《线性代数》课程授课教案（讲义）第三章 矩阵的初等变换及线性方程组

3-1矩阵的初等变换与线性方程组 1.消元法解线性方程组 问题的提出：前面我们看到，对于有n个未知数，n个方程的线性方程组，我们 可以通过克拉默法则来求解。而现实世界中经常有这样的方程组，在个未知数 的方程组中，只有m个方程，若m<n,则方程组的系数构不成行列式，所以不 能通过克拉默法则求解，那么，我们今天来讨论这类方程的求解问题。 2x-x-x+x=2 例如：求解线性方程组{x+x2-2x+x=4 4x-6x2+2x3-2x4=4 2x-x3-x+x=2 解：利用消元法： x+x-2x+x=4 4x-6x2+2x-2x4=4 [x+x2-2x+x4=4 2%-为-为+x=2 4x-6x2+2x-2x=4 x+x-2x+x=4 2x-2-为+=2 2x-3x2+x3-x=2 +为2-2x+x=4 -3x2+3x-x,=-6 -2x2+2x-2x=0 x+x2-2x+x=4 3-为+x=0 x4=-3 用“回代”的方法求出解：于是解得 x=x3+4 书=为+3 x4=-3 其中x为任意取值.或令x=c,方程组的解可记作

3-1 矩阵的初等变换与线性方程组 1. 消元法解线性方程组 问题的提出：前面我们看到，对于有 n 个未知数，n 个方程的线性方程组，我们 可以通过克拉默法则来求解。而现实世界中经常有这样的方程组，在 n 个未知数 的方程组中，只有 m 个方程，若 m n < ，则方程组的系数构不成行列式，所以不 能通过克拉默法则求解，那么，我们今天来讨论这类方程的求解问题。 例如：求解线性方程组 1 234 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 4 4 6 2 2 4 x xxx x x x x x x x x ì - - + = ï í + - + = ï - + - = î 解：利用消元法： 1 234 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 4 4 6 2 2 4 x x x x x x x x x x x x ì - - + = ï í + - + = ï - + - = î 1 2 3 4 1 234 1 2 3 4 2 4 2 2 4 6 2 2 4 x x x x x x x x x x x x ì + - + = ï í - - + = ï - + - = î 1 2 3 4 1 234 1 2 3 4 2 4 2 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x ì + - + = ï í - - + = ï - + - = î 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 4 3 3 6 2 2 2 0 x x x x x x x x x x ì + - + = ï í- + - = - ï- + - = î 1 2 3 4 2 3 4 4 2 4 0 3 x x x x x x x x ì + - + = ï í - + = ï î = - 用“回代”的方法求出解： 于是解得 1 3 2 3 4 4 3 3 x x x x x ì = + ï í = + ï î = - 3 其中x 为任意取值. 3 或令x c = ,方程组的解可记作

c+4) 2. 矩阵的初等变换 上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数项进行变换，未知数并未参加 运算，即在求解方程组得过程就是对增广矩阵进行行变换的过程。变换可以归结 为三种。即： 1、互换两行：5《5 2、数乘某行：，'k 3、某行的k倍加到另一行：，+如 而且，这三种变换都是可逆的，而且逆变换与原变换类型相同， 万《)逆变换)《： 万：逆变换，专 r+如逆变换r-: 我们将这三种变换叫做矩阵的初等行变换。 类似的，我们可以定义矩阵的初等列变换， 矩阵的初等行变换和初等列变换统称作矩阵的初等变换。 定义：如果矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B就称矩阵A与B行等价，记 作A二B。 定义：如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B就称矩阵A与B列等价，记 作AB。 定义：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B就称矩阵A与B等价，记作 AB。 等价关系的性质： (1)反身性：A~A (2)对称性：若A~B,则B~A

