《线性代数》课程教学资源（教案讲义）第四章 向量组的线性相关性

第四章向量组的线性相关性 教学目的：使学生掌握向量的概念：向量组的线性相关性及判定线性相关性的定 理、性质：向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法：线性方程组解的结构理 论、向量空间 教学内容：向量的概念：向量的概念：向量组的线性相关性及判定线性相关性的 定理、性质：向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法：线性方程组解的结构 理论 教学重点：向量的概念：向量组的线性相关性及判定线性相关性的定理、性质： 向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法：线性方程组解的结构理论 教学难点：向量组的线性相关性及判定线性相关性的定理、性质：向量组的秩及 与秩 教学环节：先介绍向量的概念，然后介绍向量组的线性相关性及判定线性相关性 的定理、性质，最后介绍向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法：线性方程 组解的结构理论、向量空间 敦学学时：10学时 §4.1向量组及其线性组合 一，向量的概念及其运算 定义n个有顺序的数a,4,.,an所组成的数组 a a, a= 称为维向量。数a,a2,.,a,称为向量a的分量（或坐标），a,表示a的第j个 分量（或坐标）。分量是实数的向量称为实向鼻，分量是复数的向量称为复向最 本书只讨论实向量 行向量写成一行的向量，记作a=(a,a2,an)

第四章 向量组的线性相关性 教学目的：使学生掌握向量的概念；向量组的线性相关性及判定线性相关性的定 理、性质；向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法；线性方程组解的结构理 论、向量空间 教学内容：向量的概念；向量的概念；向量组的线性相关性及判定线性相关性的 定理、性质；向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法；线性方程组解的结构 理论 教学重点：向量的概念；向量组的线性相关性及判定线性相关性的定理、性质； 向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法；线性方程组解的结构理论、 教学难点：向量组的线性相关性及判定线性相关性的定理、性质；向量组的秩及 与秩 教学环节：先介绍向量的概念，然后介绍向量组的线性相关性及判定线性相关性 的定理、性质，最后介绍向量组的秩及与秩相关的定理和求秩的方法；线性方程 组解的结构理论、向量空间 教学学时：10 学时 §4．1 向量组及其线性组合 一． 向量的概念及其运算 定义 n 个有顺序的数 1 2 , , , n a a a 所组成的数组  =               n a a a  2 1 称为 n 维向量。数 1 2 , , , n a a a 称为向量  的分量（或坐标）， j a 表示  的第 j 个 分量（或坐标）。分量是实数的向量称为实向量，分量是复数的向量称为复向量。 本书只讨论实向量。 行向量 写成一行的向量，记作 ( , , , ) 1 2 n T  = a a  a

9 列向量写成一列的向量，记作a= a. 注从矩角度行向量与列向量是不同的，但从向量角度行向量与列向量是没有区 别的 向量的几何意义2维向量与3维向量可以用有向线段直观地体现出来，而维向 量（当>3时）就没有这种直观的几何意义，只是沿用几何的术语罢了。 相等向量设a=(a,.,an),B=(b,b2,.,b,),都是n维向量，当且仅当它 们的各个对应分量都相等，即a,=b(i=1,2,n)时，称向量α与B相等，记 作a=B. 零向量分量都是零的向量称为零向量，记作0，即 0=(0.0.,0) 注维数不同的零向量时不同的。 向量的运算向量的运算按照矩阵的运算规则进行，行向量和列向量作为向量是 一样的，但在进行运算时，行向量即行矩阵，列向量即列矩阵。 向量的运算，包括向量的加法和数乘向量两种运算，统称为向量的线性运篡 同样满足下列八条规律： (1)a+B=B+a (2)(a+B)+Y=a+(B+y) (3)a+0=a (4)a+(-a)=0 (5)la=a (6)(ua)=(a) (7)1(a+B)=a+B (8)(2+a=2a+ua 二. 向量组的概念与相关定理 方程组 [x1+2x2-x3=0 2x1-3x2+x3=0 4x1+x2-x3=0

