《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 行列式 1-4 对换

线性代教教程 第一章阶行列式 第四节对换 一、对换的定义 二、对换与排列的奇偶性的关系 三、小结、思考题

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 第四节 对换 一、对换的定义 三、小结、思考题 二、对换与排列的奇偶性的关系

线性代数敖程 第一章阶行列式 一、对换的定义 定义1把一个排列中的某两个元素的位置互换， 而其余的不动，就得到另一个排列，这样一个变换 称为对换；将相邻两个元素互换，称为相邻对换。 二、习 a1.4,a b.ombc.c。 例 1) ↓ 定理 a1.4,bb.bmaC1.Cn 改 变奇 a1.a,abb1.bnm 2) a1.a1bab.b 回

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 一、对换的定义 定义1 把一个排列中的某两个元素的位置互换， 而其余的不动，就得到另一个排列，这样一个变换 称为对换；将相邻两个元素互换，称为相邻对换。 二、对换与排列的奇偶性的关系 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性。 a a b b 1 1 l m a b a a b b 1 1 l m b a 1 1 1 l m n a a b b c a b c 1 1 1 l m n a a b b c b a c 2） 例 1）

线性代数教程 第一章阶行列式 定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性。 证明：设排列为2) 441b6-bn对换a,b a1.a,bab1-bm 易见除4，b外，其它元素的逆序数不改变， 若a>b 对换后的逆序数不变，而b的逆序数减1； 若a<b 对换后a的逆序数增1，而b的逆序数不变， 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 1 1 l m a a b b a b 1 1 l m a a b b b a 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性。 证明：设排列为 2） 易见除 a b, 外，其它元素的逆序数不改变， 若 a  b 对换 a b, 对换后 a 的逆序数不变，而 b 的逆序数减1； 若 a b  对换后 a 的逆序数增1，而 b 的逆序数不变. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性

线性代款教程 第一章阶行列式 设排列为1) 欲40a而bnbc-C,对换h 一4.abh-bnaG.c。 即4.a10b.bnbc1.c. m次相邻对换4.ab669-c 0.4 bbbac.c m+1次相邻对换 A.4ahb.bc-C4.nb-b.Gc 2m+1次相邻对换 所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 1 1 1 l m n a a b b c a b c 1 1 1 l m n a a b b c b a c 设排列为 1） 对换 a,b m 次相邻对换 1 1 1 l m n a a b b c a b c 1 1 1 , l m n  a a b ab bc c 1 1 1 , l m n a a b b b ac c 所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 1 1 1 l m n a a b b c a b c 1 1 1 l m n a a b b c b a c 2 1 m + 次相邻对换 欲 即 m + 1 次相邻对换

线性代数故程 第一章阶行列式 定理2 n个元素(n>1)共有n:个n阶排列，其中奇、 偶排列各占一半， 证明：设共有s个奇排列，1个偶排列，现证s=t, s个奇排列 前两个数对换 s个偶排列所以s≤t t个偶排列 前两个数对换 t个奇排列所以t≤s 故必有S=t

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 定理2 n个元素(n ＞１)共有n!个n阶排列 , 其中奇、 偶排列各占一半. 证明: 设共有 s个奇排列, t 个偶排列，现证s＝t. 故必有 s = t. 奇排列 偶排列 所以 s t  前两个数对换 s 个 s 个 t 个 偶排列 前两个数对换 t 个奇排列 所以 t s 

线性代数教程 第一章阶行列式 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数，而标准排列是偶排列（逆序数为0），因此 知推论成立. 定理3n阶行列式也可定义为 D=∑（刂yaw4,2.ap 其中1为行标排列PP2P的逆序数 证明按行列式定义有

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. ( ) p p p n t n D a 1a 2 a 1 2 =  − 1 定理3 n 阶行列式也可定义为 其中 t 为行标排列 p1 p2  pn 的逆序数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 证明 按行列式定义有

线性代数教程 第一章阶行列式 D=∑(an4,-0p 记D,1=∑(-y0n420p0 对于D中任意一项（旷an42,p., 总有且仅有D,中的某一项（-)n4,24 与之对应并相等；反之，对于D中任意一项 (1旷a,14p,2apn,也总有且仅有D中的某一项 (-1)442,0m.,与之对应并相等，于是D与D 中的项可以一一对应并相等，从而D=D

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 ( ) p p npn t D a a a 1 1 2 2 =  −1 ( ) p p p n t n D1 a 1a 2 a 1 2 记 =  −1 对于D中任意一项 ( 1) , 1 p1 2 p2 npn t − a a a 总有且仅有 D1 中的某一项 ( 1) , q11 q2 2 q n s n − a a a 与之对应并相等;反之, 对于 D1 中任意一项 ( 1) , p11 p2 2 p n t n − a a a 也总有且仅有D中的某一项 ( 1) , 1q1 2q2 nqn s − a a a 与之对应并相等, 于是D与 D1 中的项可以一一对应并相等, 从而 . D = D1

线性代数教程 第一章阶行列式 定理4n阶行列式也可定义为 D=∑(-1y0pa0p,-0p.a 其中P1P2.Pn,qM2q是两个级排列，t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和 例1试判断a142331042056465和-3204341445142s6 是否都是六阶行列式中的项 解 414423431424s6465下标的逆序数为 t(431265=0+1+2+2+0+1=6 所以014423310425665是六阶行列式中的项

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 定理4 n 阶行列式也可定义为 ( ) p q p q pnqn t D a a a 1 1 2 2 =  − 1 其中 是两个 级排列， 为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. n q q qn p1 p2  p , 1 2  n t 例1 试判断 a14a23a31a42a56a65 和− a32a43a14a51a25a66 是否都是六阶行列式中的项. 解 a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为 t(431265) = 0 + 1+ 2 + 2 + 0 + 1 = 6 所以 14 23 31 42 56 65 是六阶行列式中的项. a a a a a a

线性代教教程 第一章阶行列式 -032441445125066下标的逆序数为 t(452316)=8 所以一-324314512566不是六阶行列式中的项

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 − a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为 t(452316) = 8 所以 32 43 14 51 25 66 不是六阶行列式中的项. − a a a a a a

线性代数赦程 第一章阶行列式 例2在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号 ()L23431420s6014065; (2)0320434140s166L25 解()02343142456014465→0144234314420565， 431265的逆序数为 t=1+0+2+2+1+0=6, 所以23L31424s64140s前边应带正号

线性代数教程 线性代数小组 第一章 n阶行列式 例2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号. (1) ; a23a31a42a56a14a65 (2) . a32a43a14a51a66a25 解 23 31 42 56 14 65 (1) a a a a a a 431265的逆序数为 t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6, 所以 a23a31a42a56a14a65 前边应带正号. , → a14a23a31a42a56a65