《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵及其运算 2.4 矩阵分块法

矩阵及其适算 第四节 矩阵分块法 一、矩阵的分块 分块矩阵的运算法则 三、小结思考题 带助式

矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵A,为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将 矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 上页

一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵 ，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子 块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. A A A

a 10 0 0 0 0 例 A- 0 1 b BB B 011 a 1 00 即 A- 0a00 BBB 011b 上页 区回

, 321   = BBB   = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 例   A = a 1 0 0b a 0 1 1 0 0 0 0 1 1 b   = B 1 B 2 B 3 即

a 1 0 0 王二二二二二二二王王二 0 0 A= 1 0 b 1 8 0 1 b 1 0 0 即 4- 0 0 b 001 9 0

              = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 , 3 4 1 2       = C C C C       =               A = a 1 C1 0 0 C2 0 1 1 0 0 a C3 b b 1 1 0 0 C4 即

1 0 0 0 0 A- 1 任日wG9 0 A- 010 1a01 00b1 071.b. -(4 上页 回

,      = E B A O ( ), = A1 A2 A3 A4               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0               = b b a a A 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0       = a a A 0 1 其中       = b b B 1 1       = 0 1 1 0 E       = 0 0 0 0 O               = 0 1 0 1 a 其中A               = 1 0 1 2 a A               = 1 0 0 3 b A               = b A 1 0 0 4

二、分块矩阵的运算规则 主王二二二二二干十二二二二 (1)设矩阵A与B的行数相同，列数相同，采用 相同的分块法，有 4 4= 其中A,与B,的行数相同，列数相同，那末 4+B. Aur+Bu 4+B= 人A1+B1A,+B

( ) 相同的分块法 有 设矩阵 与 的行数相同 列数相同 采用 , 1 A B , , 其中Aij与Bij的行数相同,列数相同,那末 . 1 1 1 1 1 1 1 1           + + + + + = s s sr sr r r A B A B A B A B A B     二、分块矩阵的运算规则           =           = s sr r s sr r B B B B B A A A A A         1 1 1 1 1 1 1 1

A1 （2)设A= ,为数，那末 A A 2A1 2A= 14. 上页 这回

(2)设 , 为数,那末 1 1 1 1            = s sr r A A A A A     . 1 1 1 1           = s sr r A A A A A         

例 =2,A= 13 225 1 6 1×2 2×23×2 2A= 3×2 2×2 1×2 4×2 5×2 6×2 4 4 = 6 4 62 10 12 上页

例           = 4 5 6 3 2 1 1 2 3  = 2, A 2 2 2 2 2 2 2 2 2                    = 4 5 6 3 2 1 1 2 3 2 A . 8 10 12 6 4 2 4 4 6           =

(3)设A为m×矩阵，B为l×n矩阵，分块成 B11 A= B 其中A1,A2,.,A的列数分别等于B,B,.,B, 的行数，那末 其中Cg=方4B为=l,s=1, 上页 区回

(3)设A为ml矩阵,B为l n矩阵,分块成 , , 1 1 1 1 1 1 1 1           =           = t tr r s st t B B B B B A A A A A         1 2 1 2 , , , , , , , 其中A A A B B B i i it j j tj 的列数分别等于 的行数 那末           = s sr r C C C C AB     1 11 1 ( 1, , ; 1, , ). 1 C A B i s j r k j t k i j =  i k =  =  = 其 中

.0 (5)设A为n阶矩阵，若A的分块矩阵只有在主对角线 上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且非零子块都 是方阵即 A2 A=

( ) 是方阵即 上有非零子块 其余子块都为零矩阵 且非零子块都 设 为 阶矩阵 若 的分块矩阵只有在主对角线 . , , 5 A n , A , 2 1               = As A A A  O O (4) , 1 1           = Asr A A     设 A1r As1 . 11           = T sr T T A A A     则 T As1 T A1r T As1 T A1r . 11           = T sr T T A A A     则