设 /,[0,0是y=(x)在0，上曲边梯形的重心x坐标； f,0,是y=∫(x)在0，上曲边梯形的重心x坐标： 证明：U,0,小≥0r,o, 10.若x∈[0,0<m≤f(x)≤M,证明： 器 4Mm 参考解答： y 1.计算累次积分 1-jm布+m5 2 解：1-jm5 j到cm-ab+刘 2.计算二重积分1=∬V-ydo, 其中D={《x,y)Max(x.b)s. 解：1=4V1-x2-y2d 2

其中，；V 是域Ω 的体积， ∈∀ Ω, ∃ 0 ∈ SPP 。 8. 证明； 2 2 4 2 1 1 a a a x dxea e π π π − − − −≤≤− ∫ , a > 0 . 9. 若 ∈∀ [ ] ( ) xfx > 0,1,0 , 单调减, 设 ( ) fx [ ] 1,0, 是 在 = ( ) xfy [ 1,0 ]上曲边梯形的重心 x坐标; ( [ ]1,0, ) 2 fx 是 (xfy ) 2 = 在[ 1,0 ]上曲边梯形的重心 x坐标; 证明： ( ) [ ] ( [ ]1,0,1,0, ) 2 ≥ fxfx 10.若 x [ ] 0,1,0 ( ) ≤≤<∈∀ Mxfm , 证明： ( ) ( ) ( ) mM mM dxdy yf xf y x 4 1 2 10 10 + ≤ ≤ ∫∫ ≤≤ ≤≤ . y y=2 y=x y=x 1/2 0 1 2 4 x 参 考 解 答: 1. 计算累次积分 ∫∫∫∫ = + 24 2 2 1 2 2 x x x dy y x Sindxdy y x SindxI π π 解: ∫∫ = 2 2 2 1 y y dx y x SindyI π = ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 22 2 dy y CosCos y π π π = ( ) π π 2 + 4 2 2. 计算二重积分 ∫∫ −−= D dyxI σ 22 1 , 其中 = { } ( ) ( yxMaxyxD ) ≤1, . 解： ∫∫ −−= 22 14 D I dxdyyx 1 2

1=j∬-x-y j了 D. -h=君 4=八r-y 上 -语+字-小= 后到-司 n@2 3求二重积分：-号加， D=(x.) -C0s①4 解：1-加 1 2Sine ae =21 In(2g0d(0)=In2 1g0 4.求二重积分：1=川

∫∫ −−= 1 22 1 1 D I dxdyyx = ∫ ∫ − − − 2 1 0 2 2 1 0 1 x dx x y dy = ( ) 6 1 4 1 0 π 2 π − = ∫ x dx ; ∫∫ = − − 2 2 2 2 1 D I x y dxdy = ∫ ∫ − + − 1 1 2 2 1 0 2 1 x dx x y dy = ( ) 18 1 ln 1 2 1 2 1 0 2 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ∫ x dx x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 3 1 3 2 18 1 6 4 π π I 3. 求二重积分: ∫∫ = D d x y I σ 1 , ( ) ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ + ≤ ≤ + ≤ = 2 4 2 4 , 2 2 2 2 x y y x y x D x y . y 1 D2 D1 0 1 x y 9=Sin1/2 9=Sin1/4 9=Cos1/2 0 x 9=Cos1/4 解： ∫∫ = D d x y I σ 1 = = ∫ ∫ 4 2 1 2 1 4 1 2 2 π θ θ ρ θ θ ρ ρ θ arctg Sin Sin Cos Sin d d = ∫ 4 2 1 2 ln 1 2 π θ θ θ θ θ arctg d Cos Sin Cos Sin = ln( ) 2 ( ) ln 2 1 2 2 4 2 1 = ∫ π θ θ θ arctg tg d tg tg 4. 求二重积分: ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + = D d y f x x f y x y I σ 2 2 1 3

