《线性代数》课程教学资源（教案讲义）第五章 相似矩阵与二次型

第五章相似矩阵与二次型 §1预备知识：向量的内积 定义1设有n维向量 x = ， )= (x 今 [元，]=xy+x++xny 则称[民，门为向量天与的内积 内积是向量的一种运算，当x与都是列向量时，可用矩阵记号表示 []=习 内积具有下列性质（其中x,少，三都是n维向量，入为实数）： ①[元，]=[灭，x] ②[元，]=元，] ③[+，]=[不，]+[戊] 在解析几何中，我们曾引进向量的数量积 x cos6 且在直角坐标系中，有 {6,3,x}{y,2,}=x++x3 n维向量的内积是数量积的一种推广。但n维向量没有3维向量那样直观 的长度和夹角的概念。因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广。并 且反过来， 利用内积来定义n维向量的长度和夹角： 定义2令 ‖川=玉，灯=√x+++x 则称‖天川为n维向量元的长度（或范数）。 向量的范数具有下列性质： ①非负性：当示≠0时，川x>0:当天=0时，川x川=0 ②齐次性：川标=2川川 ③三角不等式：川x+川≤川x川+川川 当川x川=1时，称下为单位向悬。 向量的内积满足 [元，]≤[元，][立] 5-1-1

5-1-1 第五章 相似矩阵与二次型 §1 预备知识：向量的内积 定义 1 设有 n 维向量 1 2 n x x x x       =       ， 1 2 n y y y y       =       令 1 1 2 2 [ , ] n n x y x y x y x y = + + + 则称 [ , ] x y 为向量 x 与 y 的内积. 内积是向量的一种运算，当 x 与 y 都是列向量时，可用矩阵记号表示 为 [ , ] T x y x y = 内积具有下列性质（其中 x y z , , 都是 n 维向量，  为实数）： ① [ , ] [ , ] x y y x = ② [ , ] [ , ]   x y x y = ③ [ , ] [ , ] [ , ] x y z x z y z + = + 在解析几何中，我们曾引进向量的数量积 x y x y  =   | | | | cos 且在直角坐标系中，有 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 { , , } { , , } x x x y y y x y x y x y  = + + n 维向量的内积是数量积的一种推广。但 n 维向量没有 3 维向量那样直观 的长度和夹角的概念。因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广。并 且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长度和夹角： 定义 2 令 2 2 2 1 2 || || [ , ] n x x x x x x = = + + + 则称 || || x 为 n 维向量 x 的长度（或范数）。 向量的范数具有下列性质： ① 非负性：当 x  0 时， || || 0 x  ；当 x = 0 时， || || 0 x = ② 齐次性： || || | | || ||   x x =  ③ 三角不等式： || || || || || || x y x y +  + 当 || || 1 x = 时，称 x 为单位向量。 向量的内积满足 2 [ , ] [ , ] [ , ] x y x x y y  

上式称为Scar不等式。由此可得 [元，] x (‖x‖‖川≠0) 于是有下面的定义： 当川≠0时，称 [x,y] @arccosy 为n维向量元与少的夹角。 当[x,门]=0时，称向量元与交。显然，当天=0时，向量示与任 何向量都正交。 下面讨论正交向量组的性质。所谓正交向囊组，是指一组两两正交的 非零向量。 定理1若n维向量元，元2，.，立，是一组两两正交的非零向量，则向 量组元，a2,.,应，线性无关。 证明设存在一组数人，人2，·，k,使得 kG+kG2+.ka=0 用左乘上式两端，由于瓦，元2，.，反，两两正交，于是有 k立=0 由于元≠0，故云=‖≠0，从而有k=0·同理可证， 人3=.=k,=0.所以向量组么，瓦2，.，G,线性无关。 我们常采用正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基 例如，n个两两正交的n维向量，可构成向量空间R”的一个正交基。 例1已知3维向量空间R中的两个向量 1 a=1 ā=-2 1 正交，试求一个非零向量a,使4，a两两正交。 解记 4-)-010 (1-2 所求向量ā，应满足齐次线性方程组A优=0，即 5l-2

