《常微分方程》课程教学资源（讲义）第三章 一阶微分方程解的存在和唯一定理（2/3）

$3.2解的延拓 上节中我们给出里皮卡存在唯一定理，知道它是一个局部定理，它只能肯定方程(3.) 初值问题的解在区间一x。≤h上存在，这种局部性与实践要求差距很大，这就产生了两 问题： 1.能否将定义在一x≤h上的解延拓到更大的区间上？这区间有多大？ 2.满足什么条件的解才能向两边延拓？ 定义5设y=9(x)是方程(3.1)满足初始条件=)定义于区间(，月)上的一个 解，若(3.1)还存在满足上述条件的另一个解y=,(x),它定义于(2，B2),且满足 (1)(a2,B)p(a,月)月 (2),(x)=p(x),xe(a,月) 则称解y=,(x)是y=9,(x)的延拓进一步若y=,(x)再也不能向两边继续延拓时，则 称此解为方程的饱和解 定义6设函数f(x,)在区域G上有定义若对于区域G内的每一点P,有以其为中心的 完全含于G内的闭矩形H存在，在H。上f(x,y)关于y满足李氏条件，则称f(x,y)在G 上关于y满足局部李氏条件 注5若∫(x,y)在区域G上关于y满足李氏条件，则f(x,y)在G上关于y满足局部李氏 条件反之，结论一般不真事实上，对于局部李氏条件中的闭矩形H,和常数L,随着G中 点P而改变，因此可能在G上找不到满足李氏条件成立的统一的常数 考虑方程(3.1)中右端函数f(x,y)在G中关于y满足李氏条件，则由上一节知存在唯 解y=p(x)定义于x-x≤h,记x=x。+h,知点(x,)eG,这里y=p(x).以 (x,乃)为中心作一小的矩形，使它连同其边界都含在区域的G内部，再运用上一节的存在 唯一性定理，知道存在h>0,使得在区间x-x≤h上，方程有过(3，片)的解y=,(x), 且在x=x处有，(x)=p(x),由唯一性，显然解y=px)和y=,(x)在都有定义的公 共区间x,-h≤x≤x上，有g,(x)=px).但是在区间x≤x≤x,+h上解y=9,(x)仍 有定义，这样在区间[x。-h,x。+h+]上确定一个函数 46

46 §3.2 解的延拓 上节中我们给出里皮卡存在唯一定理，知道它是一个局部定理，它只能肯定方程(3.1) 初值问题的解在区间 x − x0 ≤ h 上存在，这种局部性与实践要求差距很大，这就产生了两 问题： 1． 能否将定义在 x − x0 ≤ h 上的解延拓到更大的区间上？这区间有多大？ 2． 满足什么条件的解才能向两边延拓？ 定义 5 设 ( ) 1 y = ϕ x 是方程(3.1)满足初始条件 ( ) 0 0 y = y x 定义于区间 ( ) 1 1 α ,β 上的一个 解，若(3.1)还存在满足上述条件的另一个解 ( ) 2 y = ϕ x ，它定义于( ) 2 2 α ,β ，且满足 （1）( ) ( ) 2 2 1 1 α ,β ⊃ α ,β ; （2） ( ) ( ), ( , ) ϕ1 = ϕ 2 ∀ ∈ α1 β1 x x x . 则称解 ( ) 2 y = ϕ x 是 ( ) 1 y = ϕ x 的延拓.进一步若 ( ) 2 y = ϕ x 再也不能向两边继续延拓时，则 称此解为方程的饱和解. 定义 6 设函数 f (x, y) 在区域G 上有定义.若对于区域G 内的每一点 p ，有以其为中心的 完全含于G 内的闭矩形 H p 存在，在 H p 上 f (x, y) 关于 y 满足李氏条件，则称 f (x, y) 在G 上关于 y 满足局部李氏条件. 注 5 若 f (x, y) 在区域G 上关于 y 满足李氏条件，则 f (x, y) 在G 上关于 y 满足局部李氏 条件.反之，结论一般不真.事实上，对于局部李氏条件中的闭矩形 H p 和常数 Lp 随着G 中 点 p 而改变，因此可能在G 上找不到满足李氏条件成立的统一的常数. 考虑方程(3.1)中右端函数 f (x, y) 在G 中关于 y 满足李氏条件，则由上一节知存在唯一 解 y = ϕ(x) 定义于 x − x0 ≤ h ，记 x = x + h 1 0 ，知点 (x1 , y1 )∈G ，这里 ( ) 1 1 y = ϕ x .以 ( ) 1 1 x , y 为中心作一小的矩形，使它连同其边界都含在区域的G 内部，再运用上一节的存在 唯一性定理，知道存在h1 > 0，使得在区间 1 h1 x − x ≤ 上，方程有过( ) 1 1 x , y 的解 ( ) 1 y = ϕ x ， 且在 1 x = x 处有 ( ) ( ) 1 1 1 ϕ x = ϕ x ，由唯一性，显然解 y = ϕ(x)和 ( ) 1 y = ϕ x 在都有定义的公 共区间 1 1 1 x − h ≤ x ≤ x 上，有 ( ) ( ) 1 ϕ x = ϕ x .但是在区间 x1 ≤ x ≤ x1 + h 上解 ( ) 1 y = ϕ x 仍 有定义，这样在区间[ ] 0 0 1 x − h, x + h + h 上确定一个函数