列向量 写成一列的向量，记作               = n a a a  2 1  注 从矩角度行向量与列向量是不同的，但从向量角度行向量与列向量是没有区 别的。 向量的几何意义 2 维向量与 3 维向量可以用有向线段直观地体现出来，而 n 维向 量（当 n  3 时）就没有这种直观的几何意义，只是沿用几何的术语罢了。 相等向量 设 T n T (a ,a , ,an ) , (b ,b , ,b )  = 1 2   = 1 2  ，都是 n 维向量，当且仅当它 们的各个对应分量都相等，即 ai = bi （ i = 1,2,  , n ）时，称向量  与  相等，记 作  =  . 零向量 分量都是零的向量称为零向量，记作 0 ，即 0 = (0,0,  ,0) 注 维数不同的零向量时不同的。 向量的运算 向量的运算按照矩阵的运算规则进行，行向量和列向量作为向量是 一样的，但在进行运算时，行向量即行矩阵，列向量即列矩阵。 向量的运算，包括向量的加法和数乘向量两种运算，统称为向量的线性运算。 同样满足下列八条规律： （1）  +  =  + （2） ( +  ) +  =  + ( +  ) （3）  + 0 = （4）  + (−) = 0 （5） 1 = （6） ( ) =  () （7）  ( +  ) =   +   （8） ( + )  =   +   二． 向量组的概念与相关定理 方程组      + − = − + = + − = 4 0 2 3 0 2 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x x x x x x x x x

对应3个向量a=(1,2,-),a2=(2,-3,),a=(4,1,-).前面己指出， 用2乘第一个方程加到第二个方程上，可得第三个方程。各个方程之间的这种关 系反映到向量之间，就是 a3=2a1+a2 即a可由a,a%经线性运算得到。这时，我们称a,是a,a,的线性组合。一般 地，有 定义对于向量a,a,a2,.,an,若有一组数入，方，.，m使得 c=a+a,+.+nanm 则称a是a,a2,.,an的线性组合（或称a可由a,a2,.,an线性表示)。 同维数的向量所组成的集合称为向量组。 向量b能由向量组A:a,凸，心线性表示的的充要条件是： 方程组x1a+x2a2+.+xmam=b有解。于是有下列定理： 定理1：向量b能由向量组A:a,g,.,a线性表示的的充要条件是 矩阵A=(a,a,a）的秩等于矩阵B=(a,a,am,b)的秩。 定义（向量组的线性表示)设有两个向量组A：a,a,.,Cm和B: 月，月，.，月，若B组中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B 能由向量组A线性表示：若向量组A与向量组B能够相互线性表示，则称这两 个向量组等价。 向量组之间的这种关系，反映到齐次线性方程组，便有：若A组能由B组线 性表示，则B组所对应的齐次线性方程组（一个向量对应一个方程）的解一定是 A组所对应的齐次线性方程组的解。若A组与B组等价，则所对应的两个齐次线 性方程组同解 显然，如果A组能由B组线性表示，B组能由C组线性表示，则A组能由C 组线性表示。特别地，A组能由A组自身线性表示。 A组能由B组线性表示，也就是存在数k(1=1,2,.,r,j=1,2,.,3), 使得 a,=k月+kz月2+.+k月（i=l,2,.,r) 当a为行向量时，记

