《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 矩阵的初等变换及线性方程组 3.1 矩阵的初等变换

第一节矩阵的初等变换 一消元法解线性方程组 二矩阵的初等变换 三初等矩阵 四初等矩阵的应用 五小结

第一节 矩阵的初等变换 五 小结 一 消元法解线性方程组 二 矩阵的初等变换 三 初等矩阵 四 初等矩阵的应用

一、消元法解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程. 求解线性方程组 2x1-X2-X3+x4=2, 七1+2-2x3+x4=4, o!a 4x1-6x2+2x3-2x4=4,③÷2 (1) 3x1+6x2-9x3+7x4=9,④

引例 (1) 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组        + − + = − + − = + − + = − − + = 3 6 9 7 9, 4 6 2 2 4, 2 4, 2 2, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 分析：用消元法解下列方程组的过程．  2

T+22x3十4=4， ① ①→② (1) 2x1-x2-53+x4=2, (B) ③÷2 2x1-3x2+X3-x4=2, 3x1+6x2-9x3+7x4=9, ④ 8+x2-2X+x4=4, ① ②-③ ③-2① 2x2—23+2xx=0, ④-3① 5x2+5x3-3x4=-6, (B2) 3x2-3x3+4x4=-3, ④

解 ( ) (1) B1 ( ) B2   2 1 3 2        + − + = − + − = − − + = + − + = 3 6 9 7 9, 2 3 2, 2 2, 2 4, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2 − 2 1 2 − 3 3 4 − 3 1        − + = − − + − = − − + = + − + = 3 3 4 3, 5 5 3 6, 2 2 2 0, 2 4, 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x 1 3 4 2

1 X1+x2-2x3+x4=4,① ②× 2 83-七3+X4=0, ③+5② (B3) 2X4=-6, ④-3② x4=-3, X1+X2-2x3+X4=4, ① ③←→④ x2-x3+x4=0, ② (B4) ④-2③ 0=-3. ③ 0=0, ④ 用“回代”的方法求出解：

( ) B3 ( ) B4        = − = − − + = + − + = 3, 2 6, 0, 2 4, 4 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x 1 3 4 2 + 5 2 2 1  3 4 − 3 2 2        = = − − + = + − + = 0 0, 3, 0, 2 4, 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x 1 3 4 3  2 4 − 2 4 3 用“回代”的方法求出解：

1=X3+4 于是解得x2=x,+3其中x为任意取值 X4=-3 或令x3=c,方程组的解可记作 c+4 1 X2 c+3 即x=c x= X3 -3 其中c为任意常数

于是解得      = − = + = + 3 3 4 4 2 3 1 3 x x x x x . 其中x3为任意取值 或令x3 = c,方程组的解可记作 , 3 3 4 4 3 2 1               − + + =               = c c c x x x x x 其中c为任意常数.               − +               = 3 0 3 4 0 1 1 1 即x c

小结： 1.上述解方程组的方法称为高斯消元法. 2.始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 (1)交换方程次序； (①与①相互换) (2)以不等于0的数乘某个方程； (以①×k替换①) (3)一个方程加上另一个方程的k倍. (以①+k⑦替换①)

小结： 1．上述解方程组的方法称为高斯消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． （ i 与 j 相互换） （以 i  k 替换 i ） （以 i + k j 替换 i ）

3.上述三种变换都是可逆的， 若(40(B,则B)D0(M: 若(A)DxK(B,则(B)@÷K(A)片 若(4④+k0(B,则(B①-kD(A. 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种 变换是同解变换

3．上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换． i j 若(A) (B),  则(B) (A); i  j + k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i  k 则(B) (A); i  k 则(B) (A). i − k j

因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与算. 若记 1-1 12 -2 14 B=(Ab)= 4-6 2 -24 36-9 79 则对方程组的变换可以转换为对矩阵B方程组 (1)的增广矩阵)的变换

因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组 的系数和常数进行运算，未知量并未参与算． 若记               − − − − − − = = 3 6 9 7 9 4 6 2 2 4 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 B (Ab) 则对方程组的变换可以转换为对矩阵B(方程组 （1）的增广矩阵）的变换．

二、矩阵的初等变换 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换： ()对调两行（对调，两行，记作→)； (2)以数k≠0乘以某一行的所有元素 (第i行乘k,记作×k) (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行 对应的元素上去(（第行的k倍加到第i行上 记作+kr,)

定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行（对调i, j两行,记作ri  rj）； (2)以 数 k  0 乘以某一行的所有元素; （第 i 行乘 k,记作 ri  k） ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k + 二、矩阵的初等变换

类似可定义矩阵的初等列变换（所用记号是把“” 换成“c). 定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型 相同. →乃逆变换分 ×k 逆变换×（令或÷k +k逆变换5+(-k)或-

定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同． 类似可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r” 换成“c”)． i j r  r r k i  逆变换 ; i j r  r 逆变换 ) ; 1 ( r k k ri  或 i  i j r + kr 逆变换 ( ) . i j i krj r + −k r 或 r −