《线性代数》课程教学资源（试卷习题）线性代数作业册（部分答案）

第一章行列式 一、利用对角线法则计算下列行列式 1.64-3x2=-2 2od-m0ow0- 3. =1×(-1)×(-5)+2×1×(-3)+3×2×2-3×(-I)×(-3)-2×1×1-(-5)×2×2 =5-6+12-9-2+20=20 102 二、求方程x3=0的解。 4x2 102102 解：x31=031-2x=-18-x+2x2=0 4x20x-6 解得x=1±V4药 4 三、求下列各排列的逆序数 1.341782659 解：t(341782659)=2+2+3+3+1=11 2.987654321

第一章 行列式 一、利用对角线法则计算下列行列式 1． 1 2 3 4 =1´4 -3´ 2 2 = - 2． sin cos cos sin q q - q q 2 2 = sin q q + = cos 1 3. 1 2 3 2 1 1 3 2 5 - - - = 1´ (-1)´(-5) + 2´1´ (-3) + ´3 2´ 2 - 3´ (-1)´ (-3) - 2´1´1- (-5)´ ´2 2 = 5- 6 +12 -9 2 - + = 20 20 二、求方程 102 3 1 0 4 2 x x = 的解。 解： 2 1 0 2 1 0 2 3 1 0 3 1 2 18 2 0 4 2 0 6 x x x x x x = - = - - + = - 解得 1 145 4 x ± = 三、求下列各排列的逆序数 1．341782659 解：t (341782659) = 2 + 2 + 3+ 3+ =1 11 2. 987654321

解：x(98765432)=8+7+6+5+4+3+2+1=36 3.(m-).321 解：rm-少.32)=(m-2++2+1=-1m-2 2 4.13-(2n-1)2m2n+102n-2).2 解：x(13.(2n-1)2n(2n+10(2n-2).2)=2+4+.+(2n-2)=n-l) 四、计算行列式 l0200 1.b010 3000 0004 02002000l wBcdg-ba5d 2×1×3×4=24 00040004 1230 0020 304 000 12301230 解：02g 3045 045 0020 1220=6×2=12 00010001

解：t (987654321) =++ 8 7 6543 + + + + 2 + =1 36 3. (n -1)L321 解： ( 1)( 2) (( 1) 321) ( 2) 2 1 2 n n t n n - - - L L = - + + + = 4. 13L L (2n -1)2n(2n n + - 1)(2 2) 2 解： t (13L L (2n -1)2n(2n +1)(2n - 2) 2) = 2 + 4 + .+ (2n - 2) = - n n( 1) 四、计算行列式 1． 0 2 0 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 4 解： 020 0 2000 001 0 0100 2 1 3 4 24 300 0 0030 0 0 0 4 0 0 0 4 = = ´ ´ ´ = 2. 1 2 3 0 0 0 2 0 3 0 4 5 0 0 0 1 解： 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 2 0 3 0 4 5 1 2 2 0 6 2 12 3 0 4 5 0 0 2 0 3 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = - = - = ´ =

214-1 3 3-12-1 123-2 506-2 14 124 12 解： 3-12 -1 -132 0 5 6 23 -2 213 6 3 =0 506 056 -2 1243引 4.2314 4132 3421 111 解： 31 2 1-1 2 4132 13 1 01-1 00-4 =160 B42 542 -1 23 00 上ab de 5.bd -cd de gr -ef 解 -b a6 aa

3. 2 1 4 1 3 1 2 1 1 2 3 2 5 0 6 2 - - - - - 解： 2 1 4 1 1 2 4 1 1 2 4 1 3 1 2 1 1 3 2 1 0 5 6 2 0 1 2 3 2 2 1 3 2 0 3 5 0 5 0 6 2 0 5 6 2 0 5 6 2 - - - - - - - - = - = - = - - - - - - - 4. 1 243 2 3 1 4 4 1 3 2 3 4 2 1 解： 1 2 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 4 2 3 1 4 0 1 1 2 0 1 1 2 10 10 10 160 4 1 3 2 4 1 3 2 0 3 1 2 0 0 4 4 3 4 2 1 3 4 2 1 0 1 1 2 0 0 0 4 - - = = = = - - - - - - - 5． ab ac ae bd cd de bf cf ef - - - 解 ： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0 4 1 1 1 0 0 2 ab ac ae b c e bd cd de adf b c e abcdef abcdef abcdef bf cf ef b c e - - - - = - = - = - = - - - - 6. x a a a x a a a x L L M M O M L 解 ：