5-1-2 上式称为 Schwarz 不等式。由此可得 [ , ] 1 || || || || x y x y   （ || || || || 0 x y   ） 于是有下面的定义： 当 || || || || 0 x y   时，称 [ , ] arccos || || || || x y x y  =  为 n 维向量 x 与 y 的夹角。 当 [ , ] 0 x y = 时，称向量 x 与 y 正交。显然，当 x = 0 时，向量 x 与任 何向量都正交。 下面讨论正交向量组的性质。所谓正交向量组，是指一组两两正交的 非零向量。 定理 1 若 n 维向量 1 2 , , ,   r 是一组两两正交的非零向量，则向 量组 1 2 , , ,   r 线性无关。 证明 设存在一组数 1 2 , , , r k k k ，使得 1 1 2 2 0 r r k k k    + + = 用 1 T  左乘上式两端，由于 1 2 , , ,   r 两两正交，于是有 1 1 1 0 T k  = 由 于 1   0 ， 故 2 1 1 || || 0 T    =  ，从而有 1 k = 0 . 同理可证， 2 0 r k k = = = . 所以向量组 1 2 , , ,   r 线性无关。 我们常采用正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基。 例如， n 个两两正交的 n 维向量，可构成向量空间 n R 的一个正交基。 例 1 已知 3 维向量空间 3 R 中的两个向量 1 1 1 1 a     =       ， 2 1 2 1 a     = −      正交，试求一个非零向量 3 a ，使 1 2 3 a a a , , 两两正交。 解 记 1 2 111 1 2 1 T T a A a     = =       −   所求向量 3 a 应满足齐次线性方程组 Ax = 0 ，即

解这个方程组，对系数矩阵A施行初等行变换 111101 4-0-30Γ01 于是得同解方程组 x=-为 x3=0 -1 -1 它的一个基础解系为号=0，取ā，==0，即为所求。 1 1 定义3设n维向量，已，是向量空间V(VcR")的一个基， 若，已，.，两两正交，且都是单位向量，则称，已2，.，e,是向量空 间V的一个规范正交基： 例如， 1 0 0 √迈 0 0 e,= = 0 0 0 0 就是R的一个规范正交基。 若，已，.，e,是向量空间V的一个规范正交基，则V中任一向量a 都可由氏，.，C,线性表示，设表示式为 a=+3已2+.+，e 为了求出其中的系数无(i=1,2,.,r),用e左乘上式，得到 ā== 1,=a=[a,] 设，.，是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基 5-1-3

5-1-3 1 2 3 1 1 1 0 1 2 1 0 x x x             =       −     解这个方程组，对系数矩阵 A 施行初等行变换 1 1 1 1 0 1 ~ ~ 0 3 0 0 1 0 A             − 于是得同解方程组 1 3 2 0 x x x  = −   = 它的一个基础解系为 1 0 1    −   =       ，取 3 1 0 1 a    −   = =       ，即为所求。 定义 3 设 n 维向量 1 2 , , , r e e e 是向量空间 V （ n V R  ）的一个基， 若 1 2 , , , r e e e 两两正交，且都是单位向量，则称 1 2 , , , r e e e 是向量空 间 V 的一个规范正交基。 例如， 1 1 2 1 2 0 0 e         =           ， 2 1 2 1 2 0 0 e         − =         ， 3 0 0 1 2 1 2 e         =           ， 4 0 0 1 2 1 2 e         =       −   就是 4 R 的一个规范正交基。 若 1 2 , , , r e e e 是向量空间 V 的一个规范正交基，则 V 中任一向量  都可由 1 2 , , , r e e e 线性表示，设表示式为 1 1 2 2 r r     = + + + e e e 为了求出其中的系数 i （ i r =1, 2 , , ），用 T i e 左乘上式，得到 T T i i i i i e e e    = = 即 [ , ] T i i i    = = e e 设 1 2 , , ,   r 是向量空间 V 的一个基，要求 V 的一个规范正交基

