《常微分方程》课程教学资源（讲义）第六章 定性和稳定性理论简介（2/3）

三.二维系统极限环的简介 首先看一例子。 例4试讨论二维系统 x=y+x0-x2-y2) y'=-x+y0-x2-y2】 (621) 的轨线性态。 解系统(6.21)有唯一奇点(0,0)，其近似线性方程为 [x'=x+y y=-x+y (6.22) 元2=1士1，所以系统(6.22)的奇点为不稳定的焦点，系统(621)的奇点也为不稳定的。为便 于讨论，我们取极坐标x=rcos0,y=rsin0,则系统(6.21)可化为等价系统 (6.23) (4 =-1 de 不难解得r= +e,8=8-1,其中记c=1-5 ，即系统有解 vitceysin(t) x=cos(-1) vI+ce 这里解满足初始条件r0)=,60)=8,c=一上。基于以上解的表达式知：当60，此时且当一时厦时能向单包，当6>1时。解在争园 外有<0，此时且当1→时顺时针绕向单位圆。其轨线性态如图6.10所示。注意这 d山 图(6.10) 名

126 三. 二维系统极限环的简介 首先看一例子。 例 4 试讨论二维系统 ( )  ( )     ′ = − + − − ′ = + − − 2 2 2 2 1 1 y x y x y x y x x y (6.21) 的轨线性态。 解 系统(6.21)有唯一奇点( 0,0 )，其近似线性方程为    ′ = − + ′ = + y x y x x y (6.22) 记         − = 1 1 1 1 A ，其特征方程为 ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 1 det 2 = − + = − − − − = λ λ λ λE A ，特征值为 = 1± i λ 2,1 ，所以系统(6.22)的奇点为不稳定的焦点，系统(6.21)的奇点也为不稳定的。为便 于讨论，我们取极坐标 x = r cosθ, y = rsinθ ，则系统(6.21)可化为等价系统 ( )        = − = − 1 1 2 dt d r r dt dr θ (6.23) 不难解得 0 2 1 , 1 t r t ce θ θ − = = − + ,其中记 2 0 2 0 1 r c r − = ，即系统有解 ( 0 0 ) ( ) 2 2 cos sin , 1 1 t t t t x y ce ce θ θ − − − − = = + + 。 这里解满足初始条件 ( ) 0 0 r 0 = r ,θ )0( = θ , 2 0 2 0 1 r c r − = 。基于以上解的表达式知：当 1 r0 0 dt dr ，此时且当t → +∞时顺时针绕向单位圆；当 1 r0 > 时，解在单位园 外有 < 0 dt dr ，此时且当t → +∞时顺时针绕向单位圆。其轨线性态如图(6.10)所示。注意这 图(6.10)

里出现了常系数线性系统中不可能出现的情况：系统(6.21)有一个孤立的闭轨线单位圆，其 他轨线或从圆内或圆外顺时针绕向单位圆。 定义6孤立的闭轨线称为极限环 考虑二维系统 =Px) h (6.24) 这里P,Q在相平面的区域G上连续可微。 关于以上二雏系统的极限环有如下三种类型： (@)稳定极限环若存在包含极限环「的环形域U,使得从U内出发的轨线当时都渐近地接 近极限环 (b)不稳定极限环 若存在包含极限环的环形域U,使得从U内出发的轨线当1→-∞时都 渐近地接近极限环： (©)半稳定极限环若存在包含极限环的环形域U,使得从外（内）邻域出发的轨线当 1→+∞时都渐近地接近极限环，而从内（外）邻域出发的轨线当1→一∞时都渐近地接近 极限环。 例如前面例4中极限环「：x2+y2=1为稳定的。对于系统 x'=y+x2+y2-) y=-x+62+y2-)可 得极限环「：x2+y2=1为不稳定的，对于系统r=-少-(2+少2-旷 可得极限环 y=x-x2+y2-1月 下：x2+y2=1为半稳定的。对与这两个例子留给同学作为练习. 关于二维非线性系统，在相平面上确定该系统是否存在极限环，若存在，有几个，位置如 何，以及极限环是否稳定等，一有是一维系统定性理论及其应用的重要句颗。在这方面。中 国数学家作出了突出的贡制 注61901年著名数学家希尔伯特在国际数学大会上提出了著名的23个数学难题，其中第 16个问题的后半部分可陈述为：记P(x,y)和Q(x,y)是x,y的n次多项式，则对于给定的 Pn(xy)与n(xy以，系统 (x'=P(x.y) y'=Q.x,y） (6.25) 最多有几个极限环？它们的相对位置如何？这是世界公认的数学难题，这个问题即使在等 于2的情形也没有完全解决。 下面给出关于极限环问题常用的两个定理，同时作为应用讨论了范德坡(van der Pol)方程 等两方程 定理5(Bendixson环域定理)对于系统(6.24，若在G域内存在有界的环形闭域D,在其 内不含有系统(624)的奇点，而(624)的经过域D上点的解x=x)y=)当1增加（或减 121