其中D=《x,以x2+少2≤R2人 解：考虑极坐标系x=pCos0 y=pSine do=pdpd0.D=《x,yx2+y2≤R2} (客割a 高小-高 因为：{片 a8ca8同周 eogX 小周 g加 哈影n -joj影0-jUep小aon=0 5.求二重积分： 咖 “照点停 D2

其中 {( ) } 222 = , ≤+ RyxyxD . 解：考虑极坐标系 , ⎩ ⎨ ⎧ = = θρ θρ Siny Cosx σ = ρ ρ ddd θ . {( ) } 222 = , ≤+ RyxyxD ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + x y yx f y f x x f y yx , 1 1 22 ρ = = ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ ⋅ ∂ ∂ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ x y yx f x y yx f , , , 1 , 1 θρ ρ θρρ = ∂θρ ∂ − 1 f 因为： ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ − ∂ − x yx y x y yx 1 , , , , θρ θρ = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − x y Sin Cos Cos Sin 1 θρθ θρθ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − x y Sin Cos Cos Sin θθ θρθρ ρ 1 . = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 1 00 ρ ρ ∫∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + = D d y f x x f y yx I σ 22 1 = ∫∫ ≤ ∂ ∂ − R dd f ρ θρρθρ 1 = ∫∫ ∂ ∂ − π θ θ ρ 2 00 d f d R = ( ) () () ∫ − − = R dff 0 ρϑρ 0,0,0 y A O1 D1 O x D2 5. 求二重积分: ∫∫ ≤+ −− + = 1 22 22 2 yx dyx yx I σ 解：如图，切点 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 2 , 2 2 A , 4

小服心o(怎 - I-fr.yo-o+fda =2/k,o-jr,ydo=4-1: D 4=2ro o-9- 专-2k+rhh -营-2 'po-G 4r加 -服+yo =-∬pdd0=-： 1-4-4-8 6.求三重积分： 1=∬e+y+h,其中 -os :≤V2+y 5

小园园心 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 4 2 , 4 2 O1 ; ( ) 2 2 4 2 4 2 4 1 , ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ xyxf −−= y ; ( ) ∫∫∫∫∫∫ = += ∪ 21 1 2 , DD D D dfdfdyxfI σσσ = ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ ∪ − 1 21 ,2 , D DD σ dyxfdyxf σ = 21 − II ; ( ) ∫∫ = 1 1 ,2 D dyxfI σ = = ∫∫∫∫ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− 1 1 2 2 4 2 4 2 2 2 1 D D dσ x dy σ = [ ] ∫∫ ≤+ +− 4 1 22 22 2 8 vu dudvvu π = 16 2 8 2 1 3 π θρρ π ρ − = ∫∫ ≤ dd ; dyx σ yx I yx ∫∫ ≤+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− + = 1 22 2 22 2 = ( )dyx σ = yx ∫∫ ≤+ +− 1 22 22 = 2 1 3 π θρρ ρ − −= ∫∫ ≤ dd ; π 16 9 III 21 =−= 6. 求三重积分: ∫∫∫( dvzyxI , 其中 Ω ++= ) ( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +≤ −−≤≤ =Ω 22 22 10 , yxz zyz zyx . 5

解：由函数与域的对称性： I=x+y+v==dv 球坐标系：1=：本=了do了a0 ojrCoori2smpt=： h-p 柱坐标系：1-ja0了pdp了止-爱 欧厚厚 直角坐标系：1=女了少门止=日 先对y积分： 法上f 7.设f:2cR→R,eC(@), 2是半径为R,球心在原点的球面S所围成之域， 且A=Maxf(P)P∈S),Pe2,gradf≤M, 证明：1训xh≤4+是。 其中，：V是域Q的体积，P∈2，P,∈S。 ar(P:) 正a月 h-呱a2编小卢 ≤ja+-grad作h s4r+MR-r小 srg,4劉 即：1=/xh≤A+M