x a dr+(n-0ax+(n-l)a.x+(n-)a ax.a a ：. aa·x 11.1 =r+-a0x-a.0 =(x-a)"-[x+(n-l)a] 00.x-a xy0.00 0xy.00 7. 000.x y00.0x 解 xy0.00 xy0.0 y00.00 0xy.0 0 0 0 0.00 +(-1)y . 000.x 0 0 0 .x 00 0.y0 y00. x 0 00. 00 =x”+(-)y 1111 134 1916 12764125 111 解： 1345 1916 25 =(5-4)(5-3(5-10(4-3(4-10(3-1)=1×2×4×1×3×2=48 12764125

1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 [ ( 1) ] 1 1 1 0 0 [ ( 1) ] ( ) [ ( 1) ] 0 0 n x a a x n a x n a x n a a x a a x a a x a x n a a a x a a x a a x x a x n a x a x n a x a - + - + - + - = =+- - = + - = - + - - L L L L L L M M O M M M O M M M O M L L L L L M M O M L 7. 0 0 0 0 0 0 000 0 0 0 x y x y x y y x L L L L L LLL L L 解 ： 1 ( 1) ( 1) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 ( 1) n n n n n n x y x y y x y x y x y x y x y x y y y x x x y x y + - - + = + - = + - L L L L L L L LLL L L L LLL L L L LLL L L L L L L L L 8． 1 1 1 1 1 3 4 5 1 9 16 25 1 27 64 125 解： 1 1 1 1 1 3 4 5 (5 4)(5 3)(5 1)(4 3)(4 1)(3 1) 1 2 4 1 3 2 48 1 9 16 25 1 27 64 125 = - - - - - - = ´ ´ ´ ´ ´ =

0 0 - 9 1-y 0 1- 11 0 0 0 0 0 00= 1x0 9 -0 1-x 0 0 -1 0= 10 2 0 人 6 0 -1 1- 0 -11- 0001 1823 823 23 10. 154g 549 667 67 397 1986 986 86 解 1823 823 3引 1000 800 397 111 11 549 549 49 97 000 500 40 =2 10 5 6 =2> 10 -3 3 16 667 1000 600 12 1 2 1986 986 86 6 1000 900 80 6 976 0 6 1 1 1 2x10 11 2 61 2 0 2 13 =2×10 2 =2×10° =-4×101 36 0 4 00 6 43 5 2 0 . 0 0 0 0 00 11 . 0 0 1 2 0 0 . 0 1

9． 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 x x y y z z - - - - - - 解 ： 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 001 x x x x x y y y y y z y z z z z z z - - = = = = - - - - - - - - - - 10． 1823 823 23 3 1549 549 49 9 1667 667 67 7 1986 986 86 6 解 ： 6 6 6 6 6 1823 823 23 3 1000 800 20 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1549 549 49 9 1000 500 40 9 8 5 6 9 0 3 2 1 2 10 2 10 1667 667 67 7 1000 600 60 7 1 2 3 4 0 1 2 3 1986 986 86 6 1000 900 80 6 3 9 7 6 0 6 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 2 10 2 10 2 10 0 3 2 1 0 0 4 10 0 0 4 10 0 6 4 3 0 6 8 15 0 - - = = ´ = ´ = ´ = ´ = ´ - - - - - - - 7 4 10 6 0 5 = - ´ 11． 2 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 2 L L L L L L L L L L 解 ：

1+110·00 0110. 00 0 1 1 0 .00 21.00 1 2 00 0 1.00 s 0 0 0 1 2 12 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0.0 1 0 0 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 9 1 0 0 0 0 1 2 0 0 =. . . 44 =1+1 000.0 1 0 0 0 000.00 0 0 1=1+1n-22=1+11=2 I=n+l 五、解答题 1.写出五阶行列式中含有a2a4a,的项 解： arazayaass-asazauaas 2.在六阶行列式中，下列各项应带什么符号？aa1a2a6a,as, 03243a14516602 解：由于x(234516)+x(312645)=8,所以a2sa31aaa56a14a6s x(341562)+t(234165)=10,所以a2 adas dia 3.行列式2+ -4 ≠0的充要条件是什么？请说明理由 2 解：2+ 2k-4 =k2-6k-4≠0则k≠3±√3