127 里出现了常系数线性系统中不可能出现的情况：系统(6.21)有一个孤立的闭轨线单位圆，其 他轨线或从圆内或圆外顺时针绕向单位圆。 定义 6 孤立的闭轨线称为极限环。 考虑二维系统        = = ( , ) ( , ) Q x y dt dy P x y dt dx (6.24) 这里 P,Q 在相平面的区域G 上连续可微。 关于以上二维系统的极限环有如下三种类型： (a)稳定极限环 若存在包含极限环Γ 的环形域U ，使得从U 内出发的轨线当时都渐近地接 近极限环； (b)不稳定极限环 若存在包含极限环的环形域U ，使得从U 内出发的轨线当t → −∞ 时都 渐近地接近极限环； (c)半稳定极限环 若存在包含极限环的环形域U ，使得从外（内）邻域出发的轨线当 t → +∞时都渐近地接近极限环，而从内（外）邻域出发的轨线当t → −∞时都渐近地接近 极限环。 例如 前面例 4 中极限环Γ : 1 2 2 x + y = 为稳定的。对于系统 ( )  ( )     ′ = − + + − ′ = + + − 1 1 2 2 2 2 y x y x y x y x x y 可 得极限环 Γ : 1 2 2 x + y = 为不稳定的，对于系统 ( )  ( )    ′ = − + − ′ = − − + − 2 2 2 2 2 2 1 1 y x y x y x y x x y 可得极限环 Γ : 1 2 2 x + y = 为半稳定的。对与这两个例子留给同学作为练习。 关于二维非线性系统，在相平面上确定该系统是否存在极限环，若存在，有几个，位置如 何，以及极限环是否稳定等，一直是二维系统定性理论及其应用的重要问题。在这方面，中 国数学家作出了突出的贡献。 注6 1901 年著名数学家希尔伯特在国际数学大会上提出了著名的 23 个数学难题，其中第 16 个问题的后半部分可陈述为：记 P (x y) n , 和Q (x y) n , 是 x, y 的n 次多项式，则对于给定的 P (x y) n , 与Q (x y) n , ，系统 ( ) ( )    ′ = ′ = y Q x y x P x y n n , , (6.25) 最多有几个极限环？它们的相对位置如何？这是世界公认的数学难题，这个问题即使在n 等 于 2 的情形也没有完全解决。 下面给出关于极限环问题常用的两个定理，同时作为应用讨论了范德坡(van der Pol)方程 等两方程. 定理 5(Bendixson 环域定理) 对于系统(6.24)，若在G 域内存在有界的环形闭域 D ，在其 内不含有系统(6.24)的奇点，而(6.24)的经过域 D 上点的解 x = x(t), y = y(t)当t 增加（或减

少)时不离开该域D,则或D边界本身是一个闭轨线，或在D内至少存在一个极限环。 定理6 Dulac判别法)对于系统6.24)，设DcG为单连通区域，若存在函数B(x,y)≠0 其在D上具有-阶连续导数，且BP)+BO)在D内不变号，在D的任何子拨中不 dx d办y 相为零。系统624在D内无闭轨线，更无极限环 证明反证，假设结论不真，不妨设在D内存在闭轨线「，其可表为周期为T的周期解 T:x=x(t)y=y(t). 0≤1≤T,记「所围成的区域为D(D,CD显然)。由格林公 式得 ）,BOkd=BP-B0k=【BPQ-QPh=0. 这与定理的假设条件矛盾，故在域D内不存在任何周期解更不存在任何极限环。证毕 例5证明范德坡方程 3 +-+=0 (6.26) (这里4>0) 存在极限环。 证明仅证4=1情形，其余情形类似。 方程可化为等价的系统 [dx (6.27) =-x+(1-x2b 系统只有一个奇点(0,0)，(0,0)处的线性近似系统为 =y (6.28) =-x+y 特征方程近-A久.术-+1=0的特征根为九，生3可知特都 2 根有正实部，所以是系统的不稳定奇点。 令(，y)=x2+y2-r2,这里0<r<1。计算V(,y)沿着系统(6.27)线的全导数 =2x+2m=20-x2y2≥0， dt 128