y=w=-h≤x≤，+h x+h≤x≤x+h+h 显然易验证y=(x)为(3.1)满足。=(x)的解，则由上述延拓定义知，y=(x)为解 y=()在k-x≤h上延拓再记x3=,+h,若点(G,乃2)eG,这里为=x), 则仿前又可以将解y=(x)延拓到更大的区间x2-h≤x≤为+h,=+h+h+h,上， 其中h>0.同理按此方法讨论，使解向左方延拓即解延拓的几何意义就是在原来的积分曲 线y=(x)的左、右两瑞各接上一个积分曲线段，直到再也不能向左、右方再接积分曲线 段 注6任一饱和解y=x)的最大存在区间必定是一个开区间(a,),事实上，若这个区 间的右端是闭的，则B是一个有限数，且(B,(B)∈G.于是解y=(x)就能继续向右方 延拓，这与饱和解定义矛盾 下面，不加证明给出解的延拓定理. 定理3对于区域G,若方程(3.1)的右端f(x,y)在G中连续，且在G内关于y满足局部李 氏条件，则方程(3.1)通过G内任何一点(。，)的解可以延拓它具有以下性质： (一)设G为有界区域，则此解可以延拓到任意接近区域G的边界，以向x增大的一方的 延拓而言，即若y=(x)仅能延拓到区间x。≤x<m上，则当x→m.时，点(x,(x》趋 于区域G的边界 (二)设G是无界区域，以向x增大的一方而言，有两种情况 (1)解y=x)可以延拓到区间k。,∞小：或 (2)解y=x)可以延拓到区间xo,m),这里m为有限数则当x→m时，或者y=x) 无界，或者点(x,(x)趋于区域G的边界 例4讨论方程少=，'的分别通过点0,0以0如2-3)的解存在区间 dx 2 af 2 =y在整个平面上连续，易知方程满足解的存在唯一性定 理及解的延拓定理的条件，此方程的通解为y=+ ,于是通过点(0,0)的解为 (1-ce')