1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 n n n I I - - + = = + = + = + L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1 2,., 2 1, 1 1 1 2 n n I I I I I - - = + = + = 1 n I n = + 五、解答题 1. 写出五阶行列式中含有 22 34 41 a a a 的项 解： 13 22 34 41 55 15 22 34 41 53 a a a a a ,-a a a a a 2. 在六阶行 列 式中，下列各项应带什么符 号 ？ a23a31a42 a56 a14 a65 ， a32 a43 a14 a51a66 a25 解：由于t t (234516) + = (312645) 8 ，所以a23a31a42 a56 a14 a65 t t (341562) + = (234165) 10 ，所以 32 43 14 51 66 25 a a a a a a 3. 行列式 2 0 2 4 k k k + ¹ - 的充要条件是什么？ 请说明理由？ 解： 2 2 6 4 0 2 4 k k k k k + = - - ¹ - 则k ¹ ±3 13

2xx12 展开式中x的系数 111x 解：含有x的项只能是a2a1aa4=-x3,即系数为-1 5.若排列aaa,a,a为奇排列，那么aa,a,4a,asa4aaa分别是奇排列，还是偶 排列？为什么？ 解：aa,a,a,a,为偶排列： a,4a,a,a,为奇排列。 -304 6.已知4，是行列式503的元素a,的代数余子式，求-341+44，的值 2-21 -304 解：-341+4A 2-21 2x1+x2-x=1 7.元为何值时，方程组{x,-x2+x,=2有唯一解？并求出该唯一解。 4x+5x2-5x3=3 2- 解：方程组由唯一解则久-11≠0 45-5 2-112

4.由行列式的定义计算 2 1 2 1 1 1 3 2 1 1 1 1 x x x x x - 展开式中 3 x 的系数. 解：含有 3 x 的项只能是 3 12 21 33 44 a a a a x = - ，即系数为-1 5.若排列a1a2 3 a a a4 5为奇排列，那么 a1a2 3 a a a5 4，a5a1a2a a3 4分别是奇排列，还是偶 排列？为什么？ 解：a1a2aaa 3 5 4为偶排列； 5 1 234 a a a a a 为奇排列。 6． 已知 Aij 是行列式 2 2 1 5 0 3 3 0 4 - - 的元素 ij a 的代数余子式，求 31 33 - + 3 4 A A 的值 解： 5 31 33 3 0 4 3 4 3 4 5 0 3 ( 2) ( 1) 58 5 3 2 2 1 A A - - - + = = - ´ - = - - 7．l 为何值时，方程组 ï î ï í ì + - = - + = + - = 4 5 5 3 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x l l 有唯一解？并求出该唯一解。 解：方程组由唯一解则 2 1 1 1 0 4 5 5 l l - - ¹ - ， 2 1 1 2 1 1 0 1 2 ( 1)(5 4) 0 4 5 5 0 5 5 6 l l l l l l l l - - = - + = - + ¹ - - -

即元L入女- [2x+x2+3=0 8。问入，4为何值时，齐次线性方程组x+心2+x=0有非零解？ +22+x=0 解：（注题目中的第二个方程改为+4x+=0) h-A2-0-)u 只有当入=1或者=0时有非零解 ananan 9.若行列式421a2a=15,计算-2a1-2a2-2a· a31 a3a3 -a31-a2-a 3a. 3a, 解： -2a1-2a2-2a2g=3×(-2)x(-1)aa2a2=6x15=90 -da - -a 123.川 120.0 10.n阶行列式D,=103. 求A1+A2+.+A 00.m 111.1-1_ 1 00. 23 n 20.0 20 A1+42+.+4m= 03 1 03 n- 100

即 4 1, 5 l l ¹ ¹ - 8． 问l, m 为何值时，齐次线性方程组 ï î ï í ì + + = - + + = + + = 2 0 0 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x m m l 有非零解？ 解：（注题目中的第二个方程改为 1 2 3 x + mx x + = 0） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 (1 ) 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 l l l m m l m l m l m m l m - - = - - = = - - - - - 只有当l =1或者 m = 0 时有非零解。 9. 若行列式 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a = 15， 计算 11 12 13 21 22 23 31 32 33 3 3 3 2 2 2 a a a a a a a a a - - - - - - 。 解： 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 3 3 3 2 2 2 3 6 15 90 a a a a a a a a a a a a a a a a a a - - - = ´ ´ = ´ = - - - （-2）（-1） 10．n 阶行列式 n n Dn L M M M O M L L L 1 0 0 1 0 3 0 1 2 0 0 1 2 3 = 求 A11 + A12 +L+ A1n 解 11 12 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 . 0 0 0 2 3 1 2 0 0 1 2 0 0 1 1 0 3 0 !(1 ) 1 0 3 0 2 1 0 0 1 0 0 n n i n A A A n n n = - - - - + + + = = = -å L L L L L L L M M M O M M M M O M L L