128 少）时不离开该域 D ，则或 D 边界本身是一个闭轨线，或在 D 内至少存在一个极限环。 定理 6(Dulac 判别法) 对于系统(6.24)，设 D ⊂ G 为单连通区域，若存在函数 B(x, y) ≠ 0， 其在 D 上具有一阶连续偏导数，且 ( ) ( ) y BQ x BP ∂ ∂ + ∂ ∂ 在 D 内不变号，在 D 的任何子域中不 恒为零，则系统(6.24)在 D 内无闭轨线，更无极限环。 证明 反证，假设结论不真，不妨设在 D 内存在闭轨线 Γ ，其可表为周期为T 的周期解 Γ : x = x(t), y = y(t), 0 ≤ t ≤ T ，记Γ 所围成的区域为 DΓ（ DΓ ⊂ D 显然）。由格林公 式得 ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫ ∫ = − = − =         ∂ ∂ + ∂ ∂ Γ Γ T D dxdy BPdy BQdx B PQ QP dt y BQ x BP 0 0 ， 这与定理的假设条件矛盾，故在域 D 内不存在任何周期解更不存在任何极限环。证毕 例 5 证明范德坡方程 ( ) 1 0 2 2 2 + − + x = dt dx x dt d x µ (6.26) （这里 µ > 0） 存在极限环。 证明 仅证 µ = 1情形，其余情形类似。 方程可化为等价的系统 ( )        = − + − = x x y dt dy y dt dx 2 1 (6.27) 系统只有一个奇点( 0,0 )，( 0,0 )处的线性近似系统为    = − + = y x y x y & & (6.28) 其特征方程 ( ) 1 0 1 1 1 det 2 = − + = − − − = λ λ λ λ λE A 的特征根为 2 1 3 2,1 ± i λ = ，可知特征 根有正实部，所以是系统的不稳定奇点。 令 ( ) 2 2 2 V x, y = x + y − r ，这里0 < r < 1。计算V(x, y)沿着系统(6.27)轨线的全导数 ( ) 2 2 2( ) 1 0 2 2 27.6 = xx + yy = − x y ≥ dt dV & &

所以可以取圆周x2+y2=r2为内境界线L1,这表明系统(6.27)从L上出发的轨线走向L 所围成区域的外部。下面作环域的外境界线L2· 在水平等倾线左上支取一点A,过A作线性近似方程(6.28)的轨线，此轨线交y轴于点B(由 于轨线满足少 二x+y>0),在弧B上比较6.27)之轨线方向与弧B的切线方向，有 -x+-x少-x+y=-x21)有 -x+-=-x2k0, 所以系统(6,27)之轨线与C相交时自外向内 在过点D作垂直的直线段交水平等倾线Q(x,y)=-x+1-x2少y=0的右下支于点E。 在线段DE上轨线自外向内。在Q(x,y)=0的右下支上轨线（由于京=y<0,夕=0）也自 129

129 所以可以取圆周 2 2 2 x + y = r 为内境界线 L1，这表明系统(6.27)从 L1上出发的轨线走向 L1 所围成区域的外部。下面作环域的外境界线 L2 。 在水平等倾线左上支取一点 A ，过 A 作线性近似方程(6.28)的轨线，此轨线交 y 轴于点 B（由 于轨线满足 > 0 − + = y x y dx dy ）,在弧 AB 上比较(6.27)之轨线方向与弧 AB 的切线方向，有 ( ) 0 1 2 2 = − 1)有 ( ) ( ) 1 0 1 2 2 = − < − − − + − x y x y x x y ， 所以系统(6.27)之轨线与CD 相交时自外向内。 在过点 D 作垂直的直线段交水平等倾线 ( , ) (1 ) 0 2 Q x y = −x + − x y = 的右下支于点 E 。 在线段 DE 上轨线自外向内。在Q(x, y) = 0 的右下支上轨线（由于 x& = y < ,0 y& = 0 ）也自

