《解析几何》课程授课教案（讲义）第一章 向量代数

序言 一、空间解析几何的基本内容： 1、已知含有变量的方程（组），从研究方程（组）的代数性质入手，来导出它所 代表图形的集合性质。 2、依据所给图形的几何条件，首先求出它的方程，然后再通过对方程代数性质 的研究，了解图形的几何性质。 二、学习空间解析几何的意义： 1、培养和提高教学修养的需要。 2、它是分析、代数以及其他专业课的基础。分析中经常用非解析几何的研究方 法及图形的许多性质：它为代数中的不少对象作了具体的几何解释，给代数 以直观的几何形象。 三、参考书： 1、吕林根，许子道.解析几何（第二版）高等教育出版社 2、杨文茂等.空间解析几何.武汉大学出版社 3、南开数学教研室.空间解析几何引论（上），人民教有出版社

序 言 一、空间解析几何的基本内容： 1、已知含有变量的方程（组），从研究方程（组）的代数性质入手，来导出它所 代表图形的集合性质。 2、依据所给图形的几何条件，首先求出它的方程，然后再通过对方程代数性质 的研究，了解图形的几何性质。 二、学习空间解析几何的意义： 1、培养和提高教学修养的需要。 2、 它是分析、代数以及其他专业课的基础。分析中经常用非解析几何的研究方 法及图形的许多性质；它为代数中的不少对象作了具体的几何解释，给代数 以直观的几何形象。 三、参考书： 1、吕林根，许子道. 解析几何（第二版）.高等教育出版社. 2、杨文茂等. 空间解析几何. 武汉大学出版社 3、南开数学教研室. 空间解析几何引论（上）. 人民教育出版社

第一章向量代数 本章教学目的：通过本章学习，使学生掌握向量及其运算的概念，熟练掌握线性运算和非 线性运算的基本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某 些几何问题，为以下各章利用代数方法研究空间图形的性质打下基础。 本章教学重点：(1)向量的基本概念和向量间关系的各种刻划： (2)向量的线性运算、积运算的定义、运算规律及分量表示 本章教学难点：(1)问量及其运算与空间坐标系的联系： (2)向量的数量积与向量积的区别与联系： (3)向量及其运算在平面、立体几何中的应用。 本章教学内容： §1向量及其线性运算 1.1.1向量的概念 一、定义：既有大小又有方向的量称为向量，如力、速度、位移、加速度等 二、表示：在几何上，用带箭头的有向线段表示向量，箭头表示向量的方向，线条长度代 表向量的大小：向量的大小又叫向量的模（长度）： 起点（始点）为A,终点为B的向量，记作AB,其模记做AB。 注：为方便起见，今后除少数情形用向量的起、终点字母标记向量外，我们一般用小写黑体 字母a、b、c.或a,c来表示向量，用希腊字母元，4，y.表示数量。 三、两种特殊向量： 1、零向量：模等于0的向量称为零向量，简称零向量，以0记之。 注：零向量是唯一方向不定的向量

第一章 向量代数 本章教学目的：通过本章学习，使学生掌握向量及其运算的概念，熟练掌握线性运算和非 线性运算的基本性质、运算规律和分量表示，会利用向量及其运算建立空间坐标系和解决某 些几何问题，为以下各章利用代数方法研究空间图形的性质打下基础。 本章教学重点：（1）向量的基本概念和向量间关系的各种刻划； （2）向量的线性运算、积运算的定义、运算规律及分量表示。 本章教学难点：（1）向量及其运算与空间坐标系的联系； （2）向量的数量积与向量积的区别与联系； （3）向量及其运算在平面、立体几何中的应用。 本章教学内容： §1 向量及其线性运算 1.1.1 向量的概念 一、定义：既有大小又有方向的量称为向量，如力、速度、位移、加速度等。 二、表示：在几何上，用带箭头的有向线段表示向量，箭头表示向量的方向，线条长度代 表向量的大小；向量的大小又叫向量的模（长度）。 起点（始点）为 A ，终点为 B 的向量，记作 AB ，其模记做 AB 。 注：为方便起见，今后除少数情形用向量的起、终点字母标记向量外，我们一般用小写黑体 字母 a、b、c.或 abc , , 来表示向量，用希腊字母    , , .表示数量。 三、两种特殊向量： 1、 零向量：模等于 0 的向量称为零向量，简称零向量，以 0 记之。 注：零向量是唯一方向不定的向量