1 2 3 4 4 3 , 3 x c x c x x c x æ ö æ ö + ç ÷ ç ÷ + ç ÷ ç ÷ = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø - 即 1 2 3 4 1 4 1 3 , 1 0 0 3 x x x c x x æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = = + ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø - 2. 矩阵的初等变换 上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数项进行变换，未知数并未参加 运算，即在求解方程组得过程就是对增广矩阵进行行变换的过程。变换可以归结 为三种。即： 1、互换两行： i j r r « 2、数乘某行： i r k ´ 3、某行的k 倍加到另一行： i j r + kr 而且，这三种变换都是可逆的，而且逆变换与原变换类型相同， i j r r « 逆变换 ; i j r r « i r k ´ 逆变换 1 i r k ´ i j r + kr 逆变换 i j r - kr 我们将这三种变换叫做矩阵的初等行变换。 类似的，我们可以定义矩阵的初等列变换， 矩阵的初等行变换和初等列变换统称作矩阵的初等变换。 定义：如果矩阵 A 经过有限次初等行变换变成矩阵 B 就称矩阵 A 与 B 行等价，记 作 ~ r A B 。 定义：如果矩阵 A经过有限次初等列变换变成矩阵 B 就称矩阵 A与 B 列等价，记 作 ~ c A B 。 定义：如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B ~ 。 等价关系的性质： （1）反身性： A A ~ （2）对称性：若 A B ~ ，则 B A ~

(3)传递性：若A~B,B~C,则A~C 定义：行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准型矩阵。 结论：可用数学归纳法证明任何一个矩阵A经过一系列的初等变换都可以变作标 准型。 3.初等矩阵 初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 结论：三种初等变换对应三种初等矩阵， 1.0 1、E6,) 0.1 (1 2、E(ik) 3、E,jk)》 1 结论：对矩阵进行一次初等行变换相当于在矩阵的左边乘以一个初等矩阵，对矩 阵进行一次初等列变换相当于在矩阵的右边乘以一个初等矩阵。 结论：方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵A,P2,.,P。,使 A=P P:P

（3）传递性：若 A B ~ ， B C~ ，则 A C~ 定义：行阶梯形矩阵，行最简形矩阵，标准型矩阵。 结论：可用数学归纳法证明任何一个矩阵 A经过一系列的初等变换都可以变作标 准型。 3.初等矩阵 初等矩阵：由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 结论：三种初等变换对应三种初等矩阵。 1、 E(i j , ) 1 1 0 0 1 1 æ ö ç ÷ è ø O L M M L O 2、 E(i k( )) 1 1 1 1 k æ ö ç ÷ è ø O O 3、 E(i, j k( )) 1 1 1 1 k æ ö ç ÷ è ø O O O 结论：对矩阵进行一次初等行变换相当于在矩阵的左边乘以一个初等矩阵，对矩 阵进行一次初等列变换相当于在矩阵的右边乘以一个初等矩阵。 结论：方阵 A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 1 2 , , , n p p p L ，使 A 1 2 n = p p p L

4.初等矩阵的应用 定理：设A与B为m×n矩阵，那么： 1)A~B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P,使PA=B 2)A~B的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q,使AQ=B 3)A~B的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B 推论：方阵A可逆的充分必要条件是AE 推论：若方阵A可逆，则将矩阵(A:E)经过初等行变换，将A变换为E后，则E 将变为。 推论：若方阵A可逆，则将矩阵(A:B)经过初等行变换，将A变换为E后，则B 将变为AB。 (51-2)1-3 例：用初等变换解矩阵方程：AX=X+B,其中A=231,B=22 3103-1 例：将矩阵(A:B)利用初等变换化为行阶梯形，再化为行最简形，最后化为标准形 1-22-1 1 2-480 -24-23 .8s 3 3-60-6 4 在本课程中，我们只讨论行变换，列变换我们一般不用，那么形如XA=B方程 组如何解呢，我们可以将方程组得两端同时取转置。 3-2矩阵的秩 定义(k阶子式)：在m×n的矩阵A中，任取k行与k列，位于这些行列交叉的 元素不改变它们在矩阵A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的