外向内 对于系统(627)，(6.28).(6.29)和(6.30)，用-x代替x和-y代替y,可知以上四个系统形式都 未变，因此都是关于原点对称的，所以与曲线ABCDE关于原点对称的曲线BCDE上 也具有的轨线自外向内的属性。于是闭曲线ABCDEA'B'C'D'E'A可作为外境界线L2。如 图(6.11)所示. 综上根据Bendixson环域定理知由闭曲线L,和L,所围成的环域中一定至少存在一个极 限环。证毕。 图(6.11) 例6证明系统 (i=y y=-ax-by+cx2+dy2 (b≠0) 在全平面上无闭轨线 证明取函数B(x,y)=em+心，这里待定。计算 d(BP)(BQ)=eb-anx-(bn-m-2d)y+c+dmy]. dx dy 而取n=0,m=-2d就可以使上式右端方括号中x项与y项的系数为零，即取 B(x,y）=eh, 就有 (BP)(BQ)=-be 在全平面上不变号，所以此系统在全平面上无闭轨线。证毕 S6.3 Liapunov第二方法 李雅普诺夫在他的巨著“运动稳定性的一般问题”中创立了处理稳定性问题的两种方法： 第一方法要用到微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展，而第二方法侧巧妙地利用 130

130 外向内。 对于系统(6.27),(6.28),(6.29)和(6.30)，用− x 代替 x 和− y 代替 y ，可知以上四个系统形式都 未变，因此都是关于原点对称的，所以与曲线 ABCDE 关于原点对称的曲线 A′B′C′D′E′上 也具有的轨线自外向内的属性。于是闭曲线 ABCDEA′B′C′D′E′A可作为外境界线 L2 。如 图(6.11)所示。 综上根据 Bendixson 环域定理知由闭曲线 L1和 L2 所围成的环域中一定至少存在一个极 限环。证毕。 图(6.11) 例 6 证明系统 ( )0 2 2 ≠    = − − + + = b y ax by cx dy x y & & 在全平面上无闭轨线 证明 取函数 ( ) mx ny B x y e + , = ，这里待定 。计算 ( ) ( ) [ ( ) ] 2 2 e b anx bn m 2d y cnx dny y BQ x BP mx ny = − − − − − + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ， 而取n = ,0 m = −2d 就可以使上式右端方括号中 x 项与 y 项的系数为零，即取 ( ) dx B x y e 2 , − = ， 就有 ( ) ( ) dx be y BQ x BP −2 = − ∂ ∂ + ∂ ∂ 在全平面上不变号，所以此系统在全平面上无闭轨线。证毕 §6.3 Liapunov 第二方法 李雅普诺夫在他的巨著“运动稳定性的一般问题”中创立了处理稳定性问题的两种方法： 第一方法要用到微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展，而第二方法则巧妙地利用

一个与微分方程相联系的所谓李雅普诺夫函数来直接判定解的稳定性，因此又称为直接方法 (或函数方法)。为了说明方法的基本思想，再次考虑S1.1例4中数学摆，令摆动角度为x, 则可将其改写成如下系统 (x'=y y=-Esinx (6.31), 则（仕kπ，0）为的奇点。下面仅考虑奇点(0,0)情形。方程在奇点的线性近似方程为 (x'=y y=-8 (6.32)- 与计事特蛋根为±侣1，此时特能根出现实部为零的临界特影，不慌技定理2判鞘方63 零解的稳定性。为了判别零解的稳定性，直接从(6.31)出发进行处理。由方程(6.31)可得 ydy=-sinxdx 于是有 +(-cosx)=c. 这里c为任意非负常数。 取总能量函数k川=+1-60s),其中2为动能，和-c0s为势能。 此V(x,y)函数具有以下属性：V(0,0)=0,且在原点的去心邻域中y0: V(x,y)沿着方程(6.31轨线的全导数有 dx训 _a业.s+业.少=邑0sin0)-t)snx0)=0, 16naxh+莎正 因此将其两边从1。到1积分得 r()y》=V(x》1≥o 从几何意义看，记V(x(),y()》=c,则V(x()y()》=c,为一曲线，且当c很小 时，其为围绕原点的闭曲线，因此方程(6.31)的解在闭曲线上，这说明的零解是稳定的，但 非渐近稳定的。 这种基于构造一个特殊函数/(x以，并利用V(x,y)及其通过给定系统的导数的符号来判 断此系统零解的稳定性问题，就是Liapunov第二方法的基本思想. 考虑非线性系统 131