2、单位向量：模等于1的向量称为单位向量，简称单位向量。特别地，与非零向量ā同 向的单位向量称为a的单位向量，记作a”。 四、向量间的几种特殊关系： 1、平行（共线）：向量a平行于向量i,意即a所在直线平行于石所在直线，记作a∥b, 规定：零向量平行于任何向量。 2、相等：向量a等于向量6，意即日=园且a与b同方向，记作a=b。 规定：所有零向均相等。 注：二向量相等与否，仅取决于它们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量 称为自由向量。 3、反向量：与向量a模相等但方向相反的向量称为a的反向量，记作-a,显然-AB=BA -（-ad=a,零向量的反向量还是其自身。 4、共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量，易见，任两个向量总是共面的， 零向量与任何共面向量组共面。 注：应把向量与数量严格区别开米： ①向量不能比较大小，如AB>CD没有意义： ②向量严禁除法运算，如华此类式子不允许出现。 CD 1.1.2向量的加法 一向量的加法： 定义1.21作OA=a,以OA的终点为起点作AC=b,连接OC(图1-6)得 a+b=OC=c (1.2.1)

2、单位向量：模等于 1 的向量称为单位向量，简称单位向量。特别地，与非零向量 a 同 向的单位向量称为 a 的单位向量，记作 0 a 。 四、向量间的几种特殊关系： 1、平行（共线）：向量 a 平行于向量 b ，意即 a 所在直线平行于 b 所在直线，记作 a ∥ b ， 规定：零向量平行于任何向量。 2、相等：向量 a 等于向量 b ，意即 a b = 且 a b 与 同方向，记作 a b = 。 规定：所有零向均相等。 注：二向量相等与否，仅取决于它们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量 称为自由向量。 3、反向量：与向量 a 模相等但方向相反的向量称为 a 的反向量，记作−a ，显然− AB = BA − − = ( a a ) ，零向量的反向量还是其自身。 4、共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量，易见，任两个向量总是共面的， 零向量与任何共面向量组共面。 注：应把向量与数量严格区别开来： ①向量不能比较大小，如 AB  CD 没有意义； ②向量严禁除法运算，如 CD AB 此类式子不允许出现。 1.1.2 向量的加法 一 向量的加法： 定义 1.2.1 作 OA a = ，以 OA 的终点为起点作 AC b = ，连接 OC （图 1-6）得 a b OC c + = = （1.2.1）

由这个公式表示的向量加法法则称作向量加法的“三角形法则”。 C 02 (图1.1) 向量加法的“三角形法则”的实质是：将两向量的首尾相联，则一向量的首与另一向量的 尾的连线就是两向量的和向量。 定义122设ā=01、石=0B,以O1与OB为边作一平行四边形04CB,取对角线 向量OC,记c=0C,如图1-3，称c为ā与b之和，并记作 c-a+b (图1.2) 这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的“平行四边形法 则”。 如果向量ā=OA与向量6=OB在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量： 若OA与OB的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等于两向量的模之和（图 1-3) A 0 0 B 0 c (图1.3) 若OA与OB的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差，其方向与模值大的向 量方向一致（图14）

由这个公式表示的向量加法法则称作向量加法的“三角形法则”。 向量加法的“三角形法则”的实质是： 将两向量的首尾相联，则一向量的首与另一向量的 尾的连线就是两向量的和向量。 定义 1.2.2 设 a OA = 、b OB = ，以 OA 与 OB 为边作一平行四边形 OACB ，取对角线 向量 OC ，记 c OC = ，如图 1-3，称  c 为  a 与  b 之和，并记作    c = a + b 这种用平行四边形的对角线向量来规定两个向量之和的方法称作向量加法的“平行四边形法 则”。 如果向量 a OA = 与向量 b OB = 在同一直线上，那么，规定它们的和是这样一个向量： 若 OA 与 OB 的指向相同时，和向量的方向与原来两向量相同，其模等于两向量的模之和（图 1-3）. o A B o o C 若 OA 与 OB 的指向相反时，和向量的模等于两向量的模之差，其方向与模值大的向 量方向一致（图 1-4）。 (图 1.2) (图 1.3) (图 1.1)

0 B 0 一C (图1.4) 据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律： 定理1.21向量的加法满足下面的运算律： 1、结合律(a++c=a+(亿+c)=a+i+c (1.2.2) 2、交换律a+b=b+a: (1.23) 3、对任意的向量a,有a+0=a: 4、对任意的向量a,有a+(-a)=0。 证明：结合律的证明从图(1.5)可得证，交换律的证明从向量的加法定义即可得证。 a+b+c (图1.5) 二向量的减法 定义12.3a-b-a+(-i)(或定义为若c=a+b,则我们把b叫做c与a的差，记 为.b=c-a。 显然，a-万=a+(-):特别地，a-a=a+(-a-0。 由三角形法则可看出：要从ā减去石，只要把与i长度相同而方向相反的向量-不加到 向量a上去.由平行四边形法则，可如下作出向量a-方（图1.6）