4.初等矩阵的应用 定理：设 A与 B 为m n ´ 矩阵，那么： 1） ~ r A B 的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵 P ，使 PA B = 2） ~ c A B 的充分必要条件是存在n 阶可逆矩阵Q，使 AQ B = 3）A B ~ 的充分必要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 和n 阶可逆矩阵Q，使 PAQ B = 推论：方阵 A可逆的充分必要条件是 ~ r A E 推论：若方阵 A可逆，则将矩阵(A E: )经过初等行变换，将 A变换为 E 后，则 E 将变为 1 A - 。 推论：若方阵 A可逆，则将矩阵(A B: ) 经过初等行变换，将 A 变换为 E 后，则 B 将变为 1 A B- 。 例：用初等变换解矩阵方程： AX = + X B ，其中 5 1 2 1 3 2 3 1 , 2 2 3 1 0 3 1 A B æ - - ö æ ö ç ÷ ç ÷ = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø - 例：将矩阵(A B: )利用初等变换化为行阶梯形,再化为行最简形,最后化为标准形 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 A B æ - - ö æ ö ç ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ = = ç - - ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è - - ø è ø 例：求矩阵 0 2 1 3 0 2 2 3 0 é ù - ê ú - ê ú ë û - 的逆矩阵。 在本课程中，我们只讨论行变换，列变换我们一般不用，那么形如 XA B = 方程 组如何解呢，我们可以将方程组得两端同时取转置。 3-2 矩阵的秩 定义（k 阶子式）：在m n ´ 的矩阵 A 中，任取 k 行与 k 列，位于这些行列交叉的 元素不改变它们在矩阵 A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式，称为矩阵 A 的

k阶子式。 100 举例：A=010 110 定义（矩阵秩）：设在矩阵A中有一个不等于0的k阶子式D,且所有k+1阶子 式（如果存在的话）都等于0，那么D称为A的最高阶非零子式（最高阶非零子 式不一定唯一)，数k称为矩阵A的秩，记作R(A),并规定零矩阵的秩为O。 例：①求上例矩阵A的秩。（降秩矩阵）》 (121 例：②求矩阵A=231 的秩。（满秩矩阵） 4713 一方阵A可逆，可逆矩阵的秩等于其阶数n,称为满秩矩阵，不可逆矩阵的 秩小于其阶数n,称为降秩矩阵。 (2-103 -2 031-25 例：③求矩阵B= 的秩。（行阶梯形矩阵） 0004-3 00000Js 一行阶梯形矩阵的秩就等于其非零行的行数，即等于阶梯的个数。 定理：矩阵经初等变换，秩不变。（若两个矩阵等价，则它们的秩相等。） -求秩方法：A~行阶梯形矩阵B,则R(A)=R(B)=B的非零行的行数。 32050Y 例：④求矩阵4236-1 的秩，并求一个最高阶非零子式。 2015-3 16-4-14 12-11 例：⑤设A=32元-1已知R(4)=2,求元，4的值。 5634 1-22 1 2 -48 0 例：⑥设A= ,b= 求A,B=(A,b)的秩。 -2 4 -2 23 3 6 0 6/