对应 3 个向量 (1, 2 , 1) 1 = − ， (2 , 3 , 1) 2 = − ， (4 , 1 , 1)  3 = − . 前面已指出， 用 2 乘第一个方程加到第二个方程上，可得第三个方程。各个方程之间的这种关 系反映到向量之间，就是 3 = 21 + 2 即  3 可由 1 2  , 经线性运算得到。这时，我们称  3 是 1 2  , 的线性组合。一般 地，有 定义 对于向量     m , , , , 1 2  ，若有一组数    m , , , 1 2  ，使得  = 11 + 2 2 ++  m m 则称  是    m , , , 1 2  的线性组合（或称  可由    m , , , 1 2  线性表示）。 同维数的向量所组成的集合称为向量组。 向量 b 能由向量组 A ：   m , , , 1 2  线性表示的的充要条件是： 方程组 x11 + x2 2 ++ xm m = b 有解。于是有下列定理： 定理 1：向量 b 能由向量组 A ：   m , , , 1 2  线性表示的的充要条件是 矩阵 A = (    m , , , 1 2  ）的秩等于矩阵 B = ( 1 , 2 ,  , m ,b ）的秩。 定义 （向量 组的线性 表示） 设有两个向量组 A ：    m , , , 1 2  和 B ：    l , , , 1 2  ，若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示；若向量组 A 与向量组 B 能够相互线性表示，则称这两 个向量组等价。 向量组之间的这种关系，反映到齐次线性方程组，便有：若 A 组能由 B 组线 性表示，则 B 组所对应的齐次线性方程组（一个向量对应一个方程）的解一定是 A 组所对应的齐次线性方程组的解。若 A 组与 B 组等价，则所对应的两个齐次线 性方程组同解。 显然，如果 A 组能由 B 组线性表示， B 组能由 C 组线性表示，则 A 组能由 C 组线性表示。特别地， A 组能由 A 组自身线性表示。 A 组能由 B 组线性表示，也就是存在数 ij k （ i =1, 2 ,  , r ， j =1, 2 ,  , s ）， 使得  i = ki1 1 + ki2 2 ++ kis s （ i =1, 2 ,  , r ） 当 T  i 为行向量时，记

a B A= B B 即有矩阵 (k1k2·k: K=(k)= kk.k 使得 A=KB 对于列向量组A:a1,2,.,a,及B:b1,b2,.,b,记 A=(a1,02,a,),B=(b,b2,.,b,) A组能由B组线性表示，也就是存在矩阵K,x,使得 A=BK 向量组之间的等价关系具有下述性质： (1)反身性：A组与A组等价： (2)对称性：若A组与B组等价，则B组与A组等价： (3)传递性：若A组与B组等价，B组与C组等价，则A组与C组等价 在数学中，把具有上述三条性质的关系称为等价关系。当两个线性方程组同 解时，也称这两个线憔友程组篾价：当命题A是命题B的充要条件时，也称这两 个命题篾价。 向量组B:月，B,B能由向量组A:a,a2,C线性表示相等于存 在矩阵m×I矩阵K使 (B,B2,.,B)=(C1,a2,“,am)K, 即矩阵方程(a,a,.,a)X=(B,B,.,B,)有解。于是有如下定理 定理2向量组B:月，月2，月，能由向量组A:C,a,an线性表示的 充分必要条件是矩阵A=(a,a2,.,am)的秩等于矩阵 (A,B)=(a,Cm月，月，.，月，)的秩。即，R(A)=R(AB) 推论向量组B:月，月2，月，能由向量组A:g1,a,.,an等价的充分必要 条件是R(A)=R(B)=R(AB)

              = T r T T A     2 1 ,               = T s T T B     2 1 即有矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) s s ij r s r r r s k k k k k k K k k k k        = =       使得 A KB = 对于列向量组 A ：a a ar , ,  , 1 2 及 B ：b b bs , ,  , 1 2 ，记 ( , , , ) A = a1 a2  ar ， ( , , , ) B = b1 b2  bs A 组能由 B 组线性表示，也就是存在矩阵 K s r  ，使得 A BK = 向量组之间的等价关系具有下述性质： （1）反身性： A 组与 A 组等价； （2）对称性：若 A 组与 B 组等价，则 B 组与 A 组等价； （3）传递性：若 A 组与 B 组等价， B 组与 C 组等价，则 A 组与 C 组等价。 在数学中，把具有上述三条性质的关系称为等价关系。当两个线性方程组同 解时，也称这两个线性方程组等价；当命题 A 是命题 B 的充要条件时，也称这两 个命题等价。 向量组 B ：   l , , , 1 2  能由向量组 A ：   m , , , 1 2  线性表示相等于存 在矩阵 ml 矩阵 K 使 ( , , , ) 1  2   l = (1 , 2 ,  , m )K ， 即矩阵方程 (1 , 2 ,  , m )X ( , , , ) = 1  2   l 有解。于是有如下定理 定理 2 向量组 B ：    l , , , 1 2  能由向量组 A ：   m , , , 1 2  线性表示的 充分必要条件是矩阵 A = (    m , , , 1 2  ）的秩等于矩阵 (A,B) = ( , , , , , , , , 1  2   m 1  2   l ）的秩。即， R((A) = R(A,B) 推论 向量组 B ：   l , , , 1 2  能由向量组 A ：   m , , , 1 2  等价的充分必要 条件是 R((A) = R(B) = R(A,B)