47    + ≤ ≤ + + − ≤ ≤ + = = 1 0 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) x x h x x h h x x h x x h y x ϕ ϕ ψ ， 显然易验证 y =ψ (x) 为(3.1)满足 ( ) 0 0 y = y x 的解，则由上述延拓定义知， y =ψ (x) 为解 y = ϕ(x)在 x − x0 ≤ h 上延拓.再记 2 1 h1 x = x + ，若点(x2 , y2 )∈G ，这里 ( ) 2 2 y =ψ x ， 则仿前又可以将解 y = ϕ(x)延拓到更大的区间 2 2 2 0 1 2 x − h ≤ x ≤ x + h = x + h + h + h 上， 其中h2 > 0.同理按此方法讨论，使解向左方延拓.即解延拓的几何意义就是在原来的积分曲 线 y = ϕ(x) 的左、右两端各接上一个积分曲线段，直到再也不能向左、右方再接积分曲线 段. 注 6 任一饱和解 y = ϕ(x)的最大存在区间必定是一个开区间(α,β ) ，事实上，若这个区 间的右端是闭的，则 β 是一个有限数，且(β,ϕ(β )) ∈G .于是解 y = ϕ(x) 就能继续向右方 延拓，这与饱和解定义矛盾. 下面，不加证明给出解的延拓定理. 定理 3 对于区域G ，若方程(3.1)的右端 f (x, y) 在G 中连续，且在G 内关于 y 满足局部李 氏条件，则方程(3.1)通过G 内任何一点( ) 0 0 x , y 的解可以延拓.它具有以下性质： （一） 设G 为有界区域，则此解可以延拓到任意接近区域G 的边界，以向 x 增大的一方的 延拓而言，即若 y = ϕ(x)仅能延拓到区间 x0 ≤ x < m 上，则当 → m− x 时，点(x,ϕ(x)) 趋 于区域G 的边界 （二） 设G 是无界区域，以向 x 增大的一方而言，有两种情况： （1）解 y = ϕ(x)可以延拓到区间[ ,∞) 0 x ；或 （2）解 y = ϕ(x)可以延拓到区间[x ,m) 0 ，这里 m 为有限数.则当 → m− x 时，或者 y = ϕ(x) 无界，或者点(x,ϕ(x)) 趋于区域G 的边界. 例 4 讨论方程 2 1 2 − = y dx dy 的分别通过点( 0,0 ) (ln, ,2 −3)的解存在区间. 解 函数 2 1 ( , ) 2 − = y f x y 和 y y f = ∂ ∂ 在整个平面上连续，易知方程满足解的存在唯一性定 理及解的延拓定理的条件，此方程的通解为 (1 ) (1 ) x x ce y ce + = − ，于是通过点 )0,0( 的解为

少人e 1十。，这个解的存在区间为-00上连续，易知方程满足解的存在唯 性定理及解的延拓定理的条件注意到区域G(右半平面)是无界区域，y轴是它边界初值问 题的解y=xlnx,它于区间0x, 下面分两种情况进行讨论： (1)当B≤0时，显然J是一有限区间： (2)当B>0时，则存在x>0,使得k,B)cJ.因此解y=(x)在区间k,) 上满足方程会=+户，即得 鉴=r*+ x≤x<B 整理得 01 x1≤x<B, 48

48 x x e e y + − = 1 1 ，这个解的存在区间为− ∞ 0上连续，易知方程满足解的存在唯一 性定理及解的延拓定理的条件.注意到区域G（右半平面）是无界区域, y 轴是它边界.初值问 题的解 y = x ln x ，它于区间0 x ， 下面分两种情况进行讨论： （1）当 β ≤ 0 时，显然 + J 是一有限区间； （2）当 β > 0 时，则存在 x1 > 0 ，使得[ ) + x ,β ⊂ J 1 .因此解 y = y(x) 在区间[ ,β ) 1 x 上满足方程 2 2 x y dx dy = + ，即得 2 2 1 2 2 x y x y dx dy = + ≥ + x1 ≤ x < β , 整理得 1 ( ) ( ) 2 2 1 ≥ + ′ x y x y x x1 ≤ x < β

然后，两边从x到x积分，有 X 即有 0sx-xs5,X≤x0,必存在8=6e,a,b)>0,使得当（民。-x}+。-}≤82时，有 (1)方程(3.1)满足条件民)=。的解y=x,)在区间a≤x≤b上有定义： (2)ax,xo,o)-o(x,xo.yo)< VxE a,b] 进一步，考虑含有参数入的方程 血=xy) (3.14) 记G2=《x,y,)川(x,y)∈G,<1<}类似给出f(x,y,)在G2内关于1一致对y满 足局部李氏条件定义. 定义了若对G,的每一点p(x,y,)都存在以点p为中心的闭球H。cG:使得对任何点 (x,y,)(x,2,)∈H。,有