k 阶子式。 举例： 3 3 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 ´ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ A = 定义（矩阵秩）：设在矩阵 A中有一个不等于 0 的 k 阶子式 D，且所有 k +1阶子 式（如果存在的话）都等于 0，那么 D 称为 A的最高阶非零子式（最高阶非零子 式不一定唯一），数k 称为矩阵 A 的秩，记作 R A( )，并规定零矩阵的秩为 0。 例：①求上例矩阵 A1的秩。（降秩矩阵） 例：②求矩阵 3 3 4 7 1 2 3 1 1 2 1 ¸ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ A = 的秩。（满秩矩阵） ——方阵 An´n 可逆，可逆矩阵的秩等于其阶数n ，称为满秩矩阵，不可逆矩阵的 秩小于其阶数n ，称为降秩矩阵。 例：③求矩阵 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 ´ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - - B = 的秩。（行阶梯形矩阵） ——行阶梯形矩阵的秩就等于其非零行的行数，即等于阶梯的个数。 定理：矩阵经初等变换，秩不变。（若两个矩阵等价，则它们的秩相等。） ——求秩方法：A～行阶梯形矩阵 B,则 R(A)=R(B)=B 的非零行的行数。 例：④求矩阵 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 A æ ö ç ÷ - - = - è ø - - 的秩，并求一个最高阶非零子式。 例：⑤设 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - = m l 5 6 3 3 2 1 1 2 1 1 A 已知 R(A) = 2 ,求l, m 的值。 例：⑥设 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - - - - - = 4 3 2 1 , 3 6 0 6 2 4 2 3 2 4 8 0 1 2 2 1 A b ，求 A, B = (A,b)的秩

矩阵秩的性质： ①0≤R(A)≤min{m,n} ②R(A)=R(A),R(k)=R(A),k≠0 ③若A~B,则R(A)=R(B) ④若P,Q可逆，则R(PAQ)=R(A) ⑤max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B) ⑥RA+B)≤R(A)+R(B) ⑦R(AB)≤min{R(A),R(B)} ⑧AnB=O,则R(4)+R(B)≤n 3-3线性方程组的解 考虑： n个未知数m个线性方程的线性方程组 amx1+azx2+.+a1wx=b a离+aa++a=台=b amx+anx++amx=b aa.an） x 其中A= aaa.a2n b X= :. 1b= alam2.amJ xn b. b全为零时上线性方程组称为齐次线性方程组。 b不全为零时上线性方程组称为非齐次线性方程组 2x1-x2-x3+x4=2(0 引例：求解线性方程组 x+x,-2x+x,=4(2) 4x1-6x2+2x3-2x4=4(3) (B) 3x1+6x2-9x,+7x4=9(4) 解：利用消元法

矩阵秩的性质： ①0 £ R(A) £ min{m n, } ② ( ) ( ), ( ) ( ), 0 T R A = R A R kA = ¹ R A k ③若 A～B,则 R(A) = R(B) ④若 P Q, 可逆，则 R(PAQ) = R(A) ⑤max{R(A),R(B)} £ R(A, B) £ R(A) + R(B) ⑥ R(A + B) £ R(A) + R(B) ⑦ R(AB) £ min{R(A), R(B)} ⑧ Am´nBn´l = O，则R(A) + R(B) £ n 3-3 线性方程组的解 考虑： n 个未知数m 个线性方程的线性方程组 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = Û = ï ï î ï ï í ì + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n m m mn n m n n n n b b b b x x x x a a a a a a a a a A Ax b a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b M M L M M L M L L L LLLLLLLLLL L L 2 1 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 其中 , , b 全为零时上线性方程组称为齐次线性方程组。 b 不全为零时上线性方程组称为非齐次线性方程组。 引例： ï ï î ï ï í ì 1 + - + = - + - = + - + = - - + = (4) (3) (2) ( ) 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 2 4 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 求解线性方程组 (B) 解：利用消元法

2-3 (o (2* (B (B2) x1+x2-2x+x4=4 其中(B,)方程组为 -39=6 x2-x3+x4=0 0=0 这样，只要求解出(B,)的解即求解出(B)的解了，即(B)与(B,)同解。 我们记方程组(B)的增广矩阵为 (2-1-112) 11 -214 B=(A6)= ,对此增广矩阵作与上面消元法对应的初等行 4-62-24 36-979 变换得到： 11-214Y 01-110 B 作与上消元法对应等行变换 0001-3 =(A,b) 00000 而由消元法已知Ar=b与X=b同解。从而我们得到矩阵的初等变换可以求解线 性方程组的解，即线性方程组经初等变换，解没变 用初等变换求解Ax=b步骤： ①B=(A,b)·→(A,b):行阶梯形或行最简形，并求出R(A),R(B) ②判别（定理1）：R(AKR(B),则MA=b无解。 R=RB趴，则=b有解R)=R(B)=儿有唯一解. R(4)=R(B(n,有无穷多个解， ③求解=即求出所求Ax=b的解。 定义：A=b的解集表达式称为其通解 例：①求齐次线性方程组（有非零解的情况）