§4.2向量组的线性相关性 向量组a,a,.,&n中有没有某个向量可由其余向量线性表示，这是向量 组的一种重要性质，称为向量组的线性相关性。 定义设有n维向量组立，元，.，立，若存在一组不全为零的数 k,k,.,kn,使得 ka1+k,a+.+k am=0 则称向量组a,凸，an线性相关，否则称为线性无关。 特别地，单独一个零向量0线性相关：单独一个非零向量α≠0线性无关。 例1向量组 a=0,2,-1),a2=(2,-3,),a=(4,1,-) 线性相关。这是因为 2a+a2-a3=0 其中2,1，-1就是一组不全为零的数。 例2讨论向量组 元=(1,1,0，元2=(0,2,5)，3=(1,3,6) 的线性相关性。 解设有三个数k,k2,k,使得 k a+k:a:+k;a;=0 即 k1,1,1)+k2(0,2,5)+k1,3,6)=0 (k+k,k+2k2+3k,k+5k2+6k)=0 从而有 k+k=0 k+2k2+3k=0 k+5k2+6k3=0 化简得到k=-k,k=-k,取k=-1,则有k=k=1.于是得到一组不全为 零的数1,1，-1，使得

§4.2 向量组的线性相关性 向量组    m , , , 1 2  中有没有某个向量可由其余向量线性表示，这是向量 组的一种重要性质，称为向量组的线性相关性。 定 义 设 有 n 维向量组    m     , , , 1 2 ， 若 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 m k , k , , k 1 2  ，使得 k11 +k 2 2 ++ km m = 0 则称向量组    m , ,  , 1 2 线性相关，否则称为线性无关。 特别地，单独一个零向量 0 线性相关；单独一个非零向量   0 线性无关。 例 1 向量组 (1, 2 , 1) 1 = − ， (2 , 3 , 1) 2 = − ， (4 , 1 , 1)  3 = − 线性相关。这是因为 21 + 2 − 3 = 0 其中 2 ,1, −1 就是一组不全为零的数。 例 2 讨论向量组 (1,1,1) 1 =  ， (0 , 2 , 5) 2 =  ， (1, 3 , 6) 3 =  的线性相关性。 解 设有三个数 1 2 3 k , k , k ，使得 k11 + k2 2 + k33 = 0 即 k1 (1 , 1 , 1) + k2 (0 , 2 , 5) + k3 (1 , 3 , 6) = 0 ( 1 3 , 1 2 2 3 3 , 1 5 2 6 3 ) 0  k + k k + k + k k + k + k = 从而有      + + = + + = + = 5 6 0 2 3 0 0 1 2 3 1 2 3 1 3 k k k k k k k k 化简得到 1 3 k = −k ， 2 3 k = −k ，取 k3 = −1 ，则有 k1 = k2 =1. 于是得到一组不全为 零的数 1,1, −1 ，使得

a1+a2-43=0 故a,a2,a,线性相关。 例3设向量组a,a2,a线性无关，而B,=a+a2，B2=a,+a, 月=C+a,试证向量组月，B,B也线性无关。 定理1向量组a,a2,.,a线性相关的充分必要条件是其中至少有一个 向量可由其余向量线性表示。 证[充分性]已知向量组a,a,.,an中有一个向量，不妨设am,可由 其余向量线性表示，即存在一组数k,k,.,k,使得 am=k a +ka+.+k a 于是有 am=kja +h2a2+.+kma+(-1)am=0 由于am的系数为-1≠0，故向量组a1,a2,.,am线性相关。 [必要性]已知向量组a,4,.,am线性相关，于是存在一组不全为零的数 k,k,.,k,使得 k a+ka2+.+am+ka=0 不妨设k.≠0，则 a=-k 即am可由a,a,.,an线性表示。 由定理1可知，方程组 [a+a22+.+amxn=0 a2+a22+.+a2nxn=0 anx+an2x2+.+dx=0 中有多余方程的充要条件是向量组a,a,.,an线性相关。而保留方程组