也就是要找一组两两正交的单位向量毛，已2，.，使，已2，.，E,与 元，.，正，等价。这样一个问题，称为把元，忘，.，正，这个基规蔻正 交化 我们可以用下面的办法把应，应2，.，立规范正交化： 取 月=a A=a,-厅 [B,]1 瓦=a-AA-a@A-a1A [B,]片[，] [B,p-] 容易验证，B,B2,.,B两两正交，且与元，应，.，d,等价。 然后，只要把月，瓦，.，耳单位化，即取 B B 8房“ 即得向量空间V的一个规范正交基。 注意向量组的规范正交化的顺序是：先正交后规范。 上述从线性无关向量组，2，.，立，导出正交向量组 B,B,.,B,的过程，称为Sh此正交化过程。它不仅满足 月，月2，.，B与元，元2，.，元，等价，还满足：对任意k(1≤k≤r), 向量组月，月2，.，B与0，瓜2，.，正等价。 例2设有向量组 -10 3.a -1 试用Schimidt正交化过程将其规范正交化。 解取 月=a 5-14

5-1-4 也就是要找一组两两正交的单位向量 1 2 , , , r e e e ，使 1 2 , , , r e e e 与 1 2 , , ,   r 等价。这样一个问题，称为把 1 2 , , ,   r 这个基规范正 交化。 我们可以用下面的办法把 1 2 , , ,   r 规范正交化： 取   1 1 = 1 2 2 2 1 1 1 [ , ] [ , ]        = − . 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] r r r r r r r r r                  − − − − = − − − − 容易验证， 1 2 , , ,   r 两两正交，且与 1 2 , , ,   r 等价。 然后，只要把 1 2 , , ,   r 单位化，即取 1 1 1 || || e   = ， 2 2 2 || || e   = ，.， || || r r r e   = 即得向量空间 V 的一个规范正交基。 注意 向量组的规范正交化的顺序是：先正交，后规范。 上 述 从 线 性 无 关 向 量 组 1 2 , , ,   r 导 出 正 交 向 量 组 1 2 , , ,   r 的过程 ，称 为 Schimidt 正 交 化过 程 。它不仅满足 1 2 , , ,   r 与 1 2 , , ,   r 等价，还满足：对任意 k （ 1 k r ）， 向量组 1 2 , , ,   k 与 1 2 , , ,   k 等价。 例 2 设有向量组 1 1 2 1      =       − ， 2 1 3 1    −   =       ， 3 4 1 0      = −      试用 Schimidt 正交化过程将其规范正交化。 解 取   1 1 =

3 [B,B] A=a-因别A-区别A [BR]1 [B2,B2] 4 1Y -1 0 = 1-2 (o6 1 3 1 再把它们单位化，得到 1 [11 2 1 已3= 3= 0 1 则，弓，即为所求。 例3已知=1 求一组非零向量元，元，使得G,元2，元两两 正交。 解乙，正应满足方程组 x 元=(111)x2=0 x X1=-x2-x3 它的一个基础解系为 1 1 易=0 o 1 将基础解系正交化，即为所求，即取 -1 0 [5,5 5-l-5

5-1-5 1 2 2 2 1 1 1 [ , ] [ , ]        = − 1 1 4 3 2 6 1 1     −     = −             − 1 5 1 3 1   −   =       1 3 2 3 3 3 1 2 1 1 2 2 [ , ] [ , ] [ , ] [ , ]             = − − 4 1 1 2 5 1 2 1 6 3 0 1 1       −       = − − +                   − 1 2 0 1     =       再把它们单位化，得到 1 1 1 1 1 2 || || 6 1 e       = =       − ， 2 2 2 1 1 1 || || 3 1 e     −   = =       ， 3 3 3 1 1 0 || || 2 1 e       = =       则 1 2 3 e e e , , 即为所求。 例 3 已知 1 1 1 1      =       ，求一组非零向量 2 3  , ，使得 1 2 3    , , 两两 正交。 解 2 3  , 应满足方程组 ( ) 1 1 2 3 1 1 1 0 T x x x x      = =       即 1 2 3 x x x = − − 它的一个基础解系为 1 1 1 0    −   =       ， 2 1 0 1    −   =       将基础解系正交化，即为所求，即取 2 1 1 1 0     −   = =       ， 1 2 3 2 1 1 1 [ , ] [ , ]        = − 1 1 1 0 1 2 1 0     − −     = −             1 1 1 2 0   −   = −     