122 11.计算行列式2-14中a,元素的代数余子式4 453 12.已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1,2,0,1，他们的代数余子式依 次为6，-2，-8，-1，计算D的值。 解：D=-1×6+2x(-2)+0×(-8)+(-1)×1=-6-4-1=-11 32x3 13.设x1,xx是方程+5x+8=0的三个根，计算行列式压，： ✉ 解： =x+x+写-3xx=(++x++写-x-) 32x3 x1,x2,x3是方程3+5x+8=0的三个根，则x+x+x,=0 西 所以，名=0 x2 x3x 六、用克莱姆法则求解方程组 x-x2+x=2 1.{x1+2x2=1 -3=4 解

11．计算行列式 4 5 3 2 1 4 1 2 2 - - 中 23 a 元素的代数余子式 A23 解： 23 1 2 3 4 5 A = - = 12. 已知四阶行列式 D 中第三列元素依次为-1, 2, 0, 1，他们的代数余子式依 次为6, -2, - - 8, 1，计算 D 的值。 解： D = -1´6 + 2´(-2) + 0´ (-8) + (-1)´1 = -6 - 4 -1 = -11 13．设 1 2 3 x , x , x 是方程 3 x x + 5 + = 8 0 的三个根，计算行列式 2 3 1 3 1 2 1 2 3 x x x x x x x x x 解： 1 2 3 3 3 3 2 2 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 3 1 3 ( )( ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + + - = + + + + - - - 1 2 3 x , x , x 是方程 3 x x + 5 + = 8 0 的三个根，则 1 2 3 x + x x + = 0 所以， 1 2 3 3 1 2 231 0 x x x x x x x x x = 六、用克莱姆法则求解方程组 1． ï î ï í ì - = + = - + = 4 2 1 2 1 3 1 2 1 2 3 x x x x x x x 解 ：

10-140-1 29 -作头28-154ga-B-0a-卡- 10 x+2+x3=5 2x+x2-x3+x4=1 +2x2-x+x=2 x+2x3+3x1=3 1110 1510 D=1-11 11-11 =18D= =17,D2 21-11 12-1 22-1 12-1 解： 1023 3023 1323 1150 111 1221 -13 1033 1023 17 35 38 则=18688= 13 18 七、证明题 lar+bya四aE+biry 1.ay+bz a ax+by=ay x +bx ax a四+b上xy

1 2 3 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 0 5, 1 2 0 13, 1 1 0 4, 1 217 1 0 1 4 0 1 1 4 1 1 0 4 D D D D - - - = = - = = - = = = = - - - 则 1 2 3 13 4 7 , , 5 5 5 x = x x = - = - 。 2． î í ì - = + = 3 7 2 4 5 0 1 2 1 2 x x x x 解： 1 2 4 5 0 5 4 0 28 15 43, 10, 8 3 7 2 7 3 2 D = = - - = - D D = = -== - - ， 则 1 2 10 8 , 43 43 x x = = - 。 3． ï ï î ï ï í ì + + = + - + = + - + = + + = 2 3 3 2 2 2 1 5 1 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 x x x x x x x x x x x x x x 解： 1 2 3 4 1 1 1 0 5 1 1 0 1 5 1 0 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 18, 17, 35, 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 0 2 3 3 0 2 3 1 3 2 3 1 1 5 0 1 115 2 1 1 1 2 1 1 1 38, 13 1 2 2 1 1 2 1 2 1 0 3 3 1 0 2 3 D D D D D - - - = = = = = = - - - - = = = = - - 则 1 234 17 35 38 13 , , , 18 18 18 18 x = = x x x = = - 七、证明题 1. 3 ax by ay az bx x y z ay bz az ax by a y z x az bx ax ay bz z x y + + + + = + +