1 + 2 − 3 = 0 故 1 2 3  , , 线性相关。 例 3 设向量组 1 2 3  , , 线性无关，而 1 =1 +2 ，  2 =  2 + 3 ，  3 =3 +1 ，试证向量组 1 2 3  ,  ,  也线性无关。 定理 1 向量组    m , , , 1 2  线性相关的充分必要条件是其中至少有一个 向量可由其余向量线性表示。 证 [充分性] 已知向量组    m , , , 1 2  中有一个向量，不妨设  m ，可由 其余向量线性表示，即存在一组数 1 2 1 , , , m k k k − ，使得  m = k11 +k 2 2 ++ km−1 m−1 于是有  m = k11 +k 2 2 ++ km−1 m−1 + (−1) m = 0 由于  m 的系数为 − 1 0 ，故向量组    m , ,  , 1 2 线性相关。 [必要性] 已知向量组    m , , , 1 2  线性相关，于是存在一组不全为零的数 1 2 , , , m k k k ，使得 k11 +k2 2 ++ km−1 m−1 + km m = 0 不妨设 0 m k  ，则 1 1 2 2 2 1 1 − − = − − − − m m m m m m k k k k k k k      即  m 可由    m , , , 1 2  线性表示。 由定理 1 可知，方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = 中有多余方程的充要条件是向量组    m , , , 1 2  线性相关。而保留方程组

a+az2+.+ax。=0 a1+am2+.+a2mxn=0 a+a,22+.+=0 不含多余方程的充要条件是向量组a,a2,.,am线性无关。 定理2设a,a,.,an线性无关，而a,a,.,am,B线性相关，则B能 由a,a2,.,a线性表示，且表示式是唯一的。 证由于a,a,.,m,B线性相关，于是存在一组不全为零的数 k,k,.,k,k,使得 kia1 +k2a2+.+kmam-i+kam+kB=0 要证B能由么，a,a线性表示，只需证明k≠0即可。采用反证法，假设 k=0,则k,k,.,k不全为零，且有 k a+k2a2+.+kmam+kam=0 这与已知a,g,.,an线性无关矛盾，故k≠0，从而B能由a,a,.,an线 性表示 下证唯一性，设有下面两个表示式同时成立 B=九a+,a2t.+Lm-iam-l+na B=+++um-ia+Lm am 两式相减，得 (亿-4)a1+(亿，-4)a+.+(亿n-1-4m-iam-1+(亿n-4m)an=0 由已知a,4,.,an线性无关可知，-4=0，即=4 (i=1,2,.,m). 定理3若向量组a,%2,a,线性相关，则向量组 a1,g2,.,C,C1,.,am也线性相关

11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n r r r n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =    + + + =  不含多余方程的充要条件是向量组    m , , , 1 2  线性无关。 定理 2 设    m , , , 1 2  线性无关，而 1 , 2 ,  , m ,  线性相关，则  能 由    m , ,  , 1 2 线性表示，且表示式是唯一的。 证 由 于 1 , 2 ,  , m ,  线 性相 关， 于是 存在 一组 不全 为零 的 数 1 2 , , , , m k k k k ，使得 k11 +k 2 2 ++ km−1 m−1 + km m + k = 0 要证  能由    m , ,  , 1 2 线性表示，只需证明 k  0 即可. 采用反证法，假设 k = 0 ，则 1 2 , , , m k k k 不全为零，且有 k11 +k2 2 ++ km−1 m−1 + km m = 0 这与已知    m , , , 1 2  线性无关矛盾，故 k  0 ，从而  能由    m , , , 1 2  线 性表示。 下证唯一性，设有下面两个表示式同时成立  = 11 + 2 2 ++  m−1 m−1 +  m m  = 11 + 2 2 ++  m−1 m−1 +  m m 两式相减，得 (1 − 1 )1 + ( 2−2 ) 2 ++ ( m−1 −  m−1 ) m−1 + ( m −  m ) m = 0 由已知    m , , , 1 2  线 性 无 关 可 知 ， 0   i i − = ， 即   i i = （ i m =1, 2 , , ）. 定理 3 若向量组   r , ,  , 1 2 线性相关，则向量组    r  r  m , ,  , , ,  , 1 2 +1 也线性相关