131 一个与微分方程相联系的所谓李雅普诺夫函数来直接判定解的稳定性，因此又称为直接方法 （或函数方法）。为了说明方法的基本思想，再次考虑§1.1 例 4 中数学摆，令摆动角度为 x ， 则可将其改写成如下系统      ′ = − ′ = x l g y x y sin (6.31)， 则(± kπ 0, )为的奇点。下面仅考虑奇点( 0,0 )情形。方程在奇点的线性近似方程为      ′ = − ′ = x l g y x y (6.32)， 易计算特征根为 i l g ± ，此时特征根出现实部为零的临界情形，不能按定理 2 判别方程(6.31) 零解的稳定性。为了判别零解的稳定性，直接从(6.31)出发进行处理。由方程(6.31)可得 xdx l g ydy = − sin ， 于是有 ( ) 1 2 1 cos 2 g y x c l + − = ， 这里c 为任意非负常数。 取总能量函数 ( ) ( ) x l g V x y y 1 cos 2 1 , 2 = + − ，其中 2 2 1 y 为动能， ( ) x l g 1− cos 为势能。 此V(x, y)函数具有以下属性：V( 0,0 ) = 0，且在原点的去心邻域中( x 0 ； V(x, y)沿着方程(6.31)轨线的全导数有 ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) sin sin ( ) 0 , 31.6( ) ⋅ = − = ∂ ∂ ⋅ + ∂ ∂ = x t l g y t x t y t l g dt dy y V dt dx x V dt d x t y t ， 因此将其两边从 0 t 到t 积分得 ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 0 0 0 V x t , y t = V x t , y t ∀t ≥ t . 从几何意义看，记V x t y t c ( ( 0 0 0 ), ( )) = ，则 ( ( ) ( )) 0 V x t y t c , = 为一曲线，且当 0 c 很小 时，其为围绕原点的闭曲线，因此方程(6.31)的解在闭曲线上，这说明的零解是稳定的，但 非渐近稳定的。 这种基于构造一个特殊函数V(x, y)，并利用V(x, y)及其通过给定系统的导数的符号来判 断此系统零解的稳定性问题，就是 Liapunov 第二方法的基本思想. 考虑非线性系统

=f) (6.33) 这里7何)=0，且7(：)在包含原点的某区域G上有连续的偏导数，从而保证(6,33)油初始 条件)=元，所确定的解在域G上存在且唯一。 定义7假设/()为包含原点的邻域≤h上定义的一个实连续函数，且V何)=0。若 在此域内恒有V()之0，则称此函数为常正的：若对一切元≠0都有V()>0,则称函数 为定正的：若函数-V()为定正（或常正）的，则称函数V()为定负（或常负）的。 例7对于函数V(x,y)=(x+y,有V(0,0)=0,且V(x,y)20,则是常正的：对于函数 V(x,y)=(x+y+以，有V(0,0)=0,且(x,y)≠(0,0有V(x,y)>0,则此函数是定 正的：对于函数V(x,y)=sim(x2+y2）,易知其在圆域x2+y20时是定负的， 当a0时，W()为常正的或恒等于零：(C)在x=0的 132

132 x f (x) v v ′ = (6.33) 这里 (0) 0 v v v f = ，且 f (x) v v 在包含原点的某区域G 上有连续的偏导数，从而保证(6.33)由初始 条件 ( ) 0 0 x t x v v = 所确定的解在域G 上存在且唯一。 定义 7 假设V(x) v 为包含原点的邻域 x ≤ h v 上定义的一个实连续函数，且 (0) = 0 v V 。若 在此域内恒有V(x) ≥ 0 v ，则称此函数为常正的；若对一切 0 v v x ≠ 都有V(x) > 0 v ，则称函数 为定正的；若函数 V(x) v − 为定正（或常正）的，则称函数V(x) v 为定负（或常负）的。 例 7 对于函数 ( ) ( ) 2 V x, y = x + y ，有V( 0,0 ) = 0，且V(x, y) ≥ 0 ，则是常正的；对于函数 V(x y) = (x + y) + y 2 , ，有V( 0,0 ) = 0 ，且∀(x, y) ≠ ( 0,0 )有V(x, y) > 0 ，则此函数是定 正的；对于函数 ( ) ( ) 2 2 V x, y = sin x + y ，易知其在圆域 + 时是定负的， 当 4,0 0 2 a 0时，W (x) v 为常正的或恒等于零；(c)在 0 v v x = 的