A o B o C 据向量的加法的定义，可以证明向量加法具有下列运算规律： 定理 1.2.1 向量的加法满足下面的运算律： 1、结合律 ( ) ( ) a b c a b c a b c + + = + + = + + ； （1.2.2） 2、交换律 a b b a + = + ； （1.2.3） 3、对任意的向量 a ，有 a a + =0 ； 4、对任意的向量 a ，有 a a + − = ( ) 0 。 证明： 结合律的证明从图(1.5)可得证, 交换律的证明从向量的加法定义即可得证。 二 向量的减法 定义 1.2.3 a b a b − = + − : ( ) (或定义为 若 c a b = + ，则我们把 b 叫做 c 与 a 的差，记 为.b c a = − 。 显然， a b a b − = + −( ) ； 特别地, a a a a − = + − = ( ) 0。 由三角形法则可看出：要从 a 减去 b ，只要把与 b 长度相同而方向相反的向量−b 加到 向量 a 上去. 由平行四边形法则，可如下作出向量 a b − （图 1.6）。 (图 1.4) (图 1.5)

-b 例1设互不共线的三向量a五©，试证：思是们的件点与始点相造收-个三角形 的充要条件是它们的和是零向量。 证明：必要性。设三向量a,i,c可以构成三角形ABC(图1-7)， 即有 AB=a,BC=b,CA=c, a 那么， (图1.) AB+BC+CA=a+b+c=AA=0. 即 a+b+c=0. 充分性。设a+b+c=0,作AB=a,BC=五，那么AC=a+b,所以AC+c=0,从 而c=CA,所以a,i,c可以构成三角形ABC。 例2用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 证明：设四边形ABCD的对角线AC」 BD交于O点且互相平分（图1.8） 因此从图可看出： AB=A0+0B=0B+AO=DO+0C=DC 所以， (图1.8) AB∥DC,且AB=DC 即四边形ABCD为平行四边形

例 1 设互不共线的三向量 abc , , ，试证明：顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形 的充要条件是它们的和是零向量。 证明： 必要性。 设三向量 abc , , 可以构成三角形 ABC （图 1-7）， 即有 AB a BC b CA c = = = , , ， 那么， AB BC CA a b c AA + + = + + = = 0 ， 即 abc + + = 0 。 充分性。 设 abc + + = 0 ，作 AB a BC b = = , ，那么 AC a b = + ，所以 AC c + = 0 ，从 而 c CA = ，所以 abc , , 可以构成三角形 ABC 。 例 2 用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 证明： 设四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于 O 点且互相平分（图 1.8） 因此从图可看出： AB AO OB OB AO DO OC DC = + = + = + = ， 所以， AB ∥ DC ，且 AB DC = ， 即四边形 ABCD 为平行四边形。 (图 1.6) A B C a c b (图 1.7) A B D C O (图 1.8)

例3思考题：下列情形中向量的终点各构成什么图形？ ()把空间中一切单位向量归结到共同的始点。单位球面 (2)把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点。单位圆 (3)把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点。两个相距位2的点 1.1.3向量的数量乘法 位移、力、速度和加速度都是向量，而时间、质量等是数量，这些向量和数量常会发生 某些结合关系。如：质量m乘以加速度ā就得到力了，即了=ma。时间1与速度Y乘积为 向量S,即s=P。n相同的非零向量a的和是na,na的方向与a方向相同，向量na的 长度为nd=nd。下面引出向量的数量乘法这个概念。 定义13.1设1是一个数量，向量ā与的乘积是一向量，记作ā，其模等于a的入 倍，即2d-d:且方向规定如下：当2>0时，向量à的方向与d的方向相同：当元=0 时，向量ā是零向量，当元<0时，向量à的方向与ā的方向相反。 特别地，取1=-1，则向量(-)a的模与ā的模相等，而方向相反，由负向量的定义 知：(-)a=-a。 据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律： 定理1.31数量与向量的乘法满足下面的运算律：对任意的向量a,和任意实数，4有 (1)1a=a,(-1)a=-a, (2)结合律2(u@-u(aa)=-(u)a, (1.3.1) (3)第一分配律 (+ua)=Aa+ua (13.2) (4)第二分配律(a+b=1a+b. (1.3.3) 证明：()和(2)可以用定义1.3.1直接验证。 第一分配律的证明。若a=0或元，4中有一个为0，结论显然成立。下证a≠0且元，4全不 为0的情形