推论1若向量组中含有零向量，则该向量组线性相关。 推论2若向量组整体无关，则部分无关。 定理4设有两个n维列向量组 A:a1,a2,.,am B:b1,b,.,b 其中 ，j=1,2,.,m a a) 则向量组A与向量组B有相同的线性相关性。 证记A=(a1,a2,.,am),B=(6,b2,.,b) 向量组A线性相关的充分必要条件是方程组=0，即 a,a.anx）0 a1a2. aia.a八xno 有非零解。向量组B线性相关的充分必要条件是方程组际=0，即 a21a2 aa2 (aa.ax0 有非零解。这里，方程组x=0与Bx=0只是交换了第1与第2个方程的次序， 因而这两个方程组是同解的。所以，若A组线性相关，则B组有线性相关：若A 组线性无关，则B组有线性无关，即它们的线性相关性相同。 定理4中的b,是交换，的第1与第2个分量而得，如果交换的是另外两个 分量，结论显然也成立。交换一次是这样，交换多次也还是这样。于是可得更一 般的结论： 定理4设有两个向量组 A:4=(a,a2y.,a),j=l,2,m B:b=(anw0pJ.,a,j=1,2,.,m 其中p,P2.P是1,2，.，n这n个正整数的某个确定的排列，则向量组A与向量

推论 1 若向量组中含有零向量，则该向量组线性相关。 推论 2 若向量组整体无关，则部分无关。 定理 4 设有两个 n 维列向量组 A ：a a am , ,  , 1 2 B ：b b bm , ,  , 1 2 其中 j a               = n j j j a a a  2 1 ， j b               = n j j j a a a  1 2 ， j =1, 2 ,  , m 则向量组 A 与向量组 B 有相同的线性相关性。 证 记 ( , , , ) A = a1 a2  am ， ( , , , ) B = b1 b2  bm . 向量组 A 线性相关的充分必要条件是方程组 0   Ax = ，即               =                             0 0 0 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1          n n nm m m m x x x a a a a a a a a a 有 非 零 解 。 向 量 组 B 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 方 程 组 0   Bx = ， 即               =                             0 0 0 2 1 1 2 11 12 1 21 22 2          n n nm m m m x x x a a a a a a a a a 有非零解。这里，方程组 Ax = 0 与 Bx = 0 只是交换了第 1 与第 2 个方程的次序， 因而这两个方程组是同解的。所以，若 A 组线性相关，则 B 组有线性相关；若 A 组线性无关，则 B 组有线性无关，即它们的线性相关性相同。 定理 4 中的 j b 是交换 j a 的第 1 与第 2 个分量而得，如果交换的是另外两个 分量，结论显然也成立。交换一次是这样，交换多次也还是这样。于是可得更一 般的结论： 定理 4' 设有两个向量组 A ： j a T a j a j an j ( , , , ) = 1 2  ， j =1, 2 ,  , m B ： j b T p j p j p j n (a ,a , ,a ) = 1 2  ， j =1, 2 ,  , m 其中 p1 p2 pn 是 1, 2 ,  , n 这 n 个正整数的某个确定的排列，则向量组 A 与向量