49 然后，两边从 1 x 到 x 积分，有 0 ( ) arctan ( ) arctan 1 1 1 1 1 1  ≥ − ≥      − x x x y x x y x x ， 即有 1 1 0 x x x π ≤ − ≤ ， x1 ≤ x 0 ，必存在δ = δ (ε , a,b) > 0 ，使得当( ) ( ) 2 2 0 0 2 x0 − x0 + y − y ≤ δ 时，有 （1）方程(3.1)满足条件 ( ) 0 0 y x = y 的解 ( , , ) 0 0 y = ϕ x x y 在区间a ≤ x ≤ b 上有定义； （2） ϕ( , , ) −ϕ( , , ) < ε 0 0 0 0 x x y x x y ∀x ∈[a,b] 进一步，考虑含有参数λ 的方程 f (x, y,λ) dx dy = (3.14) 记Gλ = {(x, y,λ (|) x, y) ∈G,α < λ < β}.类似给出 f (x, y,λ) 在Gλ 内关于 λ 一致对 y 满 足局部李氏条件定义. 定义 7 若对Gλ 的每一点 p(x, y,λ) 都存在以点 p 为中心的闭球 H p ⊂ Gλ使得对任何点 H p (x, y1 ,λ),(x, y2 ,λ) ∈ ，有

f(x,)-f(x2,≤Lg,y- 则称f(x,八，)在G内关于入一致对y满足局部李氏条件定义这里L,是与元无关的正 对于方程(3.14)，我们不加证明给出解对初值和参数的连续依赖定理 定理5设f(x,y,)在G:内连续，且在G:内关于元一致对y满足局部的李氏条件，则方 程(3.14)的解y=x,x0,0,)作为x,x0,0,元的函数在它们存在范用内是连续的 2.关于解对初值的可微性 定乳6者福数了，列及影都在区诚G内连续则方B赠解y=9以x元为)作为 x人的隔数在它在意围内莲铁可政且器-风x长人儿 rrx》 证明仅证吧存在且连线，其余情形类似 dx。 设由初值(xo,o)和(，+Axo,)(△x≤a,α为足够小正数)所确定的方程的解分别为 y=x,)p和y=px,x0+△x,%)=p, p=%+f(x,p)本和p=%+f(x,)d, 于是利用微分中值定理计算得 -p=f(x.ds-f(x.ods f(r.or-o-p 超0c0c1记：2有瓷：二到等的的送鞋级积中恒 △ro 定理，我们知2是以下微分方程的初值句题 dx E(xo)=-f(xo,Yo)

50 1 2 1 2 f (x, y , ) f (x, y , ) L y y H p λ − λ ≤ − 则称 f (x, y,λ) 在Gλ 内关于 λ 一致对 y 满足局部李氏条件定义.这里 H p L 是与 λ 无关的正 数. 对于方程(3.14)，我们不加证明给出解对初值和参数的连续依赖定理. 定理 5 设 f (x, y,λ) 在Gλ 内连续，且在Gλ 内关于λ 一致对 y 满足局部的李氏条件，则方 程(3.14)的解 ( , , , ) y = ϕ x x0 y0 λ 作为 x, x0 , y0 ,λ 的函数在它们存在范围内是连续的. 2．关于解对初值的可微性 定理 6 若函数 f (x, y) 及 y f ∂ ∂ 都在区域G 内连续，则方程(3.1)的解 ( , , ) 0 0 y = ϕ x x y 作为 0 0 x, x , y 的函数在它存在范围内连续可微，且 ( , ( , , )), 0 0 f x x x y x ϕ ϕ = ∂ ∂         ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∫ x x dx y f x f x y x 0 ( , ) ( , ) exp 0 0 0 ϕ ϕ 和         ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ x x dx y f x y 0 ( , )) exp 0 ϕ ϕ 证明 仅证 0 ∂x ∂ϕ 存在且连续，其余情形类似. 设由初值( , ) 0 0 x y 和( , ) 0 0 0 x + ∆x y ( ∆x0 ≤ α,α 为足够小正数)所确定的方程的解分别为 y = ϕ(x, x0 , y0 ) ≡ ϕ 和 y = ϕ(x, x0 + ∆x0 , y0 ) ≡ φ ， 即 ∫ = + x x y f x dx 0 ( , ) ϕ 0 ϕ 和 ∫ +∆ = + x x x y f x dx 0 0 ( , ) φ 0 φ ， 于是利用微分中值定理计算得 dx y f x f x dx f x dx f x dx x x x x x x x x x x ( ) ( , ( )) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 φ ϕ ϕ θ φ ϕ φ φ ϕ φ ϕ − ∂ ∂ + − = − + − = − ∫ ∫ ∫ ∫ +∆ +∆ . 这里0 < θ < 1.记 0 x z ∆ − = φ ϕ ，有 0 0 0 0 lim x x ∆x − = ∂ ∂ ∆ → ϕ φ ϕ ，注意到 y f ∂ ∂ ,ϕ,φ 的连续性及积分中值 定理，我们知 0 ∂x ∂ϕ 是以下微分方程的初值问题      = − ∂ ∂ = ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 z x f x y z y f x dx dz ϕ