定义4如果n阶方阵A满足 AA=E(即A=) 则称A为正交矩阵。 上式用A的列向量表示，有 a AA= (a,a2,.,an) a aaaa,.dan aa aa . aldald . 得到A「A=E成立的充分必要条件是 ara,=8,= 1,i=j 0,i≠j (j=1,2.,n) 由此可见，友阵A为正交矩阵的充琴条件是：A的列向熏是两两交 的单位向竟。 由正交矩阵的定义可知，AA=E等价于AA”=E,因此上述结论 对A的行向量仍然成立。 例4验证矩阵 1 2 0 0 0 0 P= 万 -3 是正交矩阵。 51-6

5-1-6 定义 4 如果 n 阶方阵 A 满足 T A A E = （即 1 T A A − = ） 则称 A 为正交矩阵。 上式用 A 的列向量表示，有 1 2 1 2 ( , , , ) T T T n T n a a A A a a a a       =         1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 T T T n T T T n T T T n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a       =       1 1 1       =       得到 T A A E = 成立的充分必要条件是 1 , 0 , T i j ij i j a a i j   = = =    （ i, j =1,2,  ,n ） 由此可见，方阵 A 为正交矩阵的充要条件是：A 的列向量是两两正交 的单位向量。 由正交矩阵的定义可知， T A A E = 等价于 T AA E = ，因此上述结论 对 A 的行向量仍然成立。 例 4 验证矩阵 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 P     = − − − −   是正交矩阵

解容易验证，P的每一个列向量都是单位向量，且两两正交，所以 P是正交矩阵。 定义5若P为正交矩阵，则线性变换)=P?称为正交变换。 设=P为正交变换，则 川川=立=√pP=√x=川 按川x川表示向量的长度，相当于线段的长度。川川=‖下川说明经过正 交变换，线段的长度保持不变，这是正交变换的优良特性。 我们还可以证明正交矩阵具有以下性质： ①正交矩阵是满秩方阵。 ②正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。 ③两个同阶正交矩阵之积仍是正交矩阵 例5设A、B是同阶正交矩阵，且|A川+|B1=0,证明 14+BI=0 证明由己知可得 A(A+B)BT=(E+AB)BT=BT+A=(A+B) 上式两端取行列式，得 IAI川A+BBI=|(A+B)I 由于|B=-|A,于是上式又化为 (-|A-1)川A+B1=0 又由于-|A2-1≠0，于是得到1A+B|=0 §2方阵的特征值与特征向量 工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一 个方阵的特征值与特征向量。数学中诸如方阵的对角化及求解微分方程组 等问题，也都要用到特征值的理论。 定义6设A是n阶方阵，若存在数入和非零列向量元，使得 Ax=九x 1) 则称数入为方阵A的特延值，而称非零列向量示为方阵A的对应于特征值 入的特惩向熏。 (1)式也可写成 (A-E)x=0 (2) 这是含有n个方程n个未知数的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要 条件是系数行列式 5-1-7

5-1-7 解 容易验证， P 的每一个列向量都是单位向量，且两两正交，所以 P 是正交矩阵。 定义 5 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px = 称为正交变换。 设 y Px = 为正交变换，则 || || || || T T T T y y y x P Px x x x = = = = 按 || || x 表示向量的长度，相当于线段的长度。 || || || || y x = 说明经过正 交变换，线段的长度保持不变，这是正交变换的优良特性。 我们还可以证明正交矩阵具有以下性质： ① 正交矩阵是满秩方阵。 ② 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。 ③ 两个同阶正交矩阵之积仍是正交矩阵。 例 5 设 A 、 B 是同阶正交矩阵，且 | | | | 0 A B + = ，证明 | | 0 A B+ = 证明 由已知可得 ( ) ( ) ( ) T T T T T T T A A B B E A B B B A A B + = + = + = + 上式两端取行列式，得 | | | | | | | ( ) | T T T A A B B A B  +  = + 由于 | | | | B A =− ，于是上式又化为 2 ( | | 1) | | 0 − − + = A A B 又由于 2 − −  | | 1 0 A ，于是得到 | | 0 A B+ = . §2 方阵的特征值与特征向量 工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一 个方阵的特征值与特征向量。数学中诸如方阵的对角化及求解微分方程组 等问题，也都要用到特征值的理论。 定义 6 设 A 是 n 阶方阵，若存在数  和非零列向量 x ，使得 Ax x =  （1） 则称数  为方阵 A 的特征值，而称非零列向量 x 为方阵 A 的对应于特征值  的特征向量。 （1）式也可写成 ( ) 0 A E x − =  （2） 这是含有 n 个方程 n 个未知数的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要 条件是系数行列式