组B有相同的线性相关性。 定理4是对列向量叙述的，对行向量显然也有相同的结论。 定理5设有两个向量组 A:a,=(ay,a,.,a,j=l1,2,.,m B:b,=(ay,a,.,a,a4w,j=1,2,.,m 即b,是由，加上一个分量而得，若向量组A线性无关，则向量组B也线性无关。 证记A=(a,a2,.,an),B=(6,b2,.,bm) 由于Bx=0的前r个方程就是Ax=0的r个方程，故方程组Bx=0的解一定 是Ar=0的解。 因为向量组A线性无关，所以Ax=0只有零解，从而x=0也只有零解，故 向量组B也线性无关。 定理5中由ā，添上最后一个分量得6，而由定理4'可知，添上的分量无论 加在什么位置，结论也都成立。 推论维向量组的每个向量都添上”一r个分量而成为n维向量组，若，维 向量组线性无关，则n维向量组也线性无关：反之，若维向量组线性相关，则 r维向量组也线性相关。 §4.3向量组的秩 定义设有向量组T,如果 (1)在T中有r个向量a,a2,a,线性无关： (2)T中任意r+1个向量（如果存在的话）都线性相关， 则称a,4,.,C,是向量组T的一个最太线无送组，简称最大无关组，数r称 为阋量组的您。并规定只含零向量的向量组的秩为0. 矩阵的最高阶非零子式可能不止一个，向量组的最大无关组也可能不止一 个。例如，向量组 A:%=(1,2,-0,a=(2,-3,),a43=(4,1,-1) 可构成三阶方阵 12-1 A=2-31 (41-1 方阵A只有一个3阶子式A,且|A=0,而A的9个2阶子式恰好都不等于零

组 B 有相同的线性相关性。 定理 4 是对列向量叙述的，对行向量显然也有相同的结论。 定理 5 设有两个向量组 A ：a j =  T a j a j ar j ( , , , ) 1 2  ， j =1, 2 ,  , m B ： j b T a j a j ar j ar j ( , , , , ) = 1 2  +1, ， j =1, 2 ,  , m 即 j b 是由 j a 加上一个分量而得，若向量组 A 线性无关，则向量组 B 也线性无关。 证 记 ( , , , ) A a1 a2 am     = ， ( , , , ) B b1 b2 bm     = . 由于 Bx = 0 的前 r 个方程就是 Ax = 0 的 r 个方程，故方程组 Bx = 0 的解一定 是 Ax = 0 的解。 因为向量组 A 线性无关，所以 Ax = 0 只有零解，从而 Bx = 0 也只有零解，故 向量组 B 也线性无关。 定理 5 中由 j a  添上最后一个分量得 j b  ，而由定理 4'可知，添上的分量无论 加在什么位置，结论也都成立。 推论 r 维向量组的每个向量都添上 n − r 个分量而成为 n 维向量组，若 r 维 向量组线性无关，则 n 维向量组也线性无关；反之，若 n 维向量组线性相关，则 r 维向量组也线性相关。 §4.3 向量组的秩 定义 设有向量组 T ，如果 （1）在 T 中有 r 个向量   r , , , 1 2  线性无关； （2） T 中任意 r +1 个向量（如果存在的话）都线性相关， 则称   r , , , 1 2  是向量组 T 的一个最大线性无关组，简称最大无关组，数 r 称 为向量组的秩。并规定只含零向量的向量组的秩为 0. 矩阵的最高阶非零子式可能不止一个，向量组的最大无关组也可能不止一 个。例如，向量组 A : (1, 2 , 1) 1 = − ， (2 , 3 , 1) 2 = − ， (4 , 1 , 1)  3 = − 可构成三阶方阵           − − − = 4 1 1 2 3 1 1 2 1 A 方阵 A 只有一个 3 阶子式 | A| ，且 | A| = 0 ，而 A 的 9 个 2 阶子式恰好都不等于零