任意给定的小邻域内都至少存在一个元，使得（低）>0。 则方程组(6,33)的零解是不稳定的。 证明不妨假设定理中出现的定号函数和常号函数，以及f()均在域≤h上有定义，下 面分别证明定理的三个结果： (1)稳定性 任给正数e0,对e≤≤h. 进一步，由V可)=0和V()的连续性即可知存在充分小的6<￡，使对<8有V()<I。 下面证明，对上述的￡，只要<6，则方程组(6.33)以。)=元。为初始值的解)对 一切1≥，满足 B()<e (6.34). 基于解)对1的连续性，不等式(6.34)至少对1的某个区间。，T)成立。由于￡<h,故由 定理条件知 d》s0或》-o. d 两边从1。到1积分得 r6-rt.》=h≤0或r60》-r》=0 d 因此当te。,T)时有 V》≤r(民)<1 (6.35), 这样就证明了在解满足(634)的任意区间内，式子(635)均成立。 事实上，若式子(6.35)不是对一切1≥1。成立，则当1从1。逐渐增大时必存在某个值1， 使得当1e。,4)时，式子(6.34)成立。当在1=4时有下川=￡.由于￡<h,故式子(6.35) 在1=，时仍成立，即 V(》<1. 但由/的定义，有（川<e,这与假设化川=e矛盾，因此4，不存在，这表明解对一切 1≥1。都满足不等式(6.34)，从而方程组(6.33)的零解是稳定的。 133

133 任意给定的小邻域内都至少存在一个 1 x v ，使得V(x1 ) > 0 v 。 则方程组(6.33)的零解是不稳定的。 证明 不妨假设定理中出现的定号函数和常号函数，以及 f (x) v 均在域 x ≤ h v 上有定义，下 面分别证明定理的三个结果： (1) 稳定性 任给正数ε 0 v , 对 ≤ x ≤ h v ε 。 进一步，由 (0) = 0 v V 和V(x) v 的连续性即可知存在充分小的δ < ε ，使对 x < δ v 有V(x) < l v 。 下面证明，对上述的ε ，只要 x0 < δ v ，则方程组(6.33)以 ( ) 0 0 x t x v v = 为初始值的解 x(t) v 对 一切 0 t ≥ t 满足 x(t) < ε v (6.34), 基于解 x(t) v 对t 的连续性，不等式(6.34)至少对t 的某个区间[t ,T ) 0 成立。由于ε < h ，故由 定理条件知 ( ( )) ≤ 0 dt dV x t v 或 ( ( )) = 0 dt dV x t v , 两边从 0 t 到t 积分得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 0 0 − 0 = ≤ ∫ t t dt dt dV x t V x t V x t v v v 或 ( ( )) ( ( )) 0 V x t −V x t 0 = v v 因此当t [t ,T ) ∈ 0 时有 V(x(t)) ≤ V (x ) < l 0 v v (6.35), 这样就证明了在解满足(6.34)的任意区间内，式子(6.35)均成立。 事实上，若式子(6.35)不是对一切 0 t ≥ t 成立，则当t 从 0 t 逐渐增大时必存在某个值 1 t ， 使得当 [ ) 0 1 t ∈ t ,t 时，式子(6.34)成立。当在 1 t = t 时有 ( ) = ε 1 x t v .由于ε < h ，故式子(6.35) 在 1 t = t 时仍成立，即 V(x(t )) < l 1 v . 但由l 的定义，有 ( ) < ε 1 x t v ，这与假设 ( ) = ε 1 x t v 矛盾，因此 1 t 不存在，这表明解对一切 0 t ≥ t 都满足不等式(6.34)，从而方程组(6.33)的零解是稳定的