的解这是关于：的一阶齐线性方程，于是特解为 dxo 显然它是x,x。,y,的连续函数 同理，类似可证其余情形关于9和P的具体表达式分别如下： 2=4-c%w 例7设P(x)和Q(x)是连续函数，而且初值问题 少=Pxy+0 dr x)=6 的解为y=小.不初值愿求出和器 dx 解根据定理5，有 -(Py+ dxo gefronk 例8设函数是初值问题 dy=sin(xy) dx xo)=% 的解。试球 和d 解根据定理5，有 =-sin( 因此

51 的解.这是关于 z 的一阶齐线性方程，于是特解为         ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∫ x x dx y f x f x y x 0 ( , ) ( , ) exp 0 0 0 ϕ ϕ 显然它是 0 0 x, x , y 的连续函数. 同理，类似可证其余情形.关于 0 ∂y ∂ϕ 和 ∂x ∂ϕ 的具体表达式分别如下：         ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ x x dx y f x y 0 ( , ) exp 0 ϕ ϕ 和 ( , ( , , ) 0 0 f x x x y x ϕ ϕ = ∂ ∂ . 例 7 设 P(x)和Q(x) 是连续函数，而且初值问题      = = + 0 0 ( ) ( ) ( ) y x y P x y Q x dx dy 的解为 ( , , ) 0 0 y = ϕ x x y ，不解此初值问题，试求出 0 ∂x ∂ϕ 和 0 ∂y ∂ϕ . 解 根据定理 5，有 ( ) ∫ = − + ∂ ∂ x x P x dx P x y Q x e x 0 ( ) 0 ( ) ( ) ϕ ， 和 ∫ = ∂ ∂ x x P x dx e y 0 ( ) 0 ϕ . 例 8 设函数是初值问题 ( )  ( )     = = 0 0 sin y x y xy dx dy 的解。试求 0 0 0 = 0 = ∂ ∂ x y x ϕ 和 0 0 0 = 0 = ∂ ∂ x y y ϕ . 解 根据定理 5，有 ( ) ( ) ∫ = − ∂ ∂ x x x dx x y e x 0 cos 0 0 0 sin ϕ ϕ ， 因此

同理有 2=e人ot恤】 注意到方程满足解的存在唯一性定理，所以方程有解(x,0,0)=0,即有 =e-e dyo $3.4动力系统简介 对于—阶常系数齐线性方程 来w8的 满足初始条件O)=,的解是y=%e“=x,o),记p,)=p(x,),称它为方程 (3.15)的流，它是R×R上的连续函数若固定让x变，就是过点y%的积分曲线：若固定x 让乃变，就得到的一个映射P:R→R.再令参数x变，就可以想象它是R上的点沿方程 (3.15)的轨线按箭头所指方向流动. 同时，由上面表达式p,Oo)=yoe“知它具有如下性质 (1)0,)=0)=Jo,即9是恒等映射： (2)p0)=p.(9,0y》,从而9的反函数(p广'存在，易知(p尸=px 进一步，我们考虑一阶方程 盘=066 这里fy)不含x,且在G中满足解的存在唯一性定理条件，记满足初始条件0)=，的 解为y=x,)，同上记,()=p(x,)也称为方程(3.16)的流这里x∈J()表示 方程(3.16)满足初始条件的存在最大区间为简便计，假设J(y,)=R,G=R,由解的存在 唯一性定理和解对初值的连续依赖定理知y=(x,)具有如下三性质： (1)连续性：P是R×R→R上的二元连线函数： (2)恒等性：0)=a,y∈R: 52