例 3 思考题：下列情形中向量的终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位向量归结到共同的始点。 单位球面 （2）把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点。 单位圆 （3）把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点。 两个相距位 2 的点 1.1.3 向量的数量乘法 位移、力、速度和加速度都是向量，而时间、质量等是数量，这些向量和数量常会发生 某些结合关系。如：质量 m 乘以加速度 a 就得到力 f ，即 f ma = 。时间 t 与速度 v 乘积为 向量 s ，即 s tv = 。 n 相同的非零向量 a 的和是 na，na 的方向与 a 方向相同，向量 na 的 长度为 na n a = 。下面引出向量的数量乘法这个概念。 定义 1.3.1 设  是一个数量，向量 a 与  的乘积是一向量，记作 a ，其模等于 | | a 的  倍，即   a a = ；且方向规定如下：当   0 时，向量 a 的方向与  a 的方向相同；当  = 0 时，向量 a 是零向量，当   0 时，向量 a 的方向与  a 的方向相反。 特别地，取  =−1 ，则向量 ( 1) − a 的模与 a 的模相等，而方向相反，由负向量的定义 知： ( 1) − = − a a 。 据向量与数量乘积的定义，可导出数乘向量运算符合下列运算规律： 定理 1.3.1 数量与向量的乘法满足下面的运算律：对任意的向量 a b, 和任意实数  ,  有 (1) 1 , ( 1) a a a a = − = − ， (2) 结合律      ( ) ( ) ( ) a a a = = ， (1.3.1) (3) 第一分配律 ( )     + = + a a a ， (1.3.2) (4) 第二分配律    ( ) a b a b + = + 。 (1.3.3) 证明： (1)和(2)可以用定义 1.3.1 直接验证。 第一分配律的证明。若 a = 0 或  , 中有一个为 0 ，结论显然成立。下证 a  0 且  , 全不 为 0 的情形

情形L.若元，u同号，则a与ua同方向，则有 aa+ua=aa+ua=lala+lua=(l+luba 又 a+)d=a+4a=(+la: 因此， a+ua=(A+M)a. 并且当2，μ同号时，显然2a+ua与(a+)a同方向，所以 a+ua=(+)a. 情形2.若2,4异号，由于入，4是对称的，因此不妨设1>0,40，因为+4>0，-4>0，由情形1得 [i+川+(-]a=(a+)a+(-u)a, 可得 2a=(2+)a+(-μa), 从而得 a+ua=(a+)a。 情形2.3若2+4<0，因为2+与-4异号，由情形1得 [2+)+(-2a=(+)a+(-)a, 类似情形2.2可得(1.32)

情形 1. 若  , 同号，则 a 与 a 同方向，则有         a a a a a a a + = + = + = + ( ) , 又 ( ) ( ) ,       + = + = + a a a 因此，     a a a + = + ( ) , 并且当  , 同号时，显然   a a + 与 ( )   + a 同方向，所以     a a a + = + ( ) 。 情形 2. 若  , 异号，由于  , 是对称的，因此不妨设     0, 0 。下面又分三种情况考 虑。 情形 2.1 若   + = 0 ，则(1.3.2)左边为 0 0 a = ，而右边为       a a a a a a + − = + − = + − = ( ) ( 1) ( ) 0, 因此(1.3.2)成立。 情形 2.2 若   +  0 ，因为    +  −  0, 0 ，由情形 1 得 [( ) ( )] ( ) ( ) ,       + + − = + + − a a a 可得     a a a = + + − ( ) ( ), 从而得     a a a + = + ( ) 。 情形 2.3 若   +  0 ，因为   + 与 − 异号，由情形 1 得 [( ) ( )] ( ) ( )       + + − = + + − a a a ， 类似情形 2.2 可得(1.3.2)

第二分配律的证明。若a,6中有一个为0或1=0，结论(13.3)显然成立。下证a,6全不 为0且元≠0的情形。若a∥i,则存在实数4使得乃-ua,于是 (a+b)=(1a+u@)=1+)网=[21+)问 =[2+]a=a+a=a+(μa)=a+i 若a不平行于i,当1>0时，作OA=a,AB=b,于是0B表示a+b:作OC=2a CD=6(见课本图(1.8).则△OAB∽△OCD,从而D必在OB上，于是OD=a+拓， 所以有 2(a+而=a+6。 当1<0时，同理可证。 例1设AM是三角形ABC的中线，求证 AM=5(AB+AC)· 证明：法1.如图111，因为 AM=AB+BM=AC+CM 所以 2AM=AB+BM+AC+CM. M 但 (图1.11) BM+CM=BM+MB=0, 因此 2AM=AB+AC. 即AM=(AB+AC). 法2.因为M是三角形ABC的边BC的中点，所以BM=}BC,故 AM-AB+BM-a+BC-a+(b-a)-](B+a)