解：由函数与域的对称性； ( )dvzyxI = ∫∫∫ Ω ++= dvz ∫∫∫ Ω 球坐标系: ∫∫∫∫∫∫ == = Ω 1 0 2 2 0 4 0 8 π ϕϕθϕ π π drSinrrCosdddvzI ; 柱坐标系: ∫∫∫ − = = 2 22 1 0 2 0 8 ρ ρ π π ρρθ zdzddI ; 直角坐标系: ∫∫∫ −− + − − −− = = 22 22 2 2 21 1 21 22 22 8 yx yx x x dydxI zdz π 先对 xy 积分: ( ) ( ) 8 1 1 22 2 22 1 2 1 0 π = = π π =−⋅+ ∫∫ ∫∫∫ zD dzzzdzzzdxdydzI 7. 设 →⊂Ω RRf + , , 3 : ( ) Ω∈ 1 Cf Ω 是半径为 R ，球心在原点的球面 S 所围成之域， 且 = ( ) ( ) ∈ SPPfMaxA , P Ω∈∀ , ≤ Mfgrad , 证明： ( ) MR Advzyxf V I 4 , 1 = +≤ ∫∫∫ Ω , 其中，；V 是域Ω 的体积， ∈∀ Ω, ∃ 0 ∈ SPP 。 证： ( ) () ( ) ( ) 0 , , 0 PP r zyx Pf Pfzyxf r ∂ ∂ += ξ ; ( ) () ( ) ( ) ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = + dvr zyx Pf Pfdvzyxf PP0 , , 0 ξ r ( ) ∫∫∫ Ω +≤ PP dvrfgradA 0 r ( ) ∫∫∫ ≤++ +⋅≤ ⋅−2222 Rzyx dvrRMVA ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=+≤ 3 4 4 RM AV MR AV π ; 即: ( ) MR Advzyxf V I 4 , 1 = +≤ ∫∫∫ Ω 6

8.证明：a>0 -sjeos后e产. 证明： Diusa D.-so -s eaa≤e=o 由ar-a,得r-号 由此得∬eydo≤到∬efdo≤Jfe-da l-e)s∬erdo≤l-er: 即：ri-osJeds后-e 9.若x∈[0,1f)>0,单调减设 U,0,小是y=fx)在O,上曲边梯形的重心x坐标： Ur,0,)是y=f(x)在0，上曲边梯形的重心x坐标： 证明：f,0,小≥，0，) 「xfx「xr( 证明：0，小2,0，小台 「fx)k「f(x) 台jjf≥∫rf4

8. 证明；a > 0 2 2 4 2 1 1 a a a x dxea e π π π − − − −≤≤− ∫ , 证明： y a r ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = Max x y a y x D : , ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 2 : x y a y x Da ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 2 2 : x y r y x Dr ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ − − − − − − − − = ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ a Dr x y D x y a a x D x y e dσ e e dσ e dσ 2 2 2 2 2 2 2 2 由 ( ) ,得 2 2 π r = 2a π a r 2 = 由此得 ∫∫ ∫∫ ∫∫ − − − − − − ≤ ≤ a Dr x y D x y D x y e dσ e dσ e dσ 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 r D a x y e e d e − − − − − ≤ ≤ − ∫∫ π σ π ; 即： 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e π π π − − − − ≤ ≤ − ∫ 9. 若∀x ∈[ ] 0,1 , f ( ) x > 0 , 单调减, 设 x( ) f ,[0,1] 是 y = f (x)在[0,1]上曲边梯形的重心 x坐标; ( ,[0,1]) 2 x f 是 y f (x) 2 = 在[0,1]上曲边梯形的重心 x坐标; 证明： ( ) ,[ ] 0,1 ( ,[ ] 0,1 ) 2 x f ≥ x f 证明: ( ) ,[ ] 0,1 ( ,[ ] 0,1 ) 2 x f ≥ ⇔ x f ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ≥ 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 f x dx xf x dx f x dx xf x dx ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ≥ 1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 xf x dx f x dx xf x dx f x dx 7

ejje6a2jr6a 台jier6r6res20 台r6-r6reas20 iGerol-rorslhah- ii6uo/-6ar6d xU,00≥r,0,0e iea/r6o-y6eorwUwr6-66oaa0 因：xfxf26y)-f2yfx)=f6xf6yxry)-fx) 则，f26)-f2y/)+yf)-ff) =f(xfyx-yfx)-fy》≥0 10.若x∈[0,0<m≤f(x)≤M,证明： 器 4Mm 息得常-扁 盟得惠得 隔小