IA-1E|=0 (3) a1-1a2 ain aa2-1. =0 . . dnl an2 . am-元 显然，(3)是关于入的一个一元n次方程，称为方阵A的特惩方程。多项 式f()=|A-1E引是元的n次多项式，称为方阵A的特多项惑。而特 征方程的根就是方阵A的特征值，方程组(2)的非零解向量x就是方阵A 的对应于特征值入的特征向量 易知特征方程为 f()=|A-E =(-l)”"+(-l)-(a,+a2+.+am)2-+.+|A|=0 令入=0，就得到特征多项式的常数项为A, 设阶方阵A的特征值为，乙2，.，入n(重根按重数计算)，由多项式 的根与系数的关系，不难证明 ①++.+元n=41+a2+.+anm ②1入2.入n=|A 设入=入，为方阵A的一个特征值，于是由方程 (A-E)元=0 可求得非零解元=户，则刀就是方阵A的对应于特征值入，的特征向量。（若 2为实数，则户可取实向量：若入为复数，则卫为复向量。) 3-1 例1求方阵4一气一3的特征值与特征向量。 解由于A的特征多项式为 3-1 14-E1=-13-2刘 =(3-)2-1=8-61+2=(2-1)(4-) 于是A的特征值为：入=2，乙=4. ①当2=2时，对应的特征向量应满足(A-2E)x=0,而 (1-11-1 4-2E=1)00) 51-8

5-1-8 | | 0 A E − =  （3） 即 11 12 1 21 22 2 1 2 0 n n n n nn a a a a a a a a a    − − = − 显然，（3）是关于  的一个一元 n 次方程，称为方阵 A 的特征方程。多项 式 f A E ( ) | |   = − 是  的 n 次多项式，称为方阵 A 的特征多项式。而特 征方程的根就是方阵 A 的特征值，方程组（2）的非零解向量 x 就是方阵 A 的对应于特征值  的特征向量。 易知特征方程为 f A E ( ) | |   = − 1 1 11 22 ( 1) ( 1) ( ) | | 0 n n n n nn   a a a A − − = − + − + + + + + = 令  = 0 ，就得到特征多项式的常数项为 | | A . 设 n 阶方阵 A 的特征值为 1 2 , , ,   n （重根按重数计算），由多项式 的根与系数的关系，不难证明 ① 1 2 11 22 n nn    + + + = + + + a a a ② 1 2 | |   n = A 设   = i 为方阵 A 的一个特征值，于是由方程 ( ) 0 A E x − = i 可求得非零解 i x p = ，则 i p 就是方阵 A 的对应于特征值 i 的特征向量。（若 i 为实数，则 i p 可取实向量；若 i 为复数，则 i p 为复向量。） 例 1 求方阵 3 1 1 3 A   − =     − 的特征值与特征向量。 解 由于 A 的特征多项式为 3 1 | | 1 3 A E    − − − = − − 2 2 = − − = − + (3 ) 1 8 6    = − − (2 )(4 )   于是 A 的特征值为： 1  = 2 ， 2  = 4 . ① 当 1  = 2 时，对应的特征向量应满足 ( 2 ) 0 A E x − = ，而 1 1 2 1 1 A E   − − =     − 1 1 ~ 0 0   −    

