《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第五章 相似矩阵及二次型 5.3 相似矩阵 5.4 对称矩阵的对角化

§3相似矩阵

§3 相似矩阵

定义：设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P满足 P-AP=B 则称B为矩阵A的相似矩阵， 对A进行运算P-AP称为对A进行相似变换. 称可逆矩阵P为把A变成B的相似变换矩阵. 定理：若阶矩阵A和B相似，则A和B的特征多项式相同， 从而A和B的特征值也相同. 证明：根据题意，存在可逆矩阵P,使得P-AP=B· 于是 |B-2E=

定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ， 则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似． 对 A 进行运算 P −1AP 称为对 A 进行相似变换． 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵． 定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同． 证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P −1AP = B ． 于是 | B −lE | = | P −1AP − P −1 (lE) P | = | P −1 (A−lE ) P | = | P −1 | |A−lE | |P | = |A−lE | ．

定理：设n阶矩阵A= ,则1,2，九n就 2 是A的n个特征值. 证明： 22 故21,22，2n就是A的n个特征值

定理：设 n 阶矩阵 L = ，则l1 , l2 , ., l n 就 是 L 的 n 个特征值． 证明： 故 l1 , l2 , ., l n 就是 L 的 n 个特征值． 1 2 1 2 ( )( ) ( ) n n E l l l l l l l l l l l l l L − − − = = − − − − 1 2 n l l l            

可逆矩阵P,满足P-1AP=A（对角阵) AP=PA Ap:=九P(i=1,2,n) P.123定理4： 推论：如果A有n个 n阶矩阵A和对角阵相似 不同的特征值，则A 当且仅当 和对角阵相似. A有n个线性无关的特征向量 其中 A(p1,P2,.,Pn)=(p1,P2,Pn)

可逆矩阵 P ，满足 P −1AP = L （对角阵） AP = PL Api = li pi (i = 1, 2, ., n) 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n A p p p p p p l l l       =       其中 P.123定理4： n 阶矩阵 A 和对角阵相似 当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量 推论：如果 A 有 n 个 不同的特征值，则 A 和对角阵相似．

定理：设九1,2，几m是方阵A的特征值，P1,P2,pm依 次是与之对应的特征向量，如果21,22，2m各不相同，则 P1,P2,Pm线性无关.（P.120定理2) 定理：阶矩阵A和对角阵相似（即A能对角化）的充分 必要条件是A有n个线性无关的特征向量.（P.123定理4) 推论：如果A有个不同的特征值，则A和对角阵相似. 说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化.（P.118例6)

定理：设 l1 , l2 , ., l m 是方阵 A 的特征值， p1 , p2 , ., pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1 , l2 , ., l m 各不相同，则 p1 , p2 , ., pm 线性无关．（P.120定理2） 定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量．（P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．（P.118例6）

§4对称矩阵的对角化

§4 对称矩阵的对角化

定理：设1,2，九m是方阵A的特征值，p1,P2,Pm依 次是与之对应的特征向量，如果21,2，几m各不相同，则 P1,P2,Pm线性无关.（P.120定理2) 定理：设21和几2是对称阵A的特征值，p1,P2是对应的特 征向量，如果1卡2，则p1,P2正交.（P.124定理6) 证明：Ap1=1P1,AP2=九2P2,元1≠九2 九1p1T= 1p1p2=. (21-2)p1TP2=0 因为1卡2，则p1Tp2=0,即

定理：设 l1 , l2 , ., l m 是方阵 A 的特征值， p1 , p2 , ., pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1 , l2 , ., l m 各不相同，则 p1 , p2 , ., pm 线性无关．（P.120定理2） 定理：设 l1 和 l2 是对称阵 A 的特征值， p1 , p2 是对应的特 征向量，如果 l1 ≠ l2 ，则 p1 , p2 正交．（P.124定理6） 证明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 ≠ l2 l1 p1 T = (l1 p1 ) T = (A p1 ) T = p1 T AT = p1 T A （A 是对称阵） l1 p1 T p2 = p1 T A p2 = p1 T (l2 p2 ) = l2 p1 T p2 (l1 − l2 ) p1 T p2 = 0 因为l1 ≠ l2 ，则 p1 T p2 = 0，即 p1 , p2 正交．

定理：阶矩阵A和对角阵相似（即A能对角化）的充分 必要条件是A有n个线性无关的特征向量.（P.123定理4) 推论：如果A有个不同的特征值，则A和对角阵相似. 说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有n个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化. 定理：设A为阶对称阵，则必有正交阵P,使得 P-AP=PTAP=A, 其中A是以A的个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. (P.124定理7)

定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P −1AP = P TAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7） 定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量． （P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化．

定理：阶矩阵A和对角阵相似（即A能对角化）的充分 必要条件是A有n个线性无关的特征向量.（P.123定理4) 推论：如果A有个不同的特征值，则A和对角阵相似. 说明：当A的特征方程有重根时，就不一定有个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化. 推论：设A为阶对称阵，入是A的特征方程的k重根，则 ·矩阵A-入E的秩等于n-k, 恰有k个线性无关的特征向量与特征值λ对应

定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似（即 A 能对角化）的充分 必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量． （P.123定理4） 推论：如果 A 有 n 个不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 说明：当 A 的特征方程有重根时，就不一定有 n 个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化． 推论：设 A 为 n 阶对称阵，l 是 A 的特征方程的 k 重根，则 • 矩阵 A −lE 的秩等于 n − k， • 恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应．

-11 例：设A= -1 ,求正交阵P,使PAP=对角阵， 解：因为A是对称阵，所以A可以对角化. -元-11 1A-2E=-1-21=-(2-1)2(2+2) 11- 求得A的特征值21=-2，九2=3=1·

例：设 ，求正交阵 P，使P −1AP = L对角阵. 解：因为 A 是对称阵，所以 A 可以对角化． 求得 A 的特征值 l1 = −2， l2 = l3 = 1 ． 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A   −   = −      2 1 1 | | 1 1 ( 1) ( 2) 1 1 A E l l l l l l − − − = − − = − − + −