(2)渐近稳定性 基于上面关于定的用，当出定会时，显63为的解是定的。 取刚才稳定性证明中所确定的6作为6。，即取6。=6，因而当≤6，时有训0,则对任何1≥，有 V(())>c. 又因V()连续、定正，且V何)=0，所以存在入>0使得对一切1≥。有川>2。若 器四 则由于国园为定负的，故有m<0:于是有 P-e)=〔"h≤mt-4）. d 即有 ()≤V(任)+m·(t-1o). 当1不断增加时，上式右端将小于零，从而V()》变成负数，这与V()的定正性矛盾，因 此必有c=0,即式子6.36)成立. 其次，可以由式子(6.36)推出 1im(月=0 (6.37). 事实上，若上式不成立，则由(633)的零解稳定性，可知解)是有界的。所以存在时间 数列也}，有1：→+∞时，使得 limt=e.≠0. 于是由V()的连续性和定正性有 imP,》=e.)≠0， 34

134 (2) 渐近稳定性 基于上面关于稳定性的证明，当 dt dV 定负时，显然(6.33)的零解是稳定的。 取刚才稳定性证明中所确定的δ 作为δ 0 ，即取δ 0 = δ ，因而当 0 ≤ δ 0 x v 时有 x(t) 0 ，则对任何 0 t ≥ t 有 V(x(t)) > c v 。 又因V(x) v 连续、定正，且 (0) = 0 v V ，所以存在λ > 0 使得对一切 0 t ≥ t 有 x(t) > λ v 。若 令 ( ) dt dV x m x h v v ≤ ≤ = λ sup ， 则由于 ( ) dt dV x v 为定负的，故有m < 0 ；于是有 ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0 0 0 dt m t t dt dV x t V x t V x t t − = ≤ ⋅ − ∫ v v v ， 即有 ( ( )) ( ) ( ) 0 0 V x t ≤ V x + m ⋅ t − t v v 。 当t 不断增加时，上式右端将小于零，从而V(x(t)) v 变成负数，这与V(x) v 的定正性矛盾，因 此必有c = 0 ，即式子(6.36)成立。 其次，可以由式子(6.36)推出 lim ( ) = 0 →+∞ x t t v (6.37)。 事实上，若上式不成立，则由(6.33)的零解稳定性，可知解 x(t) v 是有界的。所以存在时间 数列{t k },有t k → +∞ 时，使得 lim ( ) = ≠ 0 ∗ →+∞ x t x k t k v v 。 于是由V(x) v 的连续性和定正性有 lim ( ( )) = ( ∗ ) ≠ 0 →+∞ V x t V x k t k v v

这与式子(6.36)矛盾。即表明式子(6.37)成立。故方程组(6.33)的零解是渐近稳定的。 (3)不稳定性 由定理的假设即知，不论6>0多么小，总存在元。≠0使得。0。我 们断言以元。为初值的解)必然走出0， 于是只要t足够大，则V()可任意大。 当=0时，由W()的定正性有 e6-r-"rE0h≥o 因此可以推出 V()≥V()>0。 同时因V()连续且V何)=0，故必存在00, 于是有 V(》-V()=「W(≥m-o), 这表明只要1充分大，就可以保证V(()》任意大，这与V(:)在≤h连续必有界的结论矛 盾。于是一定存在一个>，使得>h,从而零解是不稳定的。定理证毕， 几何意义：设V()是平面上的定正函数，做曲线族 135

135 这与式子(6.36)矛盾。即表明式子(6.37)成立。故方程组(6.33)的零解是渐近稳定的。 (3) 不稳定性 由定理的假设即知，不论δ > 0多么小，总存在 0 0 v v x ≠ 使得 x0 v 。我 们断言以 0 x v 为初值的解 x(t) v 必然走出 x − V x t V x e V x v v µ t t v ， 于是只要t 足够大，则V(x(t)) v 可任意大。 当 µ = 0时，由W (x) v 的定正性有 ( ) ( ) ( ) ( ( )) 0 0 − 0 = ≥ ∫ t t dt dt dV x t V x t V x v v v ， 因此可以推出 ( ( )) ( ) 0 V x t ≥ V x0 > v v 。 同时因V(x) v 连续且 (0) = 0 v V ，故必存在 0 0 ≤ ≤ m W x x h v v λ ， 于是有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 V x t V x W x t dt m t t t t − = ≥ − ∫ v v v ， 这表明只要t 充分大，就可以保证V(x(t)) v 任意大，这与V(x) v 在 x ≤ h v 连续必有界的结论矛 盾。于是一定存在一个 0 t > t ∗ 使得 x(t ) > h v ∗ ，从而零解是不稳定的。定理证毕。 几何意义: 设V(x) v 是平面上的定正函数，做曲线族