⇔ () () () () dydxxfyyfdydxyfxxf ∫∫ ∫∫ ≥ 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 ⇔ ( ) () () () () 0 1 0 1 0 2 2 − ≥ ∫∫ dydxxfyyfyfxxf ⇔ ( ) () () () () 0 1 0 1 0 2 2 − ≥ ∫∫ dydxxfyyfyfxxf ( ) () () () () − = ∫∫ dydxxfyyfyfxxf 1 0 1 0 2 2 ( ) () () () () dydxyfxxfxfyyf ∫∫ − 1 0 1 0 2 2 ( ) [ ] ( [ ]1,0,1,0, ) 2 ≥ ⇔ fxfx ( ) () () () () () () () () 0 1 0 1 0 2 2 2 2 − + − ≥ ∫∫ dydxyfxxfxfyyfxfyyfyfxxf 因： () () () () () − = ( )( ( )− (xyfyxfyfxfxfyyfyfxxf )) 2 2 则， () () () () () ( ) ( ) (yfxxfxfyyfxfyyfyfxxf ) 2 2 2 2 − + − = ( ) ( )( ) ( ) ( ) − ( ) yfxfyxyfxf ≥− 0 10.若 x [ ] 0,1,0 ( ) ≤≤<∈∀ Mxfm , 证明： ( ) ( ) ( ) mM mM dxdy yf xf y x 4 1 2 10 10 + ≤ ≤ ∫∫ ≤≤ ≤≤ . 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ = = ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ 1 0 1 0 10 10 10 10 1 dxxfdx xf dxdy xf yf dxdy yf xf y x y x 首先有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫∫ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + 10 10 10 10 2 y x y x dxdy xf yf yf xf dxdy yf xf = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 12 10 10 10 10 2 ≥ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫∫ ∫∫ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ y x y x dxdy dxdy xf yf yf xf ; 8

再者：有：w-小0= M+水得+ sw+a斋a 令恤- Nmws+Mmys (M+m)-21mM w 2 →2Mmm≤ M+m2 2 →ns+m.即∬因ads+m 4Mm 0g/6y 4Mm 综合在一起有： 1s∬dsdy(+m v) 4Mm 0sysl 另外，该问题后一部可利用以下结果：两正数之和小于 正数A,则乘积的最大值为 (分即 (Max (xy) s.t.x+y≤Ax,y≥0 →当x=少=时，可取最大值，即≤（月 9

再者：有：( ) ( ) ( ) ⇒≥⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1−− 0 xf m xfM ( ) ( ) ( ) xf xf mM mM +≥+ ⇒ ( ) ( ) ( ) ∫∫ ≥+ + 1 0 1 0 dxxf yf dy MmmM 令 ∫∫ = = 1 0 1 0 )( 1 ,)( dy yf vdxxfu , ( ) 2 2 2 2 2 2 mMvMmu uvmM uvMm −+ ≤ + ≤ ⇒ ( ) 2 2 2 mM uvMm + ≤ ⇒ ( ) Mm mM uv 4 2 + ≤ . 即 ( ) ( ) ( ) mM mM dxdy yf xf y x 4 2 10 10 + ≤ ∫∫ ≤≤ ≤≤ 综合在一起有： ( ) ( ) ( ) mM mM dxdy yf xf y x 4 1 2 10 10 + ≤ ≤ ∫∫ ≤≤ ≤≤ 另外，该问题后一部可利用以下结果：两正数之和小于 正数 A , 则乘积的最大值为 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ A , 即 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ yxAyxts ≥≤+ 0,;. yxMax ⇒ 当 2 A yx == 时, xy 取最大值，即 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ A xy . 9