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 4 (3) (4) (4) 2(3) 3 2 1 (2) (4) 3(2) (3) 5(2) 2 (3) 2(1) (2) (3) (4) 3(1) 1 (1) (2) (3) 2 B ® B ® B ® B ® B - - ´ - + - - - « ¸ Ax b x x x x x x x x B Û = ï ï î ï ï í ì = = - - + = + - + = 0 0 3 0 2 4 4 2 3 4 1 2 3 4 其中（ 4）方程组为 这样，只要求解出（B4）的解即求解出(B)的解了，即(B)与（B4）同解。 我们记方程组(B)的增广矩阵为 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - - - - = = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 B (A,b) ，对此增广矩阵作与上面消元法对应的初等行 变换得到： B ¾作¾与¾上面消元法对 ¾¾¾应¾的初等¾行变换¾® ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 0 1 1 2 1 4 = A b ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ - - - 而由消元法已知 Ax = b与AX = b 同解。从而我们得到矩阵的初等变换可以求解线 性方程组的解，即线性方程组经初等变换，解没变。 用初等变换求解 Ax = b步骤： ① B (A,b) (A,b) : R(A), R(B). = ¾¾®r 行阶梯形或行最简形，并求出 ②判别（定理 1）： R(A)áR(B),则Ax = b无解。 î í ì = á = = = = 有无穷多个解。 有唯一解。 则 有解 ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ), R A R B n R A R B n R A R B Ax b ③求解 Ax = b即求出所求Ax = b的解。 定义： Ax = b 的解集表达式称为其通解。 例：①求齐次线性方程组（有非零解的情况）

x+2x2+2x,+x4=0 2x1+x2-2x3-2x,=0 x1-x2-4x3-3x4=0 例：②求解非齐次线性方程组（无解） [1-2x2+3x-x4=1 3x,-x2+5x3-3x4=2 2x1+x2+2x3-2x4=3 例：③求解非齐次线性方程组（有无穷多个解） x1+x2-3x3-x4=1 3x1-x2-3x+4x4=4 x1+5x2-9x3-8x4=0 例：④设有线性方程组（有未知参数） [(1+)x1+x2+x3=0 +1+)x+x=3 x+x2+(1+2)x=元 问：入取何值时，此方程组(1)有唯一解：(2)无解：(3)有无限多个解？并 在有无限多个解时求出其通解。 由线性方程组的判别定理容易得出线性方程组理论中两个最基本定理，这就是 定理2：线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是R(4)=R(A,b)。 定理3：n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(4)(。 定理2推广到矩阵方程： 定理4：矩阵程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B)

ï î ï í ì - - - = + - - = + + + = 4 3 0 2 2 2 0 2 2 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 例：②求解非齐次线性方程组（无解） ï î ï í ì + + - = - + - = - + - = 2 2 2 3 3 5 3 2 2 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 例：③求解非齐次线性方程组（有无穷多个解） ï î ï í ì + - - = - - + = + - - = 5 9 8 0 3 3 4 4 3 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 例：④设有线性方程组(有未知参数) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (1 ) 0 (1 ) 3 (1 ) x x x x x x x x x l l l l ì + + + = ï í + + + = ï î + + + = 问：l 取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并 在有无限多个解时求出其通解。 由线性方程组的判别定理容易得出线性方程组理论中两个最基本定理，这就是 定理 2：线性方程组 Ax = b有解的充分必要条件是 R(A) = R(A,b) 。 定理 3： n 元齐次线性方程组 Ax = 0有非零解的充分必要条件是 R(A)án 。 定理 2 推广到矩阵方程： 定理 4：矩阵程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B)