《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 向量组的线性相关性 4-2 向量组的线性相关性

线性代数赦程 第四章向量组的线性相关性 23:46 第二节 向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念 二、线性相关性的判定 三、小结 第1项

线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第1页 第二节 向量组的线性相关性 一、线性相关性的概念 二、线性相关性的判定 三、小结

线性代教教程 第四章向量组的线性相送性 2346 一、线性相关性的概念 定义给定向量组4：a1,02,am,如果存在不 全为零的数1，k2,km使 k1a1+k2C2+.+knam=0 则称向量组4是线性相关的，否则称它线性无关 注意 1.若a1,a2,an线性无关，则只有当 九1=.=n=0时，才有 九1a1+九202+.+nan=0成立. 2.对于任一向量组，不是线性无关就是 线性相关、 第2项

线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第2页 0 , , , : , , , , 1 1 2 2 1 2 1 2 + + + m m = m m k k k k k k A          全为零的数 使 给定向量组 如果存在不 注意 0 . 0 , 1. , , , , 1 1 2 2 1 1 2 成立 时 才有 若 线性无关 则只有当 + + + = = = = n n n n               . 2. , 线性相关 对于任一向量组 不是线性无关就是 定义 一、线性相关性的概念 则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关．

线性代数赦程 第四章向量组的线性相关性 2346 3.向量组只包含一个向量ax时，若a=0则说a 线性相关，若a≠0，则说a线性无关， 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的. 5对于含有两个向量的向量组，它线性相关的 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 量共面 第3项

线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第3页 , 0, . 3. , 0 线性相关 若 则说 线性无关 向量组只包含一个向量 时 若 则说       = 4.包含零向量的任何向量组是线性相关的. . 5. , 量共面 是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向 充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义 对于含有两个向量的向量组 它线性相关的

线性代教教程 第四章向量组的线性相关性 2346 二、线性相关性的判定 定理1向量组a1,a2,0,当m≥时)线性相关 的充分必要条件是Q1,c2,0m中至少有一个向 量可由其余m-1个向量线性表示， 证明充分性 设01,02，4m中有一个向量（比如0m) 能由其余向量线性表示.即有 0m=九C1+九，02+.+九m-0m 第4项

线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第4页 定理1向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示．    m , , , 1 2  m  2    m , , , 1 2  m − 1 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ） 能由其余向量线性表示. a a a m , , , 1 2  m a 即有 a m = 11 + 2 2 ++  m−1 m−1 二、线性相关性的判定

线性代数赦程 第四章向量组的线性相关性 23:46 故 九，a,+九，a2+.+2nam1+（-1)hn=0 因九，2n1,(1)这m个数不全为0， 故a,C2,0线性相关 必要性设a1,Q2,am线性相关， 则有不全为0的数k1,k2,km,使 ka1+k,2+.+knam=0. 第5项

线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第5页 故 11 + 2 2 ++  m−1 m−1 + (− 1)a m = 0 因 1 ,2 ,  , m−1 ,(− 1) 这 m 个数不全为0， 故    m 线性相关. , , , 1 2  必要性 设 1 , 2 ,  , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 ,k2 ,  ,km , 使 0. k11 + k2 2 ++ k m  m =

线性代教教程 第四章向量组的线性相关性 2346 因k1,k2,.,km中至少有一个不为0， 不妨设k≠0则有 即Q,能由其余向量线性表示 证毕 第6预

线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第6页 因 k1 , k2 ,  , k m 中至少有一个不为0， 不妨设 k1  0, 则有 . 1 3 1 3 2 1 2 1 m m k k k k k k           + + −       + −      = −  即  1 能由其余向量线性表示. 证毕

线性代数敖程 第四章向量组的线性相关性 23:46 线性相关性在线性方程组中的应用 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 个方程)是线性相关的；当方程组中没有多余方 程，就称该方程组（各个方程)线性无关（或线 性独立). 结论向量组A线性相关就是齐次线性方程组 xa+xa2++xa=0,Ax=0 有非零解.其中A=(a1,2,.xm) 第7项

线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第7页 . 性独立） 程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线 个方程）是线性相关的；当方程组中没有多余方 合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各 若方程组中有某个方程是其余方程的线性组 线性相关性在线性方程组中的应用 . ( , , ). 0, A 0 1 2 1 1 2 2 m m m A x x x x A         = + + + = = 有非零解 其中 即 结论 向量组 线性相关就是齐次线性方程组

线性代教教程 第四章向量组的线性相联性 2346 定理2向量组a1,a2,·,am线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,anm)的秩小 于向量个数m;向量组线性无关的充分必要条件是 R(A)=m. 证明 (略) 下面举例说明定理的应用. 第8页 U

线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第8页 ( ) . ; ( , , , ) , , , 1 2 1 2 R A m m A m m = = 于向量个数 向量组线性无关的充分必要条件是 条件是它所构成的矩 阵 的秩小 向量组 线性相关的充分必要        定理2  下面举例说明定理的应用. 证明 （略）

线性代数赦程 第四章向量组的线性相关性 2346 例1n维向量组 e1=(自，0，.，0)'，e2=(0,L,0),.,en-=(0,0,)y 称为n维单位坐标向量组，讨论其线性相关性 解n维单位坐标向量组构成的矩阵 E=(e1,e2,en) 是n阶单位矩阵.由E=1≠0，知R(E)=n. 即(E)等于向量组中向量个数，故由定理2知此 向量组是线性无关的. 第9页

线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第9页 n 维向量组 ( ) ( ) ( ) T n T T e 1,0, ,0 ,e 0,1, ,0 , e 0,0, ,1 1 =  2 =  ， =  称为n维单位坐标向量组,讨论其线性相关性 . 解 . ( , , , ) 1 2 是 阶单位矩阵 维单位坐标向量组构成的矩阵 n E e e e n =  n 由E = 1  0，知R(E) = n. . ( ) 2 向量组是线性无关的 即R E 等于向量组中向量个数，故由定理 知此 例１

线性代教教程 第四章向量组的线性相送性 2346 例2已知 试讨论向量组a,a2,a3及a,a2的线性相关性 解分析 对矩阵(a1,a2,心，)，施行初等行变换变 成行阶梯形矩阵，可同时看出矩阵（a,a2a3) 及（1，a2)的秩，利用定理2即可得出结论. 第10页

线性代数教程 线性代数小组 第四章 向量组的线性相关性 23:46 第10页 ， ， ，           =           =           = 7 4 2 5 2 0 1 1 1 1  2  3 . 试讨论向量组1， 2， 3及1， 2的线性相关性 解 2 . , 1 2 1 2 3 1 2 3 及（ ， ）的秩，利用定理 即可得出结论 成行阶梯形矩阵 可同时看出矩阵（ ， ， ） 对矩阵（ ， ， ），施行初等行变换变         例２ 已知 分析