因此A中任何一个2阶子式都是A的最高阶非零子式。且G,G,是向量组A的一 个最大无关组，而,a,或么，a也都是向量组A的最大无关组。 例1全体n维向量构成的向量组记作R,求R"的一个最大无关组及R”的 解我们已经证明了n维单位坐标向量组 E:6,62,.,6 是线性无关的，又由定理6的推论3可知，R中任意n+1个向量都线性相关， 因此向量组E就是R的一个最大无关组，且R"的秩等于n 显然，R"的最大无关组很多，任何n个线性无关的n维向量都是R”的最大 无关组。 由定义可知，一个向量组如果是线性无关的，则它的最大无关组就是它本身 从而有 性质1向量组线性无关的充分必要条件是它所含向量的个数等于它的秩。 性质2设矩阵A的某个r阶子式D是A的最高阶非零子式，则D所在的r 个行向量就是矩阵A的行向量组的一个最大无关组；D所在的r个列向量就是矩 阵A的列向量组的一个最大无关组。 性质3矩阵A的秩等于A的行向量组的秩，也等于A的列向量组的秩 性质4设向量组A:a,a2,.,&,是向量组T的一个最大无关组，则向量 组A与向量组T等价。 证因为AcT,所以A组能由T组线性表示。 由定义可知，T中任意r+1个向量都线性相关，因此任取a∈T,当aA时 有云，区，.，d,这r+1个向量线性相关，而由已知云，应，.，正，线性无关， 于是由定理2可知，a能由向量组A线性表示：当a∈A时，a也能由向量组A线 性表示(A组能由A组自身线性表示)。总之，任取a∈T,d总能由向量组A线 性表示，即T组也能由A组线性表示。 于是向量组A与向量组T等价 至此，我们可以回答本章§1最后所提的问题3了。设方程组 ax1+a22+.+anxn=0 a2+a2zx2+.+a2nxn=0 awl+am23+.+4maXg=0 的系数矩阵A的秩为R()=r,并找到一个不等于0的r阶子式D,则包含D的 ~个方程就构成保留方程组。这是因为与D对应的，个行向量是A的行向量组的

因此 A 中任何一个 2 阶子式都是 A 的最高阶非零子式。且 1 2  ,   是向量组 A 的一 个最大无关组，而 2 3  ,   或 1 3  ,   也都是向量组 A 的最大无关组。 例 1 全体 n 维向量构成的向量组记作 n R ，求 n R 的一个最大无关组及 n R 的 秩。 解 我们已经证明了 n 维单位坐标向量组 E ： n        , , , 1 2 是线性无关的，又由定理 6 的推论 3 可知， n R 中任意 n +1 个向量都线性相关， 因此向量组 E 就是 n R 的一个最大无关组，且 n R 的秩等于 n . 显然， n R 的最大无关组很多，任何 n 个线性无关的 n 维向量都是 n R 的最大 无关组。 由定义可知，一个向量组如果是线性无关的，则它的最大无关组就是它本身， 从而有 性质 1 向量组线性无关的充分必要条件是它所含向量的个数等于它的秩。 性质 2 设矩阵 A 的某个 r 阶子式 D 是 A 的最高阶非零子式，则 D 所在的 r 个行向量就是矩阵 A 的行向量组的一个最大无关组； D 所在的 r 个列向量就是矩 阵 A 的列向量组的一个最大无关组。 性质 3 矩阵 A 的秩等于 A 的行向量组的秩，也等于 A 的列向量组的秩。 性质 4 设向量组 A ：  r , , , 1 2  是向量组 T 的一个最大无关组，则向量 组 A 与向量组 T 等价。 证 因为 A  T ，所以 A 组能由 T 组线性表示。 由定义可知， T 中任意 r +1 个向量都线性相关，因此任取  T  ,当 A  时， 有          , , , , 1 2 r 这 r +1 个向量线性相关，而由已知   r     , , , 1 2 线性无关， 于是由定理 2 可知，   能由向量组 A 线性表示；当 A  时，   也能由向量组 A 线 性表示（ A 组能由 A 组自身线性表示）。总之，任取  T  ，  总能由向量组 A 线 性表示，即 T 组也能由 A 组线性表示。 于是向量组 A 与向量组 T 等价。 至此，我们可以回答本章§1 最后所提的问题 3 了。设方程组        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 m m mn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     的系数矩阵 A 的秩为 R(A) = r ，并找到一个不等于 0 的 r 阶子式 D ，则包含 D 的 r 个方程就构成保留方程组。这是因为与 D 对应的 r 个行向量是 A 的行向量组的