于是有=为，故对应的特征向量可取为 1) P.=1 ②当入2=4时， 4-日-0 于是有x=一x2,故对应的特征向量可取为 a-9 显然，若卫是方阵A的对应于特征值入，的特征向量，则k户，(k≠0) 也是对应于入的特征向量。 -110 例2求方阵A= -430的特征值和特征向量。 102 解 由于A的特征多项式为 -1-21 01 |A-E1|=-43-元0 102- =(2-1)[(-1-)(3-)+4]=(2-2)1-2)2 于是A的特征值为：2=2，入2=入=1. ①当入=2时，解方程组(A-2E):=0,由 (-310)(100 A-2E=-410~010 100000 得方程组的一个基础解系为 0 A=0 故对应于特征值入=2的全部特征向量为kP,(k≠0)· 5-1-9

5-1-9 于是有 1 2 x x = ，故对应的特征向量可取为 1 1 1 p   =     ② 当 2  = 4 时， 1 1 4 1 1 A E   − − − =     − − 1 1 ~ 0 0       于是有 1 2 x x = − ，故对应的特征向量可取为 2 1 1 p   − =     显然，若 i p 是方阵 A 的对应于特征值 i 的特征向量，则 i kp （ k  0 ） 也是对应于 i 的特征向量。 例 2 求方阵 1 1 0 4 3 0 1 0 2 A   −   = −      的特征值和特征向量。 解 由于 A 的特征多项式为 1 1 0 | | 4 3 0 1 0 2 A E     − − − = − − − = − − − − + (2 )[( 1 )(3 ) 4]    2 = − − (2 )(1 )   于是 A 的特征值为： 1  = 2 ， 2 3   = =1. ① 当 1  = 2 时，解方程组 ( 2 ) 0 A E x − = ，由 3 1 0 2 4 1 0 1 0 0 A E   −   − = −      1 0 0 ~ 0 1 0 000           得方程组的一个基础解系为 1 0 0 1 p     =       故对应于特征值 1  = 2 的全部特征向量为 1 kp （ k  0 ）

②当入2=入3=1时，解方程组(A-E)元=0，由 -2101101 A-E=-420~012 101 000 得方程组的一个基础解系为 -1 =-2 1 故对应于特征值入2=入，=1的全部特征向量为k户2(k≠0). (500 例3求方阵A=023的特征值和特征向量。 032 解由于A的特征多项式为 15-0 0 A-E= 02-13 =(5-)[(2-)2-9列] 032-1 =-(2+10(-5)2 于是A的特征值为：=-1，乃2=3=5. ①当入=-1时，解方程组(A+E)示=0，由 (600100 A+E=033~011 033(000 得方程组的一个基础解系为 (0Y 1 -1 故对应于特征值入=-1的全部特征向量为k币，(k≠0) ②当入2=3=5时，解方程组(A-5E)x=0,由 5-1-10

5-1-10 ② 当 2 3   = =1 时，解方程组 ( ) 0 A E x − = ，由 2 1 0 4 2 0 1 0 1 A E   −   − = −      ～ 1 0 1 ~ 0 1 2 0 0 0           得方程组的一个基础解系为 2 1 2 1 p   −   = −      故对应于特征值 2 3   = =1 的全部特征向量为 2 kp （ k  0 ）. 例 3 求方阵 5 0 0 023 032 A     =       的特征值和特征向量。 解 由于 A 的特征多项式为 5 0 0 | | 0 2 3 0 3 2 A E     − − = − − 2 = − − − (5 )[(2 ) 9]   2 = − + − ( 1)( 5)   于是 A 的特征值为： 1  =−1， 2 3   = = 5 . ① 当 1  =−1 时，解方程组 ( ) 0 A E x + = ，由 600 0 3 3 0 3 3 A E     + =       1 0 0 ~ 0 1 1 000           得方程组的一个基础解系为 1 0 1 1 p     =       − 故对应于特征值 1  =−1 的全部特征向量为 1 kp （ k  0 ）. ② 当 2 3   = = 5 时，解方程组 ( 5 ) 0 A E x − = ，由