《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5.2 方阵的特征值与特征向量

§2方阵的特征值与特征向量

§2 方阵的特征值与特征向量

基本概念 定义：n阶矩阵A,如果数九和n维非零向量x满足 Ax=Ax, 称数入称是矩阵A的特征值， 称非零向量x是A对应于特征值入的特征向量. 刷（3-0 则=1为 的特征值

一、基本概念 定义： n 阶矩阵A ，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 称数 l 称是矩阵 A 的特征值， 称非零向量 x 是 A 对应于特征值 l 的特征向量． 例： 则 l = 1 为 的特征值， 为对应于l = 1 的特征向量. 3 4 2 2 1 2 3 1 1      − =            − 3 4 2 3   −     − 2 1      

基本概念 定义：设A是n阶矩阵，如果数入和n维非零向量x满足 Ax=九x, 那么这样的数入称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A 对应于特征值入的特征向量. Ax=九=Ex 白 非零向量x满足(A-λE)x=0(零向量) 白 齐次线性方程组有非零解 日 系数行列式|A-九E引=0

一、基本概念 定义：设 A 是 n 阶矩阵，如果数 l 和 n 维非零向量 x 满足 Ax = l x， 那么这样的数 l 称为矩阵 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 对应于特征值 l 的特征向量． Ax = l x = lE x 非零向量 x 满足 (A−lE) x = 0（零向量） 齐次线性方程组有非零解 系数行列式 | A−lE | = 0

■特征方程 |A-2E|=0 ■特征多项式 |A-E引

◼ 特征方程 | A − lE | = 0 ◼ 特征多项式 | A − lE |

二、基本性质 ■在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计 算) ■设n阶矩阵A的特征值为21,2，2n,则 √1+2+.+九m=11+u22+.+am V12.元n=A

二、基本性质 ◼ 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值（重根按重数计 算）． ◼ 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1 , l2 , ., l n，则 ✓ l1 + l2 + . + l n = a11 + a22 + . + ann ✓ l1 l2 . l n = |A|

3 例：求矩阵A= -1 的特征值和特征向量. 3 解：A的特征多项式为 =(3-2)2-1=8-62+22=(4-)(2-九) 所以A的特征值为21=2,22=4 当入1=2时，对应的特征向量应满足 -8 解得基础解系A,=们.kp,(k≠0)就是对应的特征向壶

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l1 = 2 时， 对应的特征向量应满足 解得基础解系 ． 3 1 1 3 A   − =     − 2 2 3 1 | | (3 ) 1 8 6 (4 )(2 ) 1 3 A E l l l l l l l l − − − = = − − = − + = − − − − 1 2 3 1 0 1 2 3 0 2 x x     −     = − −         −   1 1 1 p   =     k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量

3 例：求矩阵A= -1 的特征值和特征向量. 3 解：A的特征多项式为 3-元 14-2EB32 -1 =(3-)2-1=8-62+元2=(4-2)(2-元) 所以A的特征值为入1=2，九2=4 当2=4时，对应的特征向量应满足 (34）H0 解得基础解系A,-(}·太，(k≠0)就是对应的特征向向足

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解：A 的特征多项式为 所以 A 的特征值为 l1 = 2，l2 = 4 ． 当 l2 = 4 时， 对应的特征向量应满足 解得基础解系 ． 3 1 1 3 A   − =     − 2 2 3 1 | | (3 ) 1 8 6 (4 )(2 ) 1 3 A E l l l l l l l l − − − = = − − = − + = − − − − 1 2 3 1 0 1 4 3 0 4 x x     −     = − −         −   2 1 1 p   − =     k p2（k ≠ 0）就是对应的特征向向量

-211 例：求矩阵A= 0 2 0的特征值和特征向量. 一4 13 -2-九 解：A-E= 所以A的特征值为人1=-1,2=九3=2·

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解： 所以 A 的特征值为 l1 = −1，l2 = l3 = 2 ． 2 1 1 0 2 0 4 1 3 A   −   =       − 2 2 2 1 1 2 1 0 2 0 (2 ) 4 3 4 1 3 (2 )( 2) ( 1)( 2) A E l l l l l l l l l l l l − − − − − = − = − − − − − = − − − = − + −

-2 1 1 例：求矩阵A= 0 2 0 的特征值和特征向量. -413 解（续）：当1=-1时，因为 A-1,E= 解缘P·KP1(k≠0)就是对应的装

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l1 = −1 时，因为 解得基础解系 ． 2 1 1 0 2 0 4 1 3 A   −   =       − 1 1 1 1 1 0 1 0 3 0 ~ 0 1 0 4 1 4 0 0 0 r A E l     − −     − =             − 1 1 0 1 p     =       k p1（k ≠ 0）就是对应的特征向量

-211 例：求矩阵A= 0 2 0的特征值和特征向量. -413 解（续）：当2=23=2时，因为 泥过 -4 1 0 解得基础解系 P2= 0,P3= 1 4 -1 k2 p2+k3 P3 就是对应的特征向量·

例：求矩阵 的特征值和特征向量． 解（续）：当 l2 = l3 = 2 时，因为 解得基础解系 ． k2 p2 + k3 p3 （k2 , k3 不同时为零）就是对应的特征向量． 2 1 1 0 2 0 4 1 3 A   −   =       − 4 1 1 4 1 1 2 0 0 0 ~ 0 0 0 4 1 1 0 0 0 r A E     − −     − =             − 2 3 1 0 0 , 1 4 1 p p         = =             −