《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第二章 矩阵及其运算 2.2 矩阵的运算

矩阵及其运算 第二节 矩阵的运算 一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的其它运算 > 五、小结思考题 帮助 返回

矩阵的加法 1、定义 设有两个m×n矩阵A=(a人B=(b,)那么矩阵 A与B的和记作A+B,规定为 411+b1 a2+b2 21+b21 a2+b2 4+B-

１、定义               + + + + + + + + + + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B        1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 一、矩阵的加法 设有两个 矩阵 那么矩阵 与 的和记作 ，规定为 mn A (a ), B (b ), = ij = ij A B A+ B

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算，进行加法运算时，对应元素进行 相加 12 3 -5 1 89 例如 1 一9 0 6 4 3 6 8 21 12+1 3+8 -5+9 13 11 4 1+6 -9+5 0+4 -4 4 3+3 6+2 8+1 8

说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算，进行加法运算时，对应元素进行 相加. 例如           +           − − 3 2 1 6 5 4 1 8 9 3 6 8 1 9 0 12 3 5           + + + + − + + + + − + = 3 3 6 2 8 1 1 6 9 5 0 4 12 1 3 8 5 9 . 6 8 9 7 4 4 13 11 4           = −

2、 矩阵加法的运算规律 ()A+B=B+A; (2)(A+B)+C=A+(B+C) -l12 (3)-A= -02 =(ag 称为矩阵A的负矩阵 4)A+(-A)=0,A-B=A+(-B) 上页

2、 矩阵加法的运算规律 (1) A+ B = B + A; (2)(A+ B)+ C = A+ (B + C). ( )               − − − − − − − − − − = m m m n n n a a a a a a a a a A        1 1 21 22 2 11 12 1 3 (4) A+ (− A) = 0, A− B = A+ (− B). ( ), = − aij 称为矩阵A的负矩阵

二、数与矩阵相乘 1、定义 数2与矩阵4的乘积记作4或A几，规定为 211 212 21n 2A=A2= 221 222 Adzn Aam Aam Amn 这回

1、定义 . 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = = m m mn n n a a a a a a a a a A A                   二、数与矩阵相乘 数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为

2、数乘矩阵的运算规律 (设A、B为mxn矩阵，2，u为数) ()()A=2(4 (2)(2+4)A=2A+4; (3)2(A+B)=2A+2B. 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线 性运算

(1)()A = (A); (2)( + )A = A+ A; (3) (A+ B) = A+ B. 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算. （设 A、B 为 mn 矩阵，  , 为数）

三、矩阵与矩阵相乘 实例：某两种合金均含有某三种金属，其成分如下表： X Y Z 甲 0.8 0.1 0.1 0.4 0.3 0.3 现有甲种合金30吨，乙种合金20吨，求三种金属的数量 回

三、矩阵与矩阵相乘 实例：某两种合金均含有某三种金属，其成分如下表： 金 属 含 量 比 合 金 乙 0.4 0.3 0.3 甲 0.8 0.1 0.1 X Y Z 现有甲种合金30吨，乙种合金20吨，求三种金属的数量

分析：两种合金的成分构成矩阵记为： B-(888983 甲乙两种合金的重量构成的矩阵记为： A=(3020) 则三种金属的数量为： (3299)=AB 上页

分析：两种合金的成分构成矩阵记为:       = 0.4 0.3 0.3 0.8 0.1 0.1 B 甲乙两种合金的重量构成的矩阵记为: A= (30 20) 则三种金属的数量为: (32 9 9) = AB

1、定义 设A=(a,)是一个m×s矩阵，B=(b)是一个 S×n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积 是一个m×n矩阵C=(c,),其中 Cy=anby +ab++axby=Eanby (i=1,2,.m;j=1,2,n) 并把此乘积记作C=AB. 这回

１、定义 = + + + =  = s k ij ai b j ai b j ai sbsj ai k bkj c 1 1 1 2 2  (i = 1,2, m; j = 1,2,  ,n), 并把此乘积记作 C = AB. 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 ( ) A = aij m s ( ) B = bij sn mn ( )ij C = c A B

主王二二二二二干十二二二二 例1 一-周 例2 设 10 -1 2 2 A= -1 1 3 04 B= 013 1 5-1 41- 0 -1 2 求AB. 上页

例１ 2 2 2 2 3 6 2 4 1 2 2 4         − −       − − C = 22       = −16 − 32 8 16 设           − − − = 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 A             − − = 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 B 例2 ? 求 AB