52 0 0 0 0 0 = ∂ ∂ x = y = x ϕ . 同理有 ( ) ∫ = ∂ ∂ x x x x dx e y 0 cos 0 ϕ ϕ ， 注意到方程满足解的存在唯一性定理，所以方程有解ϕ(x )0,0, = 0 ，即有 2 0 0 2 0 0 0 x xdx x y e e y x = ∫ = ∂ ∂ = = ϕ . §3.4 动力系统简介 对于一阶常系数齐线性方程 ay dx dy = (3.15) 满足初始条件 0 y )0( = y 的解是 ( , ) 0 0 y y e x y ax = = ϕ ，记 ( ) ( , ) 0 0 y x y ϕ x = ϕ ，称它为方程 (3.15)的流，它是 R × R 上的连续函数.若固定 0 y 让 x 变，就是过点 0 y 的积分曲线；若固定 x 让 0 y 变，就得到的一个映射ϕ x : R → R .再令参数 x 变，就可以想象它是 R 上的点沿方程 (3.15)的轨线按箭头所指方向流动. 同时，由上面表达式 ax x y y e 0 0 ϕ ( ) = 知它具有如下性质： (1) 0 0 0 0 ϕ ,0( y ) = ϕ ( y ) = y , 即ϕ 0 是恒等映射； (2) ( ) ( ( )) 0 0 y y ϕ a+b = ϕ a ϕb ,从而ϕ x 的反函数( ) −1 ϕ x 存在，易知( ) x −x − ϕ = ϕ 1 . 进一步，我们考虑一阶方程 f ( y) dx dy = (3.16) 这里 f ( y) 不含 x ，且在G 中满足解的存在唯一性定理条件，记满足初始条件 0 y )0( = y 的 解为 ( , ) 0 y = ϕ x y ， 同上记 ( ) ( , ) 0 0 y x y ϕ x = ϕ 也称为方程(3.16)的流.这里 ( ) 0 x ∈ J y 表示 方程(3.16)满足初始条件的存在最大区间.为简便计，假设 J ( y0 ) = R,G = R ，由解的存在 唯一性定理和解对初值的连续依赖定理知 ( , ) 0 y = ϕ x y 具有如下三性质： （1）连续性：ϕ 是 R × R → R 上的二元连续函数； （2）恒等性：ϕ 0 ( y0 ) = y0 , ∀y0 ∈ R ；

(3)平移性：p6)=p(9,》,从而口，的反函数存在(，)广 把方程(3.16)的上述三性质抽象出来，就引入了数学界目前较流行的一门新的研究方向：动 力系统. 定义8设GSR是开集，函数p:R×G→G连续，记p,(x)=1,x).若固定1时，函数 9,:G→G,满足 (1)恒等性：0：G→G是恒等函数： (2)平移性：9=go9,1,s∈R. 则称口，为动力系统，也称为动力系统的流 动力系统具有许多新的和奇妙的现象，在这里我们不作详细介绍了要深入学习可以参 考有关文献8,9,14,16,18

53 （3）平移性： ( ( )) 0 0 ( y ) y ϕ a+b = ϕ a ϕb ，从而ϕ x 的反函数存在( ) −1 ϕ x . 把方程(3.16)的上述三性质抽象出来，就引入了数学界目前较流行的一门新的研究方向：动 力系统. 定义 8 设G ⊆ R 是开集，函数ϕ : R ×G → G 连续，记 (x) t,( x) ϕt = ϕ .若固定t 时，函数 ϕt : G → G ，满足 （1）恒等性：ϕ 0 : G → G 是恒等函数； （2）平移性：ϕt+s = ϕt oϕ s , ∀t,s ∈ R . 则称ϕt 为动力系统，也称为动力系统的流. 动力系统具有许多新的和奇妙的现象，在这里我们不作详细介绍了.要深入学习可以参 考有关文献[8，9，14，16，18]