第二分配律的证明。若 a b, 中有一个为 0 或  = 0 ，结论（1.3.3）显然成立。下证 a b, 全不 为 0 且   0 的情形。 若 a ∥ b ，则存在实数  使得 b a =  ，于是 ( ) (1 ) [(1 ) ] [ (1 ) ] [ ] ( ) . a b a a a a a a a a a a b                 + = + = + = + = + = + = + = + 若 a 不平行于 b ，当   0 时，作 OA a AB b = = , ，于是 OB 表示 a b + ；作 OC a =  ， CD b =  （见课本图(1.8)）。则 OAB ∽ OCD ，从而 D 必在 OB 上，于是 OD a b = +   ， 所以有    ( ) a b a b + = + 。 当   0 时，同理可证。 例 1 设 AM 是三角形 ABC 的中线，求证 1 ( ) 2 AM AB AC = + 。 证明： 法 1. 如图 1-11，因为 AM AB BM AC CM = + = + ， 所以 2AM AB BM AC CM = + + + ， 但 BM CM BM MB + = + = 0， 因此 2AM AB AC = + ， 即 1 ( ) 2 AM AB AC = + 。 法 2. 因为 M 是三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 1 2 BM BC = ，故 1 1 1 ( ) ( ). 2 2 2 AM AB BM a BC a b a b a = + = + = + − = + A B C M (图 1.11)

法3.因为M是三角形ABC的边BC的中点，所以BM=MC,故 AM=AB+BM=a+MC=a+(B-AM). 移项除以2得A-a+b)=(AB+AC)。 1.1.4共线（共面）的向量组 定义1.4.1设a1,.,am是一组向量，.，n是一组实数，则a+3a2+.a。 叫做向量组a,.,am的线性组合，或称a=a+2a2+.入，an可以用向量a1,.,an线性 表示，或称a可以分解成向量a,.,an的线性组合 定义14.2向量组若用同一起点的有向线段表示后，它们在一条直线（一个平面）上，称这 个向量组是共线的（共面的）。 平行（共线）向量：向量a平行于向量b,意即a所在直线平行于6所在直线，记作a∥i。 若a=b或b=a,则a与b共线。 规定：零向量平行于任何向量。 共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量，易见，任两个向量总是共面的，零向 与任何共面向量组共面。 命题1.4.1若a与b共线，并且a≠0，则存在唯一的实数1使得b=a。 证明：存在性。若a与i同向，则a°=，从而有 =6=a=aa）a 取@=元，则有b=aa。若若a与i反向，则a=-b,从而有 =6=a=-a-da 取-=元，则有石=ā

法 3. 因为 M 是三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 BM MC = ，故 AM AB BM a MC a b AM = + = + = + − ( ), 移项除以 2 得 1 1 ( ) ( ) 2 2 AM a b AB AC = + = + 。 1.1.4 共线(共面)的向量组 定义 1.4. 1 设 a a 1, , n 是一组向量, 1 , ,  n 是一组实数，则 1 2 1 2 n n    a a a + + 叫做向量组 a a 1, , n 的线性组合，或称 1 2 1 2 n n a a a a = + +    可以用向量 a a 1, , n 线性 表示，或称 a 可以分解成向量 a a 1, , n 的线性组合. 定义 1.4. 2 向量组若用同一起点的有向线段表示后，它们在一条直线（一个平面）上，称这 个向量组是共线的（共面的）。 平行（共线）向量：向量 a 平行于向量 b ，意即 a 所在直线平行于 b 所在直线，记作 a ∥ b 。 若 a b =  或 b a =  ，则 a 与 b 共线。 规定：零向量平行于任何向量。 共面向量：平行于同一平面的一组向量称为共面向量，易见，任两个向量总是共面的，零向 与任何共面向量组共面。 命题 1.4.1 若 a 与 b 共线,并且 a  0 ,则存在唯一的实数  使得 b a =  。 证明：存在性。若 a 与 b 同向，则 0 0 a b = ，从而有 ( ) ( ) 0 0 1 1 b b b b a b a a b a a − − = = = = ， 取 1 b a  − = ，则有 b a =  。若若 a 与 b 反向，则 0 0 a b = − ，从而有 ( ) ( ) 0 0 1 1 b b b b a b a a b a a − − = = = − = − ， 取 1 b a  − − = ，则有 b a = 