《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 行列式 1-5 阶行列式的性质

线性代数敖程 第一章阶行列式 第五节 阶行列式的性质 一、行列式的性质 二、应用举例 三、小结、思考题

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 第五 节 阶行列式的性质 一、行列式的性质 三、小结、思考题 二、应用举例

线性代数教程 第一章阶行列式 一、行列式的性质 记 411412 411 421. D里 021022 a2n DT= 012 (l22 2m 凸1n Q2n .lm 行列式D'称为行列式D的转置行列式 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D'=D

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 一、行列式的性质 行列式 称为行列式 的转置行列式. T D D 记 nn a a a  22 11    n n a a a 2 12 1   1 2 21 n n a a a D =    2 21 1 n n a a a   n n a a a 1 2 12 = T D nn a a a  22 11 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即 T D D=

线性代数故程 第一章阶行列式 证明记D=deta,的转置行列式 b11b 2.b1n DT= 1b22.b2n . bat Bn2 bun 即b,=a,(6j=1,2,n),按定义 D'=∑(T.-∑anaw20n 又因为行列式D可表示为 D=∑(-1y0n0p2apn

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 证明 记 D = det(aij)的转置行列式, 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n nn n n T b b b b b b b b b D     = b a (i, j 1,2, ,n), 即 ij = ij =  按定义 ( 1) ( 1) . =  − 1 1 2 2 =  − p11 p2 2 p n t p p np T t n n D b b b a a a 又因为行列式D可表示为 ( 1) . =  − p11 p2 2 p n t n D a a a

线性代教教程 第一章阶行列式 故 D=DT 证毕 说明行列式中行与列具有同等的地位，因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号 证明 设行列式 b b12 D1= b21b22 .b2m Bat Bn2 ban 是由行列式D=deta,)变换i,j两行得到的

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 故 . T D = D 证毕 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 , 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 n n nn n n b b b b b b b b b D     = 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 是由行列式 D = det(aij) 变换 两行得到的, i, j

线性代数教程 第一章阶行列式 即当k≠i,j时，bo=ap当k=i,j时， bp-ai'bin ap 于是 D=∑(bnb%bm,bm =∑(-yan.0p0n =∑(1yanp0nm. 其中1.i.j.n为自然排列， 伪排列p,p.P.pn的逆序数 设排列p1.pp,.Pn的逆序数为，则有

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 于是 ( ) i j npn p ip jp t D b b b b 1 1 1 =  − 1 ( ) i j npn p ip jp t a a a a 1 1 =  − 1 ( 1) , 1 1 j i npn p ip jp t =  − a a a a 其中1i jn为自然排列, . t为排列 p1 pi pj pn 的逆序数 , 1 1 p p p p t 设排列  i  j  n 的逆序数为 则有 即当 时, k  i, j ; bkp = akp 当 k i j 时, = , , , bip = ajp bjp = aip

线性代教教程 第一章阶行列式 (=(, 放D=-∑(a。0,-“muw.=-D.证毕 例如 175175 17 5 715 662=-358, 66 2=- 66 2 35 8662 35 8 538 推论 如果行列式有两行（列） 完全相同，则 此行列式为零 证明互换相同的两行，有D=-D, .D=0

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 例如 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则 此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有  D = 0. D = −D, ( 1) ( 1) , 1 t t − = − − 故 ( 1) . 1 1 D1 a1 a a a D j i npn p ip jp t = − −    = − 证毕 , 1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8 . 8 2 5 8 2 5 = − 3 6 1 5 6 7 5 6 7 3 6 1 6 6 2 3 5 8

线性代数敖程 第一章阶行列式 性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数k,等于用数k乘此行列式 11 L12 ·. Cin 11 12 .01n kai kai2 kain =k01 a 2.( n an2 Ann An 0m2. 推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都 乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. n n nn i i in n a a a ka ka ka a a a      1 2 1 2 1 1 1 2 1 n n nn i i in n a a a a a a a a a k      1 2 1 2 1 1 1 2 1 = 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因 子可以提到行列式符号的外面．

线性代数故程 第一章阶行列式 性质4行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零 证明 11 L12 . din 41 412 n n 2 . Qin 012 . Ain 。 =k -0. kai kai2 kain 12 Cin Ant Qn2 Ann Anl an2

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式为零． 证明 n n nn i i in i i in n a a a ka ka ka a a a a a a        1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 n n nn i i in i i in n a a a a a a a a a a a a k        1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 = = 0

线性代数敖程 第一章阶行列式 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和 011 L12 (a,+d) . 01n 例如 D= 21 022 . (2i+d2) A2n 0n1 (an+a) Ann 则D等于下列两个行列式之和： 1 av .Ain L11 .l1n D= A21 A2i .l2n 021 az .l2n Anl . Qn .ann am d

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两 数之和. n n ni ni nn i i n i i n a a a a a a a a a a a a a a a D           ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 +  +  +  = 则D等于下列两个行列式之和： n ni nn i n i n n ni nn i n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a D                        = + 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 例如

线性代数故程 第一章阶行列式 性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行 列式不变 a Cin 例如 azj a 可 41 (a1:+ka) 1 n (2:+ka2j） azj r+kri Azj Anl (an+kan)

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行 列式不变． n ni nj nj i j j i j n a a a a a a a a a a a a              1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 n ni nj nj nj i j j j i j j n i j a a ka a a a a ka a a a a ka a a r kr              ